Документ: Математическое моделирование в процессах разработки и нефте-газодобычи, страницы 41-45

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

Итак, в результате применения метода преобразования Лапласа, уравнение 2-го порядка в частных производных перешло в обыкновенное дифференциальное уравнение.

Заметим, что уравнение пьезопроводности приняло в пространстве Лапласа вид модифицированного уравнения Бесселя. При этом начальные условия исходного уравнения пьезопроводности были использованы при переходе в пространство Лапласа.

Теперь вернемся к целесообразности замены (3.15): именно благодаря замене – уравнение в пространстве Лапласа является однородным, что облегчает его решение.

Общие для разных пластов граничные условия на скважине в пространстве Лапласа примут следующий вид:

~

p

02

p

01

p

1

r r

2

r r

s

w1

w 2

~

p03

p02

p2

r r

p3

r r

s

,

(3.21)

w 2

w3

...

~

p

0 N

0( N 1 )

p

N

1 r r

p

N

r r

s

w( N 1 )

wN

~

qs

,

qs1

qs 2 ... qsN

s

(3.22)

где

~

и

~

-

образы дебитов в

пространстве Лапласа с разных пластов в

qs1

qs 2

поверхностных условиях;

~

и

~

- образы забойных давлений разных пластов

p1

p2

r r

w1

w 2

(после замены переменных) в пространстве Лапласа.

Решением уравнений (18) и (19) в пространстве в общем виде является [2], [5], [22]:

~

i

s

i

s

,

pi

( r,s ) C1 I

0

r

C2 K0

r

(3.23)

i

где I0 z и K0 z - модифицированные функции Бесселя нулевого порядка 1-го и 2-

го рода. Постоянные C1

и C2

-

зависят

от

соответствующих

граничных условий

уравнений (3.19) и (3.20), а также от величины поверхностного дебита.

Запишем выражения для

постоянных

C1

и C2

для различных типов граничных

условий пласта.

В случае уравнения (3.19), поддержание постоянного давления на границе пласта,

имеем:

B q

si

C

s

C1i

i o

i

pwf 0 p0i Mi K0 xei ,

(3.24)

2 k h r

2 k h r s

i i wi

i i

wi

43

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

C

B q

C

p

x

,

i

o

si

i

s

M I

2

2 k h r

s

2 k h r

wf 0

0i

i

0

ei

i

wi

i

i wi

где приняты следующие обозначения:

Mi

1

,

I0 xei

zi K1 xwi i K0 xwi

K0 xei zi I1 xwi i I0 xwi

C

s

i

s

,

zi

,

xwi

zirwi

,

xei

zirei

,

xi zi r .

2 k

h r

i

i i w

i

Все параметры уравнений (3.24), (3.25) известны, за исключением

эти уравнения для удобства в следующем виде:

i

,

C1

A1 qsi

B1

i

,

C2

A2qsi

B2

где

B M K

x

,

B

C M K

x

p

,

A

i

o

i

0

ei

i

s

i

0

ei

i

1

2 k

h r

s

1

2 k h r

wf 0

0i

i

wi

i

wi

Ai

B M

I

x

,

iCs Mi I0

xei

pwf 0

i

o

i

0

ei

i

.

2

2 k

h r

s

B2

2 k

h r

p0i

i

wi

i

wi

В случае уравнения (3.20), непереток на границе пласта, имеем:

C

B q

C

p

x

,

i

i o

si

i

s

M K

1

2 k h r

s

2 k

h r

wf 0

0i

i 1

ei

i i wi

i

wi

C

B q

C

p

x

.

i

i o

si

i

s

M I

2

2 k h r

s

2 k h r

wf 0

0i

i 1

ei

i i

wi

i

wi

q	si

(3.25)

(3.26)

(3.27)

. Перепишем

(3.28)

(3.29)

(3.30)

(3.31)

(3.32)

(3.33)

Или в более удобной форме – запишем в виде (3.28), (3.29) –для общности, только коэффициенты в этом случае вычисляются по формулам:

	B M K							x
A		i		o	i		1			ei
i		i		o	i		1			ei
1			2 k		h r				s
			2 k		h r				s
				i			i wi
A		B M I						x
A			i	o			i 1			ei
i			i	o			i 1			ei
2				2 k		h r				s
				2 k		h r				s
					i		i wi

  

,

B	i

1
B	i

2

 

C M K							x
i	s		i			1	ei	p
i	s		i			1	ei
	2 k			h r						wf
	2 k			h r
		i			i	wi
C M					I	x
i	s		i 1				ei	p
i	s		i 1				ei
	2 k		h r						wf 0
	2 k		h r
		i			i	wi

0	p
	0
p
	0i

		;
i		;
i


.

(3.34)

(3.35)

Итак, образ перепада давления в пространстве Лапласа имеет решение (3.23), где

коэффициенты	C i	и	Ci
	1		2 определяются из уравнений (3.24)-(3.29) для пласта с

поддержанием постоянного давления на границе и из уравнений (3.28)-(3.35) для пласта с непертоком на границе.

Решение для давления в любой части пласта, с учетом вышеупомянутых замен, есть:

~	i	i	I0 xi	i	i	K0 xi	.	(3.36)
pi	( r,s ) A1qsi	B1	I0 xi	A2qsi	B2	K0 xi	.	(3.36)

Забойное давление определяется соответственно:

44

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

~					i	i	,
p ( r,s )					A q B		,	(3.37)
		i	r r		si			(3.37)
				wi
где
	i		i	xwi	i	xwi	,	(3.38)
A			A1 I0	xwi	A2 K0	xwi	,	(3.38)
B	i		i	xwi	i	xwi	.	(3.39)
B		B1 I0		xwi	B2 K0	xwi	.	(3.39)
Нахождение решения задачи построения модели работы многопластовой системы
сводится к нахождению вектора параметров qsi .								Используем общие для всех пластов

граничные условия на скважине (3.21), (3.22). Заметим, что число уравнений (3.21), (3.22)

равно N – числу неизвестных дебитов	q	si	.

С учетом равенства (3.37), условия (3.21), (3.22) перепишутся в виде:

A q

B

1

A q

B

2

p

1~

2

~

02

01

1

2

s

p

A

q

B

2

A q

B

3

03

02

2 ~

3~

2

3

s

...

p

A

q

B

A

q

B

N 1

N

0 N

0( N 1 )

N 1~

~

N 1

N

s

~

qs

q

s1

q

s 2

............ q

sN

s

,

(3.40)

С учетом замены:

C	i	p	p	B	i 1	B	i
		i 1	i

			s

выражение (3.40) перепишется в виде:

1~

2 ~

C

1

A q

1

2

2 ~

3~

C

2

A

q2

A q3

...

.

A

N 1~

N ~

C

N 1

qN 1 A

qN

~

qs

qs1 qs 2

..... qsN

s

(3.41)

(3.42)

Выражение (3.42) – есть система N линейных уравнений с N переменными. Согласно

[23] данная система имеет единственное решение. Введем следующие обозначения:

45

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

		1	A		2	0		...	0
	A
				2			3
	0		A			A		...	0

L		... ...				... ... ...

										N 1
		0	0			0		...	A

		1	1			1		...	1

0 0 ...

AN

1

      

,

	C		1
			1
	C		2
	C


b		N		1
C

	q		s
			s
		s
		s

,

		~
	q		s1


		~
	qs 2
~		...
q		...

	...
		~
	qsN

(3.43)

Систему уравнений с учетом введенных замен можно переписать в следующем виде:

				~	b .					(3.44)
			Lq		b .					(3.44)
Согласно [23], найдем вектор неизвестных параметров:
			~		1					(3.45)
			q	L b .						(3.45)
В результате решения (3.45) получим вектор									qsi	:
~	~		~		...	...	~		T
q	q	s1	q	s 2	...	...	q	sN
		s1		s 2				sN
Подставив, найденные значения qsi						в зависимости от граничных условий пласта в

уравнения (3.24), (3.25) – в случае пласта с поддержанием постоянного давления, или

(3.32), (3.33)		–	в случае пласта с отсутствием перетока на границе, найдем значения
констант	i	и	i	, подставив затем эти значения в уравнение (3.23), найдем давление в
	C1		C2

каждой точке в любой момент времени в пространстве Лапласа.

Дебиты с каждого из пластов в пластовых условиях найдем из закона Дарси для радиального притока:

2 k h r

~

2 k h r

s

~

p

i

i wi

i

i wi

I

r

K

r

q

sfi

C

1

C

i

r

i

1

i

wi

i

2

1

i

wi

r r

wi

Скорость фильтрации в любой точке i-го пласта:

(3.46)

~

k

s

u

r

k p

i

C1 I1

r

C2 K1

r

~

i

(3.47)

i

r

i

r

i

Профиль давления в i-ом пласте определяется зависимостью (3.23) при фиксированном параметре преобразования.

Переход к обычным координатам произведем с помощью численного обратного преобразования Лапласа посредством алгоритма [13]. Таким образом, мы определили зависимость давления и скорость фильтрации в любой точке каждого из пластов от времени.

3.5.2. Модель постоянного давления

Как уже говорилось ранее при условии поддержания постоянного давления на забое скважины пласты не «чувствуют» друг друга, то есть работают независимо друг от друга

46

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

(поясним это ниже при построении модели). Задача состоит в отыскании динамик дебитов с каждого из пластов в пластовых условиях.

Аналогично пункту 3.5.1 произведем замену (3.15) и запишем уравнения (3.13), (3.14) с учетом замены в пространстве Лапласа:

s			~	1		~			2	~
s			~	1	p					p
			p			i					i
						i					i
			i	r	r			r			2
		i		r	r			r
		i
	~						pwf			p0i
pi			( r ,t )	r r						s
					w	i				s
					w
	~					0,		t 0
p ( r ,t )						0,		t 0
	i				ei
				r r

s

~

2

~

1 p

p

pi

i

2

i

r

~

pwf

p0i

pi

( r ,t )

r r

s

w

i

~

p ( r ,t )

0,

t

0

i

r

r r

ei

, t

0

,

.

(3.48)

(3.49)

В пространстве Лапласа уравнения (3.48), (3.49) имеют следующие решения:

~

p

wf

p

0i

K

0

x

ei

I

0

x

I

0

x

ei

K

0

x

i

( r,s )

i

,

pi

s

I

x

K

x

I

x

K

x

0

wi

0

ei

0

ei

0

wi

~

p

wf

p

0i

K

x

ei

I

0

x

I

1

x

ei

K

0

x

i

( r,s )

1

i

,

pi

s

K

x

I

x

I

x

K

x

ei

0

wi

1

ei

0

wi

1

где использованы обозначения (3.27).

Мы нашли зависимость распределения давления в i-ом

что если посмотреть динамику забойного давления, то есть

~

pi

(3.50)

(3.51)

пласте от времени. Заметим, ( rwi ,s ) , то получим:

		~			p	wf	p
		~				wf		0i		,
		pi ( rwi ,s )					s			,
							s
Что в обычных координатах даст :
p ( r		,t ) p	wf	p	или			p	wf	const .
i	wi		wf	0i					wf

То есть забойное давление постоянно, что и должно быть.

Найдем динамики дебитов по закону Дарси:

		2 k h r		~
q		2 k h r		p
~		i	i wi	i
	sfi			r
			i	r	r r
			i		r r
					wi

.

Вслучае пласта с поддержанием давления на границе дебит имеет следующий образ

впространстве Лапласа:

47

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

Материал: Математическое моделирование в процессах разработки и нефте-газодобычи

Смотрите также: