Структура и объем диссертации
Диссертация состоит из введения, общей характеристики работы, четырех глав, заключения, библиографического списка и приложений. Полный объем диссертации составляет 154 страницы. Работа содержит 46 рисунков (на 31 станице), 8 приложений (на 24 страницах). Библиографический список состоит из 212 наименований, включая собственные публикации автора.
ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
В главе 1 «Математическое моделирование рассеивания звукового поля на системе объектов разной формы» проводится классификация численных и аналитических методов решения рассмотренных задач рассеяния звуковых волн на различных телах и системе тел, как в однородной, так и в неоднородной среде; анализируются доступные литературные источники по теме диссертационного исследования; приводятся математические модели описания процесса распространения звуковых волн в однородных и упругих средах.
В главе 2 «Рассеяние звукового поля на тонкой незамкнутой сферической оболочке и эллипсоиде» разработан аналитический метод решения задачи рассеяния звукового поля системой экранов: тонкая незамкнутая оболочка и эллипсоид вращения (вытянутый, сплюснутый).
Метод заключается в представлении исходного и вторичных звуковых полей в виде суперпозиции сферических волновых функций, поверхность эллипсоидальной оболочки записывается в сферической системе координат. Выполняя соответствующие граничные условия, получим парные сумматорные уравнения по полиномам Лежандра, которые преобразуются к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) второго рода с вполне непрерывным оператором.
Данный метод продемонстрирован для следующих конфигурации тел: тонкая незамкнутая сферическая оболочка, внутри которой расположен вытянутый (сплюснутый) эллипсоид (центры эллипсоида и сферы, на которой находится тонкая незамкнутая оболочка, совпадают) [2]; тонкая незамкнутая сферическая оболочка и эллипсоид, находящийся вне области ограниченной поверхностью сферы [16; 20].
Построены графики функции интенсивности рассеяния звуковой волны в дальней зоне на системе экранов. Сделаны выводы о зависимости функции интенсивности от параметров задачи, что позволяет прогнозировать ее значения.
В главе 3 «Рассеяние акустического поля тонкой незамкнутой сферической оболочкой и многослойной оболочкой» разработан аналитический метод для моделирования звуковых полей в задаче экранирования системой экранов: тонкая незамкнутая оболочка и многослойный проницаемый экран. Источник звукового поля расположен внутри тонкой незамкнутой оболочки.
Данный метод продемонстрирован для следующих конфигураций экранов: тонкая незамкнутая сферическая оболочка - многослойная проницаемая сфера [1; 4; 6; 21], тонкая незамкнутая сферическая оболочка - многослойная проницаемая плоскость [3; 7; 12-14; 17], тонкая незамкнутая сферическая оболочка - многослойный проницаемый цилиндр [5; 9].
Вычислен коэффициент экранирования и построены графики, отражающие зависимость коэффициента экранирования от геометрических параметров задачи и параметров среды, что позволяет прогнозировать коэффициент экранирования.
Рассмотрим задачу рассеяния звукового поля многослойной сферой, если излучатель звукового поля расположен внутри тонкой незамкнутой сферической оболочке [6; 21].
Пусть все пространство разделено концентрическими сферами , , , с центром в точке на области: , , . В области находится идеально тонкая незамкнутая сферическая оболочка с углом раствора , расположенная на сфере радиуса с центром в точке . Область пространства, ограниченную сферой , обозначим и . Расстояние между точками и обозначим через .
В точке расположен точечный излучатель звукового поля, колеблющийся с круговой частотой . Области , , заполнены материалом, в котором не распространяются сдвиговые волны. Плотность среды и скорость звука в области обозначим соответственно через , , .
Для решения задачи свяжем с точками сферические координаты и соответственно.
Обозначим через давление звукового поля источника, - давление звукового поля, отраженного от границы в области , - давление звукового поля, отраженного от границы в области , - давление звукового поля, отраженного от границы в области , - суммарное давление звукового поля в области , - суммарное давление звукового поля в области , - давление звукового поля в области , .
Решение дифракционной задачи сводится к нахождению давлений , , , , , удовлетворяющих:
- уравнению Гельмгольца
в ,
, в , в , ,
- волновое число, ;
- граничному условию на поверхности сферической акустически жесткой оболочки :
, (1)
где - нормаль к поверхности ;
- граничным условиям на поверхности сферы , :
, , (2)
где - нормаль к поверхности ;
- условию на бесконечности [6].
Потребуем также выполнения условия непрерывности давлений на открытой части сферической оболочки и нормальной производной на поверхности сферы :
, , (3)
где - нормаль к поверхности .
Реальные звуковые давления вычисляются по формуле [6; 21]
Давление исходного звукового поля представим в виде ряда по сферическим волновым функциям
. (4)
Представим давление рассеянного звукового поля в области , , в виде суперпозиции базисных решений уравнения Гельмгольца, принимая во внимание условие на бесконечности:
(5)
(6)
(7)
, (8)
в , (9)
моделирование звуковой поле рассеивание
где - сферические функции Ханкеля,
- полиномы Лежандра,
- сферические функции Бесселя первого рода,
- символ Кронекера, - const.
Неизвестные коэффициенты , , , , , подлежат определению из граничных условий.
Принимая во внимания представления (4)-(9), выполняя граничные условия (1)-(3) с использованием соответствующие теоремы сложения, получим парные сумматорные уравнения по полиномам Лежандра
(10)
которые преобразуются к бесконечной СЛАУ второго рода с вполне непрерывным оператором
, , (11)
,
,
, ,
Формулы для вычисления коэффициентов , , приведены в [6; 21].
Коэффициент ослабления (экранирования) звукового поля в области вычисляется по формуле
. (12)
Графики коэффициента ослабления (экранирования) звукового поля , трехслойным сферическим экраном для некоторых значений и м, м, м, м, м, м, Гц, , заполнены воздухом (), области - органическим стеклом (), показаны на рисунке 1.
Рисунок 1. - Графики коэффициента экранирования для некоторых значений
Вычислительный эксперимент показал, что если второй сферический слой экрана заполнен веществом с малой плотностью, эффективность экранирования значительно увеличивается.
В 4-й главе «Рассеяние акустического поля тонкой незамкнутой сферической оболочкой и упругой оболочкой» разработан аналитический метод для моделирования звуковых полей в задаче экранирования системой экранов: тонкая незамкнутая оболочка и упругий экран.
Данный метод продемонстрирован для следующих конфигураций оболочек: тонкая незамкнутая сферическая оболочка - плоской упругой слой [10; 19], тонкая незамкнутая сферическая оболочка - упругая сферическая оболочки [8; 18; 22; 23], тонкая незамкнутая сферическая оболочка - упругая цилиндрическая оболочка [11; 15; 24].
Рассмотрим задачу рассеяния на тонкой незамкнутой сферической оболочке с точечным излучателем звукового поля внутри нее и плоском упругом слое [10; 19].
Пусть все пространство разделено плоскостями и на области , , . В области находится идеально тонкая незамкнутая сферическая оболочка , расположенная на сфере радиуса с центром в точке . Область пространства, ограниченную сферой , обозначим через и ; - расстояние между точками и , - расстояние между плоскостями и .
В точке расположен точечный излучатель звуковых волн, колеблющихся с круговой частотой . Области , заполнены материалом, в котором не распространяются сдвиговые волны. Плотность среды и скорость звука в области обозначим соответственно через , , Область - плоский упругий слой. Под воздействием звукового поля упругий слой совершает колебания, его деформация определяется вектором смещения , который удовлетворяет уравнению Ламе [10; 19].
Обозначим через давление звукового поля точечного излучателя, - давление звукового поля, отраженного от границы в области , - суммарное давление рассеянного звукового поля в области , - давление звукового поля, отраженного от границы в области , - давление звукового поля, отраженного от границы в области , - давление рассеянного звукового поля в области .
В установившемся режиме колебаний вторичного давления рассеянного звукового поля , , , удовлетворяют уравнению Гельмгольца.
В случае распространения малых возмущений в упругом теле для установившегося режима движения частиц тела вектор смещения определяется по формуле (осесимметричная задача)
,
где функции , удовлетворяют уравнению Гельмгольца
где , - скорость распространения продольных и поперечных упругих волн соответственно.
Решение дифракционной задачи сводится к нахождению вектора смещения давлений звукового поля , , , которые удовлетворяют:
- граничному условию на поверхности сферической оболочки - акустически жесткой оболочки (1)
- граничным условиям взаимодействия звукового поля с упругим слоем на плоскости , ,
и условию на бесконечности [10].
Потребуем также выполнения условия (3).
Давление исходного звукового поля представим в виде (4). Давления рассеянного звукового поля, функции , представим в виде суперпозиции базисных решений уравнения Гельмгольца в сферических и цилиндрических координатах [10; 19], учитывая условие на бесконечности:
,
в ,
,
,
где - функция Бесселя первого рода, , , , , , .
Неизвестные функции , и коэффициенты подлежат определению из граничных условий.
Применив соответствующие теоремы сложения, связывающие базисные решения уравнения Гельмгольца в разных системах координат, выполнив граничное условие на поверхности тонкой незамкнутой сферической оболочки, граничные условия на поверхности упругого тела и условия сопряжения, получим парные сумматорные уравнения, которые преобразуются к бесконечной СЛАУ второго рода с вполне непрерывным оператором вида.
, .
Коэффициенты, входящие в данное уравнение приведены в [10].
Коэффициент ослабления (экранирования) звукового поля в области вычисляется по формуле
Построены графики коэффициента ослабления звукового поля.
заключение
Основные научные результаты диссертации
1. Построены математические модели, описывающие процесс рассеяния звукового поля на системе оболочек: идеально тонкая незамкнутая оболочка - проницаемые многослойные [1-7; 9; 12-14; 16; 17; 20; 21] и упругие оболочки [8; 10; 11; 15; 18; 19; 22-24];
2. Реализован метод аналитического решения задач экранирования звукового поля для систем оболочек, представляющих собой тонкую незамкнутую оболочку - проницаемые многослойные [1-7; 9; 12-14; 16; 17; 20; 21] и упругие оболочки, в частности впервые [8; 10; 11; 15; 18; 19; 22-24]:
- решены задачи экранирования звукового поля для тонкой незамкнутой оболочки и эллипсоида вращения; выведены формулы для вычисления функции интенсивности рассеяния поля в дальней зоне [1; 16; 20];
- решены задачи экранирования звукового поля для тонкой незамкнутой оболочки и многослойной проницаемой оболочки (многослойной проницаемой плоской оболочки [3; 7; 12-14; 17], многослойной проницаемой сферической оболочки [1; 4; 6; 21], многослойной проницаемой цилиндрической оболочки [5; 9]), источник звукового поля расположен внутри тонкой незамкнутой оболочки; получены формулы для вычисления коэффициента экранирования;
- решены задачи экранирования для тонкой незамкнутой оболочки и упругой оболочки (упругой плоской оболочки [10; 19], упругой сферической оболочки [8; 18; 22; 23], упругой цилиндрической оболочки [11; 15; 24]), источник звукового поля расположен внутри тонкой незамкнутой оболочки; выведены формулы для вычисления коэффициента экранирования;
3. Проведены вычислительные эксперименты [1-4; 6-11; 12; 13; 15], в результате которых
- получены численные значения функции интенсивности рассеяния звукового поля в дальней зоне [1; 2; 12]; численные значения коэффициента экранирования [3; 4; 6-11; 13; 15];
- построены графики функции интенсивности рассеяния звукового поля в дальней зоне на системе оболочек [1; 2;] и графики зависимости коэффициента экранирования звукового поля от параметров задачи и параметров среды [3; 4; 6-8; 10], что позволяет прогнозировать коэффициент экранирования при изменении геометрических характеристик оболочки, физических свойств среды;
На основании полученных результатов исследований можно сделать вывод, что аналитические методы, основанные на применении парных сумматорных уравнений, преобразующихся к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений второго рода с вполне непрерывным оператором, с использованием теорем сложения, являются основной при моделировании звуковых полей в задачах экранирования для систем оболочек.