Материал: Методы оптимизации. методические указания для организации самостоятельной работы по курсу «Высшая математика». Пантелеев И.Н

i

xi

yi

xi 2

xi yi

1

1

13

1

13

2

2

8

4

16

3

3

4

9

12

4

4

1

16

4

5

5

-2

25

-10

6

6

-9

36

-54

å

21

15

91

-19

Из решения этой

системы

получимa = -

143

;

b =

84

.

между x

35

5

Зависимость

и y

представляется

в

виде

xi

0

1

2

3

4

yi

1

2

4

7

11

i

xi

yi

xi 2

xi 3

xi 4

xi yi

xi 2 yi

1

0

1

0

0

0

0

0

2

1

2

1

1

1

2

2

3

2

4

4

8

16

8

16

4

3

7

9

27

81

21

63

5

4

11

16

64

256

44

176

å

10

25

30

100

354

75

257

Система нормальных уравнений примет вид

ì354a +100b + 30c = 257,

ï

+10c = 75,

í100a + 30b

ï

+ 5c = 25.

î30a +10b

xi

0,5

1

2

4

6

yi

5

2

0

-1

-1,5

i

xi

yi

1/ xi

1/ xi 2

yi / xi

1

0,5

5

2

4

10

2

1

2

1

1

2

3

2

0

1/2

1/4

0

4

4

-1

0,25

1/16

-1/4

5

6

-1,5

1/6

1/36

-1/4

å

4,5

3,916

5,34

11,5

Система нормальных уравнений примет вид

ì3,916a + 5,34b = 11,5,

í

+ 3,916b = 4,5.

î5a

Решая эту

систему, находим: a = -1,847;

b = 3,5. Таким

образом, зависимость примет вид

3,5

y = -1,847 +

.

7.4.

Найти

x

нормальную

систему

для

определения

коэффициентов a,b показательной функции y = ab x .

Решение. Прологарифмируем

функцию ln y = ln a + x ln b

и считаем ln y линейной

функцией отx, а

ln a

и ln b

принимаем за параметры.

Будем подбирать параметры так, чтобы сумма квадратов

отклонений

вычисленных

значенийln a + xi

ln b

от

наблюдаемых значений ln yi , т. е. величина

S = (ln a + x ln b - ln y )2 + (ln a + x

2

ln b - ln y

2

)2

+

1

1

n

+ ... + (ln a + xn ln b - ln yn )2

= å(ln a + xi

ln b - ln yi )2

i =1

тех

значениях ln a

и

ln b , при которых обращаются в нуль

частные производные по этим параметрам, т. е.

¶S

= 0 и

¶S

= 0.

¶ ln a

¶ ln b

Находим частные производные

¶S

n

= 2å(ln a + xi ln b - ln yi ) =

¶ ln a

i=1

n

n

= 2(n ln a + ln båxi - åln yi ).

i =1

i=1

¶S

n

= 2å(ln a + xi

ln b - ln yi )xi =

¶ ln и

i=1

n

n

n

= 2 ln aåxi - ln båxi 2 - åxi ln yi .

i =1

i=1

i=1

Приравнивая

частные

производные

, нулюполучим

нормальную систему

n

n

n ln a + ln båxi = åln yi

i=1

i =1

n

n

n

ln aåxi + ln båxi 2 = åxi ln yi

i =1

i=1

i =1

Найденные

из

этой

системы

значения параметровln a и

ln b

позволяют

с

помощью

таблиц натуральных логарифмов

определить значения а и b.

работать в течение времениt

безотказно. Отказ — это

событие, состоящее в нарушении работоспособности элемента.

Отказы бывают внезапные и постепенные. Внезапный отказ

происходит в случайный момент времени. Постепенный отказ

характеризуется

постепенным

ухудшением

характеристик

машины (элемента).

Деление

технических

устройств

на

элементы

носи

некоторые

количественные

характеристики. При

t = 0

надежность

p(t) = 1 и с

увеличением времени убывает(рис.

6.). Ненадежность определяется по формуле q(t) = 1 - p(t).

Характер

изменения

кривой q(t) показан на рис. 6.

При

возрастании t кривая q(t)

стремится к единице.

определяется

выражениями F (t) = P(T < t) и представляет

ненадежность

работы элемента F (t) = q(t) . Таким образом,