Материал: Методичка

51

Если известны (или могут быть разумно назначены) априорные вероятности всех состояний, то оптимальное решение находится на основе максимизации среднего выигрыша, Пусть P(S j )= Pj ; j =1,2,3,4 . Тогда при использовании стратегии

A1 средний выигрыш

a1 = P1(1 −l)+ P2 (1 − h)+ P3 (1−t)+ P4 (1−b),

а при использовании A2 он определяется формулой

a2 = P1(1 − g)+ P2 (1 − d )+ P3 + P4 .

При a1 > a2 принимается решение: срочная операция ( A1 ) при a1 < a2 - отказ от операции ( A2 ), при a1 = a2 оба решения равноправны.

Если вероятности неизвестны, то для выработки оптимального решения можно воспользоваться одним из критериев, рассмотренных в 3.3. Применение критерия Лапласа дает P1 = P2 = P3 = P4 = 0,25 ; поэтому в данном случае

срочной хирургической операции ( A2 ).

При отказе от использования априорных вероятностей (разных или равных) при выработке оптимального решения мы становимся перед необходимостью поиска

минимаксных стратегий по матрице Ma (критерий Вальда) или по матрице Mr

(критерий Сэвиджа). Однако, учитывая стремление хирурга при получении оптимального решения удовлетворить одновременно двум главным вышеуказанным целям (максимизации выживания и минимизации неоправданных потерь),

воспользуемся критерием Вальда применительно к матрице M f с сочетанного показателя полезности. Перед этим, рассмотрев матрицу Ma , отметим, что S3

является доминирующим состоянием. Оба элемента столбца S3 по величине больше

(или равны) соответствующих элементов других столбцов. Это означает, что S3 не участвует в поиске минимаксных стратегий (как заведомо невыгодная для игрока

Учитывая, что M f = Ma − Mr , получаем матрицу M f (табл. 3.14). Данная матрица в общем случае не имеет седловой точки. Соответствующая ей игра относится к играм 2 ×n и может легко решаться геометрическим способом, рассмотренным в 3.1.

54

верхнюю β* цены игры. Так же, как и раньше, полагаем, что g > l . Тогда

β1* = max{(1 −l)(, 1 − 2g +l)},

β*2 =1,

β* = min{β1* ,β*2 }= β1* = max{(1−l)(, 1 − 2g +l)}.

Так как g > l , то (1 − 2g +l)< (1 −l) и β* = (1 −l). Далее

α1* = min{(1 −l)(, 1− 2b)},

α*2 =1 − 2g +l,

α* = max{α1* , α*2 }.

Если l ≥ 2b , то (1 − 2b)≥ (1 −l)и α1* =1 −l . В этом случае из-за выполнения условия

(1 − 2g +l)< (1 −l) нижняя цена игры равна α* = (1 −l) и равна верхней цене игры β* ,

что говорит о наличии у M f седловой точки при выигрыше (1 −l). Хирург в этом

случае должен принимать решение о проведении срочной операции ( A1 ). Цена игры в данном случае равна γ* = α* = β* = (1 −l). Если же l < 2b , то седловой точки нет и решение по критерию Вальда ищется как смешанная стратегия хирурга.

Проведенный анализ хорошо иллюстрируется на рис.3.3, где дана геометрическая интерпретация данной игры по матрице M f . Из данного рисунка видно, что максимум нижней границы выигрыша никогда не может быть в точке A2 .

Знак наклона прямой S1S1 всегда будет постоянен, так как (1 − 2g +l)> (1 −l), а

величина (1 − 2g +l) никогда не превышает 1, так как g > l . Игра имеет решение в виде чистой стратегии A1 , только если (1 − 2b)≥ (1 −l), как показано на рис. 3.3, а.

Это соответствует условию l ≥ 2b . Из рис.3.3, б видно, что если (1 −l)> (1 − 2b), т.е