Материал: Методы оптимизации. методические указания для организации самостоятельной работы по курсу «Высшая математика». Пантелеев И.Н
На каждой |
дуге(ai , a j ) |
около узлаai |
указано |
|
максимальное (за |
один |
день) число |
мешков |
с |
корреспонденцией, |
которые можно перевезти от ai к a j |
, |
||
а около узла a j — максимальное число мешков, которые можно перевезти из a j в ai . Найти максимальное число мешков, которые можно перевезти из a0 в an .
Решение. Пусть начальный поток задан числами
u = x02 = x25 = x56 = 5 (потоки по остальным дугам равны нулю). После изменения пропускных способностей дугbik ik +1 получается сеть.
Далее выбираем путьa0 ® a1 ® a4 ® a6 , где q = 3
минимальная величина из пропускных способностей. Изменяя пропускные способности дуг, получим
24
На следующем шаге выбираем путь
a0 ® a1 ® a2 ® a4 ® a6 ,q = 1,
тогда граф примет вид
Далее a0 ® a2 ® a4 ® a6 , q = 2 и граф будет
Следующий шаг a0 ® a3 ® a5 ® a4 ® a6 , q = 1
Далее a0 ® a3 ® a2 ® a4 ® a6 , q = 1
25
Наконец, a0 ® a3 ® a5 ® a2 ® a4 ® a6 , q = 1
Поскольку положительной пропускной способности нет, то полученный поток является максимальным.
6. ЗАДАЧА ЗАМЕНЫ ОБОРУДОВАНИЯ
Покупная цена нового оборудования известна и равна S . Известны затраты на эксплуатацию (уход, ремонт и т. д.) в
соответствующие периоды (1, 2,..., t,..., п). Пусть периоды равны, а затраты в периодt будут Ct . В результате старения балансовая цена оборудования непрерывно падает. Обозначим ее за St . Считаем, что Ct и St экспоненциально зависят от t
Ct a0 (elt -1); St = b0 e-mt .
Средние затраты равны
26
t
Y (t) = (S + åCt - St ) / t,
|
|
|
|
|
|
t =1 |
|
|
|
|
|
Y (t) = (S + a |
0 |
(elt |
-1) - b e-mt ) / t = (a |
0 |
(elt -1) + S (1 - e-mt )) / t. |
||||||
Отсюда |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
dY |
= |
(a0 le lt |
+ Sme-mt )t - a0 (elt -1) - S (1 - e-mt ) |
= 0. |
||||||
|
dt |
|
|
|
t 2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Преобразуя, будем иметь |
|
|
|
|
|
||||||
a0 (ltelt - elt +1) = S (1 - e-mt - mte-mt ). |
|
|
|
||||||||
Если |
|
|
|
|
обозначить Y |
= a |
0 |
(ltelt +1) |
и |
||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
Y2 = S (1 - e-mt - mte-mt ), то точка пересечения этих |
кривых и |
||||||||||
даст искомое времяt, когда следует произвести замену оборудования.
7. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
1°. Метод наименьших квадратов заключается в том, что из данного множества функцийy = f (x) выбирается та, для
которой сумма квадратов отклонений опытных значений от расчетных является наименьшей.
Подбор параметров функцииy = f (x) делается после
определения вида функции. Вид функции выбирается из графического изображения опытных данных таким образом, чтобы график функции наиболее точно отражал расположение опытных данных на графике. Пусть дана таблица значений
переменных xi |
и соответствующих им значений yi . |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
xi |
|
x1 |
x2 |
… |
|
xn |
yi |
|
y1 |
y2 |
… |
|
yn |
Рассмотрим некоторые простейшие виды функций.
2°. Линейная функция y = ax + b . Нормальная система для определения коэффициентов a и b имеет вид
27
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
n |
|
n |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
aåxi 2 + båxi = åxi yi ; |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
i =1 |
|
|
|
|
i=1 |
|
i =1 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
aåxi |
+ bn = å yi . |
|
(1) |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
i =1 |
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|||
3°. |
Квадратичная |
|
|
|
функцияy = ax 2 + bx + c . |
Нормальная |
|||||||||||||||||
система для определения коэффициентов a , b и с имеет вид |
|||||||||||||||||||||||
|
aåxi 4 + båxi 3 + cåxi 2 = åxi 2 yi ; |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
aåxi 4 + båxi 3 + cåxi 2 = åxi 2 yi ; |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
aåxi |
2 + båxi |
+ cn = å yi . |
|
(2) |
|
|||||||||||||||
4°. |
Гипербола |
вида y = a + |
b |
. |
|
Нормальная |
система для |
||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
определения параметров a и b имеет вид |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
aå |
1 |
+ bå |
|
1 |
|
|
= å |
yi |
; |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
xi |
|
|
|
|
|
xi |
|
|
xi |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
na + bå |
|
1 |
= å yi . |
|
(3) |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
7.1. |
Результаты |
|
|
|
экспериментальных |
|
|
исследований |
|||||||||||||||
представлены таблицей |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
xi |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
5 |
|
6 |
|
|||
yi |
13 |
|
8 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
-2 |
|
-9 |
|
|||
Полагая, что |
зависимость |
|
линейная, найти |
значения |
|||||||||||||||||||
параметров функции y = ax + b . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Решение. Воспользуемся методом наименьших квадратов. |
|||||||||||||||||||||||
При |
составлении |
системы |
|
нормальных |
|
уравнений(1) |
|||||||||||||||||
суммирование удобнее выполнять в табличной форме
28