Материал: Методичка

46

показателя aij решение игры находится на основе максимизации среднего значения

ai , где

n

ai = ∑Pj aij , j =1

с учетом вероятностей всех возможных условий, т.е. выбираем такую стратегию Ai ,

для которой

Очевидно, что при использовании показателя rij решение игры находится на основе минимизации среднего риска, т.е.

j=1

В теории доказывается [7], что та же стратегия, которая обращает в максимум средний выигрыш ai , обращает в минимум и средний риск ri . Там же показано, что при использовании вероятностей состояний применение смешанных стратегий для A не дает ему дополнительных преимуществ, поэтому всегда можно обойтись одними чистыми стратегиями.

Пример 3.1. Рассмотрим больных с подозрением на острый аппендицит. В

зависимости от формы аппендицита будем различать два состояния больных: S1 -

недеструктивный аппендицит (простой), который не дает опасных для жизни осложнений и может пройти без оперативного вмешательства; S2 - деструктивный аппендицит, требующий срочной операции. У хирурга есть две стратегии: A1 -

оперировать, A2 - воздержаться от срочной операции (и наблюдать либо до исчезновения симптомов, либо до появления убедительной картины острого аппендицита). Пусть aij относительное число выздоровевших больных (в процентах)

из всех тех, находившихся в состоянии S j , к которым была применена стратегия Ai .

47

Тогда матрица Ma для этого случая, составленная по реальным данным [8] имеет вид табл. 3.8. Под каждым столбцом этой матрицы приведены значения априорных вероятностей: P1 = P(S1 )= 0,75; P2 = P(S2 )= 0,25 , взятые также из [8].

случаях наилучшим признается проведение срочной операции. Этот пример убедительно показывает правильность поведения врача, предпочитающего срочное хирургическое вмешательство консервативному лечению при подозрении на аппендицит.

3.3 Критерии принятия решений в условиях неопределенности

Наличие вероятностей P1 , P2 ,K, Pn хотя бы в вероятностном смысле определяет поведение «природы», однако часто относительно этих вероятностей нельзя сделать никаких предположений. В этом случае для выбора оптимального решения существует несколько подходов, приведенных ниже.

48

которые, конечно, для этого случая упростятся, получим наилучшую чистую стратегию, удовлетворяющую данному критерию.

К р и т е р и й В а л ь д а . Это критерий, согласно которому игрок A выбирает свою минимаксную стратегию, соответствующую его гарантированному выигрышу, равному α. При этом выигрыш будет зависеть от состояний «природы», но не превысит максимина:

α = max minj aij .

i

Это очень осторожная стратегия, рассчитывающая на худший случай. (В играх с активным противником этот худший случай вырабатывается им в качестве противодействия). Критерий Вальда можно применять не только к матрице Ma , но и

к матрице M f . В последнем случае выигрыш игрока A не превышает α* , где

α* = maxi minj fij .

Вслучае, если α ≠ β для матрицы Ma , либо α* ≠ β* для матрицы M f , в этих

матрицах отсутствует седловая точка и игроку более выгодно применять смешанную стратегию. С точки зрения лечебного процесса это означает, что в качестве оптимального решения врачу предлагают применять различные планы лечения с соответствующими вероятностями, а не просто наилучший план. Учитывая, что данная «вычисленная» информация используется врачом в качестве совета, применение смешанных стратегий в данном случае следует считать целесообразным.

матрицам выигрышей Ma или M f , а по матрице риска Mr . Оптимальной считается та стратегия, при которой величина риска принимает наименьшее значение в самой неблагоприятной ситуации (когда риск максимален). При этом риск для разных состояний «природы» не превышает значения R , где

R = mini max rij .

j

Критерий Сэвиджа так же, как и предыдущий критерий Вальда, допускает применение смешанной стратегии для игрока A в случае, когда матрица Mr не имеет седловой точки.

3.4Принятие решений при острых хирургический заболеваниях органов брюшной полости

Целесообразность применения теории игр для оптимизации принятия решения о проведении хирургических операций при “остром животе”, остром аппендиците, остром холецистите, закрытых травмах, онкологических заболеваниях и др. подробно раскрыта в интересной монографии [8]. Дальнейшее изложение основано на материале этой работы. Специфику применения игровых методов для принятия оптимальных решений в хирургии рассмотрим на примере клинической ситуации подозрения на “острый живот”, т.е. на острое хирургическое заболевание органов брюшной полости и на примере онкологических заболеваний.

При “остром животе” у хирурга есть только две стратегия: A1 - срочное оперативное вмешательство и A2 - отказ от срочной операции с последующим принятием нового решения. Состояния больного формулируются в соответствии с возможными управляющими воздействиями, т. е. стратегиями хирурга, следующим образом:

S1 - острое заболевание органов брюшной полости, при котором показана срочная операция;

50

S2 - острое за6олевание при котором может оказаться более выгодной отсроченная операция после подготовки;

S3 - острое заболевание органов брюшной полости или иной локализации,

симулирующее S1 или S2 , при котором оперативное вмешательство окажется напрасным;

S4 -острое заболевание, симулирующее S1 или S2 , при котором операция противопоказана (в дальнейшем это состояние имеет также обозначение S2* ).

Главными равноправными целями хирурга являются максимизация величины вероятности выживания больного и минимизации величины вероятности неоправданных потерь (минимизация риска).

Пусть cij - вероятность летального (смертельного) исхода при применений хирургом стратегии Ai к больному, находящемуся в состоянии S j . Тогда можно составить матрицу летальности Mc с элементами cij , которая имеет вид табл.3.10.

Анализ величин элементов этой матрицы показывает, что всегда выполняются соотношения: g > l, h > d, t < d, t < l, t < b, которые наглядно можно представить в виде схемы

g → l

t ← b ,

h → d

показывающий, что вероятность летального исхода срочной операции является минимальной в случае S3 . По матрице Mc построим матрицу выигрышей Ma ,

подразумевая под выигрышем aij вероятность выздоровления больного

(благоприятного исхода), находящегося в состоянии S j , к которому применяется стратегия Ai . Для построения Ma воспользуемся очевидным соотношением aij =1 −cij . Тогда Ma будет иметь вид табл.3.11.