Материал: МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТЕПЛОСНАБЖЕНИЯ ЗДАНИЙ С АВТОНОМНЫМ ИСТОЧНИКОМ ТЕПЛА

Линейной комбинацией частных решений системы (4.23) являются:

1)  Частные решения системы с постоянной правой частью:

(~Х_х +Х₂ = 0 1^-^2+1 = 0'

Отсюда стационарные решения системы:

+ _ 1 + к_хм>_х

^л 1СТ ~ Т 7~ ' ^л 2 СТ ~ Т Г~ • К2 -   л₂ — К 1

2) Частное решение системы с переменной правой частью \х₂=В₂е-"^т '

Подставим полученные выражения для Х,и Х₂в систему (4.23). В

результате получим:

цВ_хе~^ = -В_хе~^ +В₂е-»^Т цВ^^ = к_хВ_хе~»^х-к₂В₂е^^г

{{_И-\)В_х+В₂-м>₂ =0 [А:^! + {р-к₂)В₂ = 0 '

_в (м~к₂)м_{2 в =} \у₂(ц-к₂%л-\)+м>²) ^

¹   ' ² С" — Ху" —!)—

Общее решение системы (4.23):

X, = С_хе* + + ₊ в_е-мг

к -к

^{2 1} ₁ .   ,   ¦ (4.24)

Х₂ = (1 + Я, )С,е+ (1 + Д₂ )с₂е+ + В₂е^^г

к ₂ -к_х

где С/, С₂ - произвольные постоянные, равные:

^ _ (^10 •⁺^1С7^,Х^{1 +} ^2)~(^20 ^+Х2Ст) ^ _ (^20 + ^2Ст)~(^Ч0 ⁺ X¹ + ) —   , и₂ —----------------------------------------- ,

/1₂ ~~   Х₂ — Л_х

а Х_хо, Х₂₀ - начальные условия.

Приведенные детализированные формулы для стационарных и нормативных решений позволяют достаточно просто оценить принципиальную возможность получения нормативных решений анализируемой системы. Полученные аналитические выражения решений систем позволяют реализовать расчеты переходных режимов, определять время «натопа» помещения.

4.2. Анализ устойчивости системы линейных дифференциальных уравнений, моделирующих теплоснабжение со встроенным автономным источником тепла

4.2.1. Анализ устойчивости системы линейных дифференциальных уравнений, моделирующих теплоснабжение с изолированным встроенным автономным источником тепла

Линеаризованная система дифференциальных уравнений, описывающая изменение осредненных температур (2.21) после введения масштабов для температур и времени Т_к=М_}Хи Т_Р=М₂Х₂, Т=МзХз, 1=Яг запишется в виде:

-а₅М_хХ_х +а₅М₂Х₂   4Ъ_х + а_хУ_г

мх	с1Хх
я	йх
м2	йХ2
я	йт
мъ	<ЗХЪ
я	йт

а₈М_хХ_х - (а₈ + а₉ )М₂Х₂ +а₉М₃Х₃   . (4.25)

а_пМ₂Х₂ ~(а_хо+а_и)М₃Х₃ +Ь₄

Система (4.25) промасштабирована при начальных условиях Х₁(о) = Л^г₁₀, Х₂(о)=Х₂₀, Х₃(о)=Х₃₀. В новых переменных указанная система запишется в виде:

 

(Ьх+ахУг)Я

ях.

+

Мх

Х_х = -а₅ЯХ_х +а<

 

(4.26)

X - а Х3 =

ь4я Мъ

Щ м.

а

11

м.

ЯХ_х -(а,+а₉)ЯХ₂ + а₉^-ЯХ₃

ЯХ₂ -{а_хо+а_хх)ЯХ₃ +

 

Положим:

М-, М-, 1

а₅Я=1; М₂=М1;   = \ => ^ =

во   , , гг

^ = ; М_х = Т_ко . М₂ М₂ а₉Я М₃ а₅

Тогда новыми коэффициентами системы (4.26) будут:

а₅   а₅ М_ъ а₅ а₅   а₅

а,Я Ь\Я ЬаЯ -г,

г_х=г_хх+и,тде и =. -¹- у_г, ^, = -¹—, г₂ =--. В результате получим:

м_х м_х м_з

¦Х_х + Х₂

Х₂ = -й₂Х₂ +Х₃ .   (4.27)

-з⁼ д-_ъХ₂ -й₄Х_ъ +г₂

(4.28)

В системе (4.27) вектор г содержит управление (в первой координате), а матрица 2) - трехдиагональная и зависит от четырех неотрицательных параметров ?/_г, которые связаны неравенствами:

й?₂ > ???1, ^>с^З ^и < 1 » с1/>0.

/=1

+ гл

Найдем характеристический полином системы (4.27).

 

(1 + А) 1 О

М 1 О йх —й2 1 О

л(х)=

7) =

= 0.

- (?/₂ + -А) 1 О й?₃ -(й?₄ + Я

 

(1+я)(л²+(а₂+а₄)л +с1₂ с1₄-с1з)-?1₁(4₄+Л)=О,

А³ + с_хЛ² + с₂Л + с₃ = 0.

Коэффициенты характеристического многочлена:

С_х = 1 + й₂ + й?₄ ,

с₂ = й?2 + ?/₄ + — — йГз , с₃ = — й_хй₄ - .

Найдем область устойчивости системы (4.27). Для этого проверим условия Стодолы (с,- > 0):

1)  ^ >0 выполняется ЧЦ >0;

2)  с₂ >0,

 

ас

Яг

а.

с₂= й2 + й?4 + ~   =

 

выполняется для Уа_г > 0 => \Zclj > 0; 3) с₃ > 0,

«8 + а9 а8

а9ап _ а9а10 ^ ^ а5а5 а5а5

V а5

а

5 У

с₃ = й₂й₄ -й_хй₄ -й_ъ = с1₄(Л₂ -с1₁)-с1₃ = ^+Дп выполняется для Уд, > 0 => > 0.

Условия Стодолы выполняются, а условия устойчивости Рауса-Гурвица кроме указанных выше, требуют выполнения единственного неравенства с_хс₂ -с_ъ >0. Проверим выполнение указанного неравенства:

((32+с1₄+?2с14-(11-с1з)(1+(12+(14)-((12С14-с11(14-(1з)>0,

{с1₂+(1_А\(1₁ +(1_А + й₂(1_А- й_х - й₂ +с1₄+с1₂с14   (1₂(1_А +?/^4+^3 =

= (с1₂ + ?/₄Х<^2 +<^4+ <Л₂с1_А - А?, - с1₃)+ {й₂-?/,)+й?₄(1 + а?,)>0. Для того чтобы неравенство выполнялось достаточно, чтобы {с1₂ + й₄ + й₂<Л₄ -с1_х -й?₃) = с₂ > 0 и [й₂ -^)>0.

Первое неравенство совпадает с условием Стодолы, доказанным выше, второе неравенство вытекает из условий (4.28). Следовательно, условия выполняются при Уа, >0=>Мй_г >0.

Так как условия Рауса-Гурвица выполняются при любых положительных коэффициентах система (4.28), то решение системы всегда попадает в область асимптотической устойчивости. Для того, чтобы решение было монотонно устойчиво необходимо, чтобы выполнялись условия Штурма.

Для рассматриваемой системы условия Штурма (3.8) имеют вид:

1) Зс₂ < С\ ,

После приведения подобных членов получим: ((}₂+<1_АУ\.-{<1₂ + (1₄))-3{с1₁ + с!₃ -с1₂с1₄)-\< 0. Для выполнения этого условия достаточно, чтобы (й₂ +?/4X1-^2 + ^₄))-3(с1_х + с1₃ -?г^г₂й?₄)<1.

Последнее неравенство выполняется при соблюдении условий (4.28).

2) с_хс₂ > 9с₃,

(1 + й₂ + й_А \й₂ +(1_А+ й₂й₄ -с1_х-(1₃)> 9{й₂й₄ - с1_хс1₄ - й_ъ), (й₂ -с1₄)² + (с!₂ + (1₄\с1₂й₄ -с1₃ +1)+4(1₄(2^-(]₂)-с1_х((]₂ +1)+8й?₃ > 0.

Данное неравенство выполняется в силу условий (4.28).

3) Условие /₃>0 проверить аналитически затруднительно из-за громоздкости преобразований, поэтому лучше проверять числено по формуле (3.8) для каждой конкретной системы.

Если условия Штурма выполняются, то решение системы (4.27) находится в области монотонной устойчивости, т.е. все корни характеристического многочлена ^ отрицательны и вещественны.

Матрица Э трехдиагональная и введением масштаба преобразуется в симметрическую. Поскольку при этом корни характеристического многочлена вещественны [44], а при выполнении условий Рауса-Гурвица и отрицательны, подтверждается непосредственно полученный ранее результат о том, что система находится в области монотонной устойчивости. При этом отпадает необходимость проверки условия /₃ > 0.

Преобразуем матрицу 2), умножив первую строку на й_хй_ъ, а вторую на й_ъ. Тогда:

			0 >		{-к	к	о ^
		— й2й3		=> К =	К		к3
	, 0	й3			<0	к3	-к4у

 

Решение системы (4.27) при выполнении условий Рауса-Гурвица всегда будет в области монотонной устойчивости.

Выполнение условий Рауса-Гурвица и Штурма обеспечивает, в силу утверждения 3.2, стремление системы уравнений (4.27) (при фиксированном значении управления и, а, следовательно, и г = (г_х,0,г₂)) к предельному стационарному значению Х_ст.

Общее решение системы (4.27): X, =д_иС₁е^ + д₁₂С₂е^л*^т + д_пС₃е^л^ + Х_хсг

< = д_2хС_хе^л* + д₂₂С₂е^л* + д₂₃С₃г^х* + Х_2СГ . (4.29)

Х_х =д_зхС_хе* + д₃₂С₂е^л* + д₃₃ С₃е^л* +Х_1СТ

Стационарные решения системы (4.27) будут:

_{x =} r_x(d₂d₄-d₃ )+r_{2 x}   r_xd_xd_A +r_{2   =} r_xd_ld₃+r₂(d₂-d₁)

d₄(d₂-d_x)-d₃ ' d₄(d₂-d_x)~d₃ ' d₄(d₂ -d_x)-d₃

Собственные векторы системы (4.27) находим из уравнений:

- (l + Aj ]qn +q_2i   +0 =0

d\<l\i -(di+^ihn +bi =0. 0   +d₃q_2i -(d₄ + ki)q_3i = 0

Положим q_Xi = 1, тогда q_2i = (l + A_t).

Из второго уравнения найдем q_2i = (d₂ + я,-Хl + A_i)-d_x.

Произвольные постоянные системы (4.27) находятся из начальных условий (4.25):

q _ {^Х\СТ ~ ^Х\й\ЯгъЧ22 ~Яз2^с/2з) ⁺ (^Х2СТ ~^2оХ?32 ~g33)⁺(-^3 СТ ~ ^30 X*?23 ~Ч2 г)

(?32 ~ ?33 )?21 + (^33 - Ч31 )<?22 + (<?3 1 ~ Я32 )?23

С _ (-^1СГ   ~?31^23) ⁺ (^2СТ ~^2оХ^31 ~ #33 ) ⁺(^ЗСГ ~^3oX?23 ~?2l) (4 30)

? _ (^ЧСТ ~ Х?32#21 ~ ^У422 ) ⁺ (%2СТ ~ -^20 Х^З 1 ~ 4 32 ) + (^ЗСТ ~ -^30 )(^22 ~~ <?2l)

(?32 -933^21 +(<333 -^3l)^22 + (?31 -0зг)?23

Для поддержания заданного стационарного режима в помещении необходимо знать все значения температур и объем подаваемого первичного энергоносителя. Допустим, искомая температура равна Х_{3 пог}, тогда Х₃ = Х_{3 пог}.

Из третьего уравнения системы (4.27) найдем требуемую температуру радиатора Х_{2 пог}, необходимую для поддержания в помещении температуры

Х_{3 пог}, а из второго уравнения найдем температуру на выходе из источника

тепла Х_{х пог} (при условии ^- = 0):

dr

_Y _ d₄X₃__nor - r₂ _ d₂X_{l nor} -Х_{Ъ пог}

^Л2 nor ~ , > ^Л1 nor ~ 1 •

d₃ d_x

Необходимый объем первичного энергоносителя для поддержания температуры Х_{х пог} найдем из первого уравнения: и = Х_{х nor}-X₂__nor-r_xx,

откуда

v_r =(4.32)

a,R

В процессе "натопа" (повышения температуры от Х₀ до Х_пог) управление принимает свое максимально допустимое значение (и = и,г_х=г_х) , и для возможности достижения и последующего поддержания требуемой температуры по теореме 3.5 необходимо и достаточно, чтобы Х_хст>Х_{х пог}.

Поэтому, справедлива следующая теорема:

Теорема 4.4. Необходимым и достаточным условием возможности поддержания нормативной температуры в помещении, отапливаемом встроенным изолированным источником тепла, является неравенство

Л(?2^4 (с1₂с1₄ - с/₃)Х_{Ъ пог} -с1₂Г₂

й_ха₃

4.2.2. Анализ устойчивости системы линейных дифференциальных уравнений, моделирующих теплоснабжение с неизолированным встроенным автономным источником тепла

Рассмотрим систему (2.23) и найдем ее решение в аналитическом виде. Для этого проделаем преобразования системы (2.23) аналогичные тем, что были приведены в п. 4.2.1. Введем масштабы: Т_к=М₁Х; , Т_Р=М₂Х₂, Т=М$Хз, ^Ят. Тогда система (2.23) запишется в виде:

 

мх	с!Хх
я	дх
м2	<ЛХ2
я	с1т
м3	ах з
я	с1т

- а5МхХ{ + а5М2Х2

+ а2М3Х3 + Т)] +ах Уг

(4.33)

апМ2Х2 - (а10 + ах, )М3Х3 +Ь4

 

С учетом начальных условий X, (о)-Х_]0, Х₂(о) = Х₂₀, Х₃(о) = Х₃₀ получим:

 

(Ь{ -г ауг)я

+ а2^ЯХ3

+ а,

+

мх

Мх

м} мг

ях,

Х_х = -а₅ЯХ_х М_х

Х₂= Щ^-ЯХ_х -{а_&+а₉)ЯХ₂ + а₉-^ЯХ₃

М М%

М_2 АЛ,

ЯХ2 -(а10+ахх)ЯХз +

а

и

 

Положим:

М,

Мх

м.

а5Я=1; М2=Мь а9 —-Я = 1

М!

М2 а9Я

АГ,

2 _^а9 . „ п^М3 дл _ Ы «5 .

М₃ а₅

 

ГО ¹

Введем коэффициенты системы (4.33):

 

=   +   а₉Я^- = с1₃ = —

а5

а* М₀   а₀

^а5

 

М-, „ а,, ^.а-, , а,л +а,

?₄=Яц—М

_ и11 а5 «5

40 а*

» =

М-х

 

а, Я Ъ_ХК Ь₃К

_П =г_п+и, где и^-^-Ур, ^г2 ⁼

Му

 

(4.34)

й4Х2

Тогда система (4.33) запишется в виде:

— — Х_х -ь Х₂ И^- Х₃ Х₂= й_хХ_х -й₂Х₂ +^х₃

¦(?₅х_з +г₂

 

В системе (4.34) вектор г содержит управление (в первой координате), а матрица В - зависит от пяти неотрицательных параметров й₁, которые связаны неравенствами:

й₂>й_х, ><Л₃й₄ и ?d_j <1, d_? >0. (4-35)

1=1

Найдем характеристический многочлен системы (4.34):

	Г-1 1	1 >		-(1+1)	1	1
Б =	йх -с12	й?3	=> А{Х)=	?1	-(?2+А)	й3	=0,
	,0 ?4			0	г/4

 

Л³ +с_хЛ +с₂Л + с₃ = 0, где

с_х = 1 + с1₂ + с1₅,

с₂ = с1₂ + с1₅ + с1₂с1₅ - - с1_х,

с₃ = й₂й_ь — с1_хс1₅ -с1_хс1₄ — й₃й₄ -й_ь{й₂ -с1_х)-с1₄(с1_х + с/3). Проверим выполнение условий Стодолы.

1) с_х > 0 выполняется \lclj > 0, т.к. с_х = 1+ <Х_г + й_ь.

2)   с₂ > О, то есть ?₂ + с1₅+с1₂с1₅ ~с1₃с1₄ -с1_х > 0.

В силу условий (4.35) {й₂ -с1_х)+(с1₂с1₅ -с1₂с1₄) + с1₅ > 0 и с₂ > 0.

3) с₃>0.

с15 (с12 - йх)- й4 (<ЛХ + й?з ) > 0 , «10+«11 ( а8 +а9 \ а8 + а11а2 ( \   Щ\а2а%             «5 { а5 а5J   а5а5 1«5 а2) а5а5 а5а5а5

 

то есть с₃ >0, при выполнении условия а₉а_х0а₅ >а_иа%а₂.

Проверим условия Рауса-Гурвица.

^С1^С2 ^_С3 > ^ •

(1 + ^2+ +^5 ⁺ ^₂с1₅ - С1₃С1₄ - С1])- (?/₅ (с/₂ - )- + й?₃ )) > 0 ,

-?/?)+(1 + ^/₂Х<^2 + <^₂с1₅ -й_ъй_а -я?, )+й/₅(<7₅ +с!₂с!₅ -с1_гс1₄)-с1₅{с1₂ -с1₁)+с1₄(с/, + й?₃) = = (1 + с/₂ Х<^2 +<^5 + - й_ъй₄ -с1_{)+с1₅ (с1₅ + (1₂(1₅ - й₄ (</, +с1_ъ).

Так как с1₂+с1₅+ й₂й_ъ - с!₃с1₄ - й_х = с₂ > 0, то достаточно, чтобы й?5 (й?5 + й₂й₅ - й₃й₄ ) > 0 .

С учетом условий (4.35) условия Рауса-Гурвица выполняются для Щ > 0 => V«/, > 0.

Так как условия Рауса-Гурвица выполняются при любых положительных коэффициентах системы (4.34), то решение указанной системы попадает в область асимптотической устойчивости. Для того, чтобы решение было монотонно устойчиво необходимо, чтобы выполнялись условия Штурма.

Условия Штурма (3.8):

1) Зс₂ <с_х ,

3(й?₂ +й?₅ +й₂й₅-с1_х -й₃с1₄)-(1 + (1₂ +с1₅)² < 0 .

После приведения подобных членов получим:

(с1₂ + XI -(й₂ +с!₅))-3(с1₁ + с!₃с1₄ -?/₂й?₅)-1<0.

Для выполнения этого условия достаточно, чтобы

(с1₂ + й_ь XI - {й₂ + с1₅ ))- 3(й?) + с1₃й₄ - с1₂с1₅) < 1.

Последнее неравенство выполняется при соблюдении условий (4.34).

2)   с_хс₂ > 9с₃,

(1 + с1₂ + ??₅ Х<5?2 + +^2^5 -С1₃с1₄)>9(с1₂(1₅ -?_Зй₄~й_хй_ь -?/,?/4),

(с!2 -с1₁)+(с1₂-с1₅)² +   -С1₃С1₄)+С1₅(8С1_[ -Ай_г + 1)+г/,(9й?₄ -г/₂)>0.

Неравенство выполняется в силу условий (4.34).

3) Условие /₃ > 0 проверить аналитически затруднительно из-за громоздкости преобразований, поэтому лучше проверять числено по формуле (3.8) для каждой конкретной системы.

Для того, чтобы решение системы дифференциальных уравнений (4.34) находилось в области монотонной устойчивости необходимо выполнение условия а₉а₁₀а₅ > а_иа₈а₂. Данное условие обеспечивает стремление решения системы (4.34) (при фиксированном значении управления и, следовательно, и г = (г, Дг₂)) к предельному стационарному значению Х_ст и решение будет в

области монотонной устойчивости.

Стационарные решения системы (4.35):

X _ ^Г3 (?3 ⁺ )+ ^Г\ {^2^5 ~ ) X - ^Г3 (^1 ⁺

^1СТ (?₅(с1₂ -й₁)-й_А{с1_х +?/₃) ' ^2СГ с1₅(с1₂ -с1₁)-с1₄(с1₁ +?/3)'

^ЗСГ (?/₂ - с1_х)- с/₄ (?/, + й?з )

Тогда, с учетом полученных стационарных решений, общее решение системы (4.35) запишется в виде:

X, - _ЧиС_хе* + д_Х2С₂е^Х* + д₁₃С₃е^^г + Х_1СГ

• = Чг&е* + <122^* +д_2ъС₃е^х* + Х_2СГ ,   (4.36)

X, + д₃₂С₂е^х*^т + д₃₃С₃е^^т + Х_1СТ

Найдем собственные векторы системы (4.35) из уравнений:

Положим =1, тогда д_ъ =(1 + 2,)-д₃₁.

Из третьего уравнения системы найдем = ?/₄ (1 + Я_;)-й^ - {ё₅ + Я, = 0,

_ + _тт „ +Л /1 1

ЯЗ!-~Г~~Г~ГТ ^и ^ -и + Лл, , , , - • а₄ + а₅ + Л,-  ^ а₄ + я₅ + Я,- ^

Произвольные постоянные системы (4.36) находятся из начальных условий (4.33):

{Х\СТ ^-^1()Х?33 Я22 ~Яз2Я2з)⁺(^2 СТ ~ ^20 Х#32 ~Язз)⁺(^ЗСТ ~^ЗоХ?23 ~ Ч22)

С,

23

^ _ (^ЧСГ ~^1оХ'?33'?21 ~ #31423 ) ⁺ {%2СТ ~"^2оХ#31 ~^Зз)⁺(-^ЗСГ ~^ЗоХ#23 "#21) (4 37) ²   (#32 - #33)#21 + (?33 - #31 )<?22 +{чз\~ Чз2 )?23

 

С

з

23

{Х\ст ~^юХ^32^21 ~ Ч3Ч22 ) С^2СГ ^_^2оХ^31 ~ (^ЗСГ ^-^ЗоХ#22 "#21)

(?32 -^33)^21 + (#зз -ЯггЬъ +(яз\ -ЧзгУз:

Для поддержания нормативного стационарного режима в помещении необходимо знать значения температур всех элементов системы, а также объем первичного энергоносителя, подаваемого в источник. Допустим, искомая температура равна Х_{3 пог}. Положим Х₃ = Х_{3 пог}. Из третьего уравнения системы

(4.34) найдем требуемую температуру обогревателя Х_{2 пог}, необходимую для

поддержания в помещении температуры Х_{3 пог}. Из второго уравнения системы

ах, . условии —^- = 0): йт

с1₅Х₃__пог-г₂   ?₂Х_{2 пог} -Л₃Х_{3 пог} {с1₂с1₅ ~Л_гс1₄)Х_{2 пог} -с1₂г₂

^Л2 пог=------ 1------ >^х\пог=--------- 1----- ⁼— =----------- ТТ^----------- •   (4.38;

а₄ а, а_ха_А

Необходимый объем первичного энергоносителя для поддержания

температуры Х_{х пог} найдем из первого уравнения системы (4.34):

^и = Х\_пог -^Х2_пог -^хъ_поготкуда

= (4.39)

а_хЯ

В процессе "натопа", то есть повышения температуры от Х₀ до Х_пог, управление принимает свое максимально допустимое значение (и = и,г_х=г_х) и для возможности достижения и последующего поддержания требуемой температуры Х_пог по теореме 3.5 необходимо и достаточно, чтобы Х_хст > Х_х__пог.

Поэтому справедлива следующая теорема:

Теорема 4.5. Необходимым и достаточным условием возможности поддержания нормативной температуры в помещении, отапливаемом встроенным неизолированным источником тепла, является неравенство Г_г{с1ъ +(1₂)+г_{{с1₂с1₅-(1_ъ(1_А) (?₂е1₅ -й_гй,)Х_Ъп0Г -й₂г₂

Проведенный анализ систем дифференциальных уравнений, описывающих системы теплоснабжения с встроенным (изолированным и неизолированным) источником тепла позволил сформулировать условия существования стационарных и нормативных режимов, а также вывести аналитические выражения для расчета переходных процессов указанных систем.

4.3. Анализ устойчивости системы линейных дифференциальных уравнений, моделирующих теплоснабжение с вынесенным автономным источником тепла

Введем обозначения коэффициентов матрицы (2.18):

а^-ки а?=к2, ау + ав=кз, а8=к4, щ=к% аю-кв, аю + <з// =&7-

С учетом принятых обозначений имеем:

к₃ > к_х, к₃ > к₂, к₇ > к₅, к₇ > к₆.

(4.40)

Система (2.18) примет вид:

 

<ПК ж с1Тт & йТр	-к{Гк к2Тк
Л йТ
Л
, ж

 

(к ^ + к₅ )Т_Р +к₅Т к₆Т_Р -к₇Т к₂Т_Р

+ к_хТ_обр +Ь_Х + а_хУ_Г + Ь₂ + 0 + Ь_А

¦къТТ

(4.41)

кАТт

~к{Г_о6р +Ь₅

 

Линеаризованная система дифференциальных уравнений (4.41) после введения масштабов температур и времени

Х1=Тк=М]Х], Х₂=Тт=М₂Х₂, Хз=Тр=МзХ_3> Х₄=Т=М4Х₄, Х₅=Т_обр=М5Х₅, 1=Ят,

примет вид:

с/т с1Х

г _

-к3ВХ2 м2 ¦ А ---- 4 м.

с/т ?Х3

с/т с1Х4

(к ёХ5

с/т

<ЛХ_х _

-к_хЯХ_х к^ЯХ 3

м₄

щ

ЯХ2 -{к4+к5)ЯХ3

ЯХг

м*

_+к5М±лх М₃

+ кх^ЯХ 5 +{Ьх+ахУГуК

М,

М

л

+ ь*>

м2 + 0 я

+ ь.

м4 я м7

— к3ЯХ$

-к₇ЯХ₄

 

^к1 ^М1 л/ ил ^к2

— = —~, М₂=М1 — к, к] М₂ к₂ М₂ к₁

к *к к * к * к /уу Л-у /Vу А/у А/у

Коэффициенты полученной системы:

к * к * к Л-у Лу

м«

к к А-к к к *к к * к * к

к 2 ку к у к у ^ к!

^г\ ={^Ь\^+а\^Уг)—' ^Г2=^Й2Т7"' ^Г4⁼⁶4ТТ-' ^г5 =^Ь2

М_х   ' ^ " М4

Положим к^Я=1 =>я = —, — * ^ = 1=>

Тогда система (4.41) запишется в виде:

йХ_х

= -х.

с/т

¦й_хХ₂

Х₂ — й₂Х₃ +с1₄Х 4 ~<1₃Х₄

= X,

с/т

(4.42)

+ 0 + >*4 -с/^5 +/"5

с/т (IX 4 с/т сйГ5 с/т

?5*3

 

(4.43)

В системе (4.42) вектор г содержит управление (в первой координате), а матрица I) - почти трехдиагональная и зависит от пяти неотрицательных параметров с/_г, которые связаны неравенствами:

X с/_г- <1, с/_; > 0. /=1

Выпишем матрицу системы обыкновенных дифференциальных уравнений (4.42) и найдем аналитические выражения для коэффициентов характеристического многочлена.

 

	Г -1-	X	0	0	0	1 >
	1	-	(??-Х	0	0	0
	0		1	-й2 -X	с14	0
	0		0	1	-X	0
	, 0		0	с15	0	-с11 —Яу
			-1-Х	0	0	0		1
			1	-с11-Х	0	0		0
А(Х)	= \2-	II	0	1	— ?2 —X	<14		0
			0	0	1		-X	0
			0	0	?5	0		— й1

<Л4 ¦с13 — X О

О О — й1 - X

¦й2—Х

-??2 ~ X 1 с15

= {1 + Х)*(с1]+Х)*

-й3-Х О

+

 

= -(/+я) * (<+ х)² * (?₂ + х) * (?₃ +х)+с1₄*(1+х)* + х)² + а₅ * + х)=о

В силу утверждения 3.1 существует единственное эффективное решение уравнения (-1)' ?>, (с1)=с₁.

Л⁵: с₀=1,

Л⁴: С1=1+2й1+(12+йз,

Л³: С2=2ё1+й2+йз+й² +2(1^2+ 2с1]с1з+с1₂(1з-с14,

2 2 2 2 Л : сз=с11 с1з+2с!/?/??(г ^(?Г

1 2 2 2 2 Л : С4= (?1   с1з+2с1;(?2(11-2(11 ?/^+?// (???.?-й/ ?/?ч/%

Л° : С5= с1 ²й₂(1з-(11²с14-(1;,с1з. Проверим условия Стодолы (с_г- > 0):

1) с_х >0 выполняется > Отак как с_х = 1 + + ?/₂ + ?/₃.

2)   с₂ >0,

С₂ = {й₂й_ъ - ?4 ) +(1 + 2^X^2 +(1т_>)+{1<1_х + с1\ | > 0 .

Выражение с/₂^з ^в принципе может привести к тому, что условие 2 выполняться не будет. Поэтому, при выполнении условия й₂й₃ -?/₄ > 0, условие 2 будет выполняться всегда.

Докажем выполнимость условия, отмеченного выше. Для этого перейдем к коэффициентам к₁:

ё₂й₃ -й₄ = ⁺ * — - следовательно к₄к₇ + к₅к₇ >к₅к₆, к_х к_х к_х к]

к₄к₇ + к₅ (к₇ - к_в) > 0 из условий (4.40) выполняется для \/к₁ > 0 => > 0.

3)   с₃>0,

с_ъ = (й?₂й?₃ - X¹ + 2^1)++ ?з )(^2й?1 + )+ > 0, выполняется для > 0 в силу доказанного выше условия, что й₂й_ъ -с1₄ > 0.

4)   с₄ > 0,

с₃ = (?/₂ + Л_ъ+ -с1₄)(2^! + й?!²)-> 0, так как с1₂с1₃ -с1₄ >0 докажем, что (с/₂ + <з?з У* - > 0. Если утверждение верно, то с₄ > 0. Проведем доказательство выполнения неравенства (с1₂ + й₃ )с1_х -<7₅ > 0:

(и   г1 _^к\+^къ ^кз^кз , ^к1 ^кз^кз к₂к₂к₄

\^а2^+аз)^а\ ~^а5~—;------ Т~Г 1—ГТ---------- ТТГ'

/с /С|   /С| /С^

к₄{к! - к1)+ к\(к₅+к₇)>0,

к₄(к₃-к₂)(к₃+к₂) + к₃(к₅+к₇)>0 из условий (4.40) выполняется для

> 0 => Ус/, >0.

5)   с₅ > 0,

^с5 ⁼ <1\{с1₂с1₃ -(1₄)-с1₅(1₃ > 0,

И² (и И и\ л л _ *3*3 ^кА^+к5 ^к1 ^к6^к5 ^кЗ^кЗ ^к2^к2^к4 ^к1

^а\ \^а2^а3 ~^а4)~^а5^а3 ------------ 7-------- Г~1- 71------ 7П----- Г~'

к_х /ЦЛ] /С}«) л]л|

к₅к%(к₇-к₆) + к₇к₄[к₃-к%)>0 из условий (4.40) выполняется для Ук₁ >0=>\/с1,>0

Для того, чтобы характеристический полином системы (4.42) был полиномом Гурвица необходимо выполнение условий (3.10). Условия Д^О, Д₂ > 0 и Д₅ > 0 вытекают из условий Стодолы, аналитическое доказательство для Д₃ > 0 и Д₄ > 0 слишком громоздко и поэтому не приводится. Численная проверка выполнения условий Рауса-Гурвица реализована в информационной системе, описанной в параграфе 5.1.

Выполнение условий Рауса-Гурвица обеспечивает в силу утверждения 3.2 стремление системы уравнений (4.42) (при фиксированном значении управления и) к предельному стационарному значению Х_ст:

х2СТ

X.

с1\(1₂с1₃ (^г5 + ?1_[с1₄(с1₅Г_А - й_хГ_х -Г₅)+

Х_1СТ -

₌ ^(?₂с1₃{г₁+г₂)-с1₁с1₄(г₁+г₂)+с1₄(<1₅г₄ -г₅) + с1₂с1₃г₅ {(1₂с1₃ - ) - й?з

_ й1 + ) + (^2 ~ К + ^г5

_ с1₃с1₅(г₁+г₂) + с1₁((с1₂с1₃ -й₄)г₅ + с1₄с1₅г₄)

5СТ —-------------------- 2------------------------------------------------ "

с1_х (с1₂с1₃ - с1₄)~

Если характеристический полином системы (4.42) является полиномом Штурма, то решение исходной системы находится в области монотонной устойчивости и собственные векторы матрицы 2) найдем из уравнений:

	0	0	0		= 0
9\ 1	+ <Э,2г(-й?1	) о	0	0	= 0
0	<12		) +041^4	0	= 0
0	0	Чъ 1		) 0	= 0
0	0		0		/)=0

 

Положим = 1 тогда = (1 + Я,). Рассмотренная выше система преобразуется к виду:

³' "^{7 4}' +л)

Общее решение системы (4.42) в области монотонной устойчивости:

Х_хст + д_ххС_хе^^т + д_Х2С₂е^л* + д₁₃С₃е^л*   + д_х4С₄е^л*^г   + д_Х5С₅е^

Х₂ = Х_2СГ + д_2хс_хе^^г +д₂₂С₂е^л* + д₂₃С₃е^л*   +д₂₄С₄е^л* + д₂₅С₅е**^т

Хэст   +Ь2С₂е^ЛгТ + д₃₃С₃е^я*^г + д₃₄С₄е^л*^т + д₃₅С₅е*,. (4.45)

Чи

^/-(^з+Лк, =0 ^зс -(^1 +ЛХ1 + Л) = ° 1

Х₄= Х_4СГ + д_А1С₁е*   +д₄₂С₂е^л+ д₄₃С₃е^л*   +д₄₄С₄е^л" +д₄₅С₅е*

 

Л

Лт

Я3г

X,

Х_5СГ +д₅₁С₁е^л*^т + д₅₂С₂е^Л2Т +д₅₃С₃е+д₅₄С₄е^ +д₅₅С₅е

 

Произвольные постоянные С_г находятся из начальных условий. Аналитические выражения для них слишком громоздки, поэтому предлагается их численное нахождение методом Гаусса [107].

Для поддержания нормативного стационарного режима в помещении необходимо знать все значения температур в системе и объем первичного энергоносителя. Допустим, искомая температура воздуха в помещении равна Х_{4 пог}, тогда положим Х₄ = Х_{4 пог}. Из четвертого уравнения системы (4.42)

найдем требуемую температуру обогревателя Х_{3 пог} для поддержания в помещении температуры Х_{4 пог}. Из пятого уравнения определим температуру теплоносителя в трубопроводе обратной подачи Х_{5 пог}, из третьего уравнения - температуру теплоносителя в трубопроводе прямой подачи Х₂__пог, из второго -

температуру на выходе из источника тепла Х_{х пог} (при условии =0).

с1т

ё3с15ХА пог -с15г4+г5 с1х

пог - 33Х4 пог г4, Х5 пог

Х2 пог = ^2й3 - й4 )Х4 пог - с!2г4 , Х1 пог = с1х [й2й3 - с14 )х4 пог - йхй2г4 - г2. (4.46)

Получим следующие значения нормативных температур в системе:

Необходимый объем первичного энергоносителя для поддержания температуры Х_х__пог определим из первого уравнения: и = Х₁__пог-Х₅__пог-г_и,

откуда

(4.47)

В процессе "натопа", то есть повышения температуры от Х₀ до Х_пог, управление принимает свое максимально допустимое значение (и = и,г₁=г₁) и для возможности достижения и поддержания требуемой температуры в помещении по теореме 3.5 необходимо и достаточно, чтобы Х_1СТ>Х_{1 пог}.

Поэтому справедлива следующая теорема.

йхйгйъ(г5 -йхгх -г5)+с13с15г2 , х ц , т ГТ —I ^ «1 \м2 3 ~ и4 4 пог и1м: ах \агаъ -а4)-а3а.

Теорема 4.6. Необходимым и достаточным условием возможности поддержания нормативной температуры в помещении, отапливаемом автономным вынесенным источником тепла, является неравенство

2^Г4 ^г2 •

¹5

Область монотонной устойчивости в случае системы пятого порядка очень узкая и решение системы, как правило, в нее не попадает.

Если среди корней характеристического уравнения (при выполнении условий Рауса-Гурвица) имеются комплексные (Л, е С), то имеет место колебательная устойчивость системы. При этом возникают трудности в построении собственных векторов или пропорциональности произвольных постоянных для различных компонентов решения. Вопрос этот мало освещен в литературе, а построение комплексных собственных векторов достаточно сложно, поскольку окончательное выражение для компонентов решения должно быть вещественным.

Однако специфика системы (почти трехдиагональность) позволяет конструктивно доказать теорему.

Теорема 4. 7. Для комплексных корней характеристического уравнения системы (4.42) связи между произвольными постоянными решения

определяются однозначно путем последовательного перехода:

Х₂ -»X! ->х₄.

Доказательство.

Выпишем аналитическое решение для Х₂ при условии, что характеристическое уравнение имеет одну пару комплексных корней^[3], допустим Л, ,Л₂ е С, т.е. А₁=а + /%, Л₂=а- ?31.

Х₂ = Х_2СТ + м>_2хС_хе^ат со8{рт) + уу₁₂С₂е^ат ят(/3т) + хд₂,С₁е^л'^т,

1=3

где =м>₂₂ = 1 и д₂₃=д₂₄ = д₂₅ =1.

Из второго уравнения системы (4.42) найдем Х_х. =^2 + ^Х₂-г₂ =

= Х_к:г + (ц!_п соя(/вт)-м>₁₂ зт(/3т))с_хе^ат + (м^ 5т{/3т) + м>₅₂ соу(/?г))С₂?'^<" + ? д_иС^^т,

1-3

где м>_п =а + с!_х, м>_Х2=/3, д_Х1=й_х +Х,.

Из первого уравнения выразим Х₅:

= Х_5СТ + (м>_5Х соь{рт)-м>₅₂ ,чт(/3т))с_хе^ат + (м>_5Х ^ш(/?т)+ ч?₅₂ соь{/Зт))С₂е^ат + Ьд^С^ ,

/=3

где м>_п = (1 + а)ы_и - /?и>₁₂ = (1 + а\а + й_х)-/?^[4], щ = (1 + а)и>_Х2 + /Ь>_и = /3(1а + +1), Из пятого уравнения выразим Х₃:

«5

= Х_зсг + со^(/?г)-н'з₂ ?^,ш(/?г))С₁е^ат +   м₃₂ сох(/}т))С₂е^ат + Х^з/С,⁶^ >

(=3

где Н'з! = ^-(Й + 0^51 =   "МЛ 03/ = _/] +Л)²(¹⁺Л)-

и ^   ^ 5 5

Из четвертого уравнения найдем Х₄:

= Х_4СТ + [ч>_А} сс«(/?г)- -и>₄₂ + (м>_АХ ь-т(/3т)+ м>₄₂ со$(/}т))С₂е^ат + .С]е^л,т,

где Н-₄₁ = _:Г((с/₂   -¹)' ^42 = / ((?2   + /^31 )>

7 \\ 2   / 01 Г / ?   у

а₄   а₄

1 '

Ча ₁=-г й?₄

\<*5

Общее решение линеаризованной системы дифференциальных уравнений (4.42) в области колебательной устойчивости с одной парой комплексно сопряженных корней примет вид:

х, = Х_]СТ + [м>_п С08{рт)-м>,₂ ^?п{рг)^е^ат + (м^ ял(/?т)+ м>_п со*{/Зт))с₂е^ат + I .

г=3

Таким образом, все компоненты решения выражены через пять произвольных постоянных (значения которых определяются по начальным условиям).

Можно констатировать, что для системы пятого порядка получены аналитические решения для переходных процессов, а также стационарные и нормативные решения. Полученные решения позволяют анализировать переходные режимы указанной системы в области монотонной и колебательной устойчивости.

4.4. Выводы по главе

Полученные в четвертой главе диссертационного исследования результаты, необходимые для анализа систем теплового снабжения, описываемых системами дифференциальных уравнений первого-пятого порядка, сводятся к следующему:

• получены аналитические выражения для расчета стационарных режимов анализируемых систем;

5 I /=3 "4г

• выписаны аналитические выражения для расчета нормативных режимов исследуемых систем;

102

• доказано, что аппроксимация функции единичного скачка (функции управления) функциями Хаттингтона и обратной экспоненты ведет к аппроксимации оптимального решения;

• доказано, что решение системы дифференциальных уравнений третьего порядка, описывающие теплоснабжение зданий встроенными автономными источниками, при всех реально допустимых начальных условиях находится в области монотонной устойчивости;

• в аналитическом виде получены выражения для расчета переходных режимов в рассматриваемых системах;

• получены аналитические выражения для расчета переходных режимов исследуемых систем в области колебательной устойчивости.

Глава 5. Компьютерное моделирование температурных режимов систем теплового снабжения

5.1. Возможности и структура системы программной поддержки

Для разработки программных средств математического моделирования теплотехнических процессов, предлагается использовать современные программные среды, такие как Microsoft Excel и Maple.

Среда Microsoft Excel 2000 выбрана как наиболее удобная и доступная на этапе исследования. В ней была разработана информационная система, использующая надстройки Maple 6, Поиск решения и Анализ данных. Надстройка Maple 6 позволяет выполнить любую команду математического пакета Maple непосредственно на рабочем листе Excel и получать результаты ее выполнения в ячейках Excel для дальнейшего использования [54, 66].

Шаблонный файл был создан как единая Книга Microsoft Excel. Каждый лист моделирует отдельные системы теплового снабжения или математические расчеты для них (например, расчет методом Гаусса произвольных постоянных решения системы пятого порядка). Отдельные функции, такие как функция Хаттингтона, сгенерированны в виде дополнительных встроенных функций Excel. С помощью математического пакета Maple 6 считаются значения корней характеристического полинома третьего и пятого порядка.

Разработанная программная поддержка позволяет реализовывать ввод и корректировку данных с одного листа Книги, осуществлять подбор оптимальных параметров анализируемой системы и анализировать исходные данные. Система программной поддержки предусматривает возможность моделировать температурные режимы для различных систем теплового снабжения и проводить сравнительный анализ полученных результатов.

Система программной поддержки позволяет моделировать процессы «натопа» или понижения температуры в помещении для заданных теплотехнических характеристик систем теплового снабжения, определять стационарные и нормативные режимы, вычислять расход первичного топлива, рассчитывать параметры аппроксимации А, и р. на основе экспериментальных данных.

Пользователю предоставляется возможность экспорта полученных таблиц и графиков, а также сохранение результатов в виде таблиц Microsoft Excel. Информационная система имеет дружественный интерфейс и для успешной работы не требует дополнительных знаний.

Разработанная система программной поддержки использовалась в рамках Проекта №01.01.079 программы Министерства образования РФ «Научные исследования высшей школы по приоритетным направлениям науки и техники» (2001-2002 г.г.). Система также применяется в учебных целях при проведении практических занятий на кафедрах Экономики и менеджмента в машиностроении РГАСХМ и Экономики и прикладной математики РГПУ для имитационного моделирования теплоснабжения зданий.

5.2. Моделирование режимов теплового снабжения системы с автономным вынесенным источником тепловой энергии

Для исследования разработанных в диссертации моделей было проведено большое количество вычислительных экспериментов. Наиболее иллюстративные из них приведены в данной главе.

В производственном помещении фирмы «Группа компаний К5» требуется поддерживать в течение рабочих смен (продолжительность производства работ в разрезе суток может варьироваться) температуру 18°С. Руководству фирмы необходимо обеспечить заданный температурный режим в производственном помещении при обеспечении минимально возможных приведенных затрат на теплоснабжение.

Постановка задачи: для производственного помещения фирмы «Группа компаний К5» требуется рассмотреть возможность обеспечения заданного температурного режима в рабочее время (18°С), при условии минимально возможных постоянных капиталовложений в систему обогрева помещения при несущественном завышении эксплуатационных расходов.

Характеристика производственного помещения: здание сооружено из железобетонных конструкций, размеры 30м х 12 м х 5 м; четверо железных ворот, площадью 3700x3800, толщиной 5 мм; четыре окна, размером 3700x1300 из стеклоблоков, толщина блоков 50 мм; толщина стен - 300 мм; толщина потолка - 50 мм.

Источник теплового снабжения. В качестве источника теплового снабжения используется автономная котельная с источником: • ТГМ-120.

Мини котел ТГМ -120 выпускается ЗАО «Радужный», предназначен для теплоснабжения жилых домов ,и производственных помещений. Выбор этой марки котла для рассмотрения различных вариантов теплоснабжения помещений с автономным источником не случаен. Установленные горелки (две штуки) позволяют плавно регулировать подачу первичного энергоносителя (природного газа). Габаритные размеры источника 680 мм х 830 мм х 1640 мм, масса -200 кг. Вид топлива - природный газ, тип отопления - водяное, максимальная температура теплоносителя на выходе из источника 95°С, нежелательно понижение температуры ниже 45°С. Максимальный расход газа - 0.0034 м³/с, расход воды -5 м³/ч. Если температура теплоносителя на выходе из

0   3

котла становится выше 95 С или расход воды меньше 3 м /ч, то прекращается подача газа на основные горелки [120].

Теплоснабжение осуществляется по теплотрассе длиной 100 м, диаметр теплотрассы 100 мм, толщина минераловатной теплоизоляции - 50 мм.

Исходные параметры системы, по принятой в параграфе 2.2 диссертационного исследования классификации, приведены ниже: а_Т= 50.5, Вт/(°С), р_т = 7270, кг/м³; Б_т =34.7, м²; 8_Т =0.005, м; С_г(7»=4190, Дж/(кг*°С); С₂(7»=4180, Дж/(кг*°С); <3, =36000000, Дж/м³; р₂ =1000, кг/м³; У₂=0.014, м³; С₂(Т_к) =4180, Дж/(кг*°С); Т_г =2030, °С; Т_ск =5, °С; Т_г2 =110, °С;

Т_в=5, °С; =0.05, Вт/(м*°С); S_K =0.925616, м²; 6_К =0.1, м; С_г(Т_г2)=1300, Дж/(м³*°С); V_cr =0.0112, м³/с; С_Г(Т_В) =1300, Дж/(м³*°С); V_B =0.0056, м³/с; V_t=0.0014, м³/с; а_р=8.07 , Вт/(м²*°С); р_р=7800, кг/м³; ё_р =0.005, м; С_Р(Т_Р)=4190, Дж/(кг*°С); S_CT-,780 м²; т =3; V_n =1800, м³; С_П(Т)=1100, Дж/(кг*°С); ^=1.205, кг/м³, S_P=9A, м²; Т_с =-5, °С.

Теплотехнические коэффициенты элементов ограждающей конструкции

Значения теплотехнических коэффициентов элементов ограждающей конструкции взяты из [13, 87, 88, 117] и приведены в таблице 5.1.

Таблица 5.1 Элементы   h   k? Sj*k? Доля S?*k? конструкции S?,M2 Вт/(м*°С) S?,M Вт/(м2*°С) Вт/°С % , Стены 344,5 0,52 0,300 1,7 597,2 0,061086 Окна 19,2 0,76 0,050 15,2 292,4 0,029915 Ворота 56,3 86,50 0,005 17300,0 972952,0 99,526020 Потолок 360,0 0,52 0,050 10,4 3744,0 0,382984 Итого 780,0       977585,6

 

Начальные условия системы (4.41): Т_К(0)=20°С; Т_т{0)= 18°С; Т_Р(0)=12°С; Т(0)=5⁰С; Т_обр(о) = 11⁰С.

Системному расчету следует предпослать анализ принципиальной возможности поддержания требуемой температуры в производственном помещении даже при условии отбора от источника максимальной его мощности (объем газа У_г =0.0034, м /с). Результаты соответствующего предварительного анализа приведены в таблице 5.2.

Таблица 5.2

Стационарные режимы системы (°С)

Tk ct	160.0929768
Tt ct	158.6804913
Tr ct	140.483577
T ct	0.105050142
T obr	139.2388636

 

Как видно из таблицы 5.2. даже при максимальной подаче первичного энергоносителя в источник последний не обеспечивает нагрев помещения до нормативного значения, а температура теплоносителя на выходе из источника превышает при этом предельно допустимую. На основе анализа данных таблицы 5.1 следует провести предварительную параметрическую оптимизацию элементов ограждающих конструкций системы [77, 106].

Рассмотрим результаты, полученные в табл. 5.1. Физический смысл коэффициентов (их размерность   - потери мощности в Вт через

соответствующие элементы ограждающей конструкции в случае, если Т-Т_с= 1°С. По данным последнего столбца таблицы 5.1 около 99,5% тепловой мощности теряется в окружающую среду через металлические ворота. Очевидно, что утепление створок ворот является первоочередной задачей в снижении тепловой проводимости ограждающих конструкций. Для утепления створок ворот целесообразно использовать маты минераловатные прошивные (ГОСТ 21880-76) и на синтетическом связующем (ГОСТ 9573-82). Значение теплотехнических коэффициентов системы для рассматриваемого случая приведено в таблице 5.3.

Таблица 5.3

Теплотехнические коэффициенты элементов ограждающей конструкции

при выполнении теплоизоляции ворот

Элементы		К
конструкции	м2	Вт/(м*°С)	§1,М	Вт/(м2*°С)	Вт/°С	Доля 8|*к|%
Стены	344,52	0,52	0,30	1,73	597,17	12,73
Окна	19,24	0,76	0,05	15,20	292,45	6,23
Ворота	56,24	0,05	0,05	1,04	58,49	1,25
Потолок	360,00	0,52	0,05	10,40	3744,00	79,80
Итого	780,00				4692,11

 

Как видно при сравнении результатов расчетов в таблицах 5.1 и 5.3 суммарная величина коэффициента Б*к уменьшилась с 977585,6 Вт/°С до 4692,11 Вт/°С. Примерная стоимость указанного снижения потерь мощности определяется стоимостью 56 м минераловатных матов (около 1000 руб).

Рассчитаем стационарные и нормативные режимы системы после проведения предварительной оптимизации. Результаты расчетов сведем в таблицу 5.4.

Таблица 5.4

Стационарные и нормативные режимы системы после проведения предварительной оптимизации металлических ворот

	Стационарные	Нормативные
Tk et	178.8277911	150.7469856
Tt et	177.2550162	149.4144617
Tr et	159.3800639	134.3343352
T et	21.48528514	18
T obr	157.9736779	133.1422329
Vr	0.0034	0.002983652

 

По теореме 4.7 при условии превышения стационарными решениями нормативных решений, последние являются принципиально возможными. Однако, данные решения являются неприемлимыми по условиям обеспечения техники безопасности, поскольку температура теплоносителя на выходе из источника превышает предельно допустимое значение. Так как технические характеристики источника не позволяют обеспечить рассчитанный в таблице 5.4 режим, требуется продолжить утепление ограждающих конструкций здания. Из последнего столбца таблицы 5.3 видно, что около 80% тепловой мощности теряется через потолок здания. Рассмотрим мероприятия по снижению тепловой проводимости потолка. В качестве такового рекомендуется подвеска на расстоянии 1 метра от перекрытий полихлорвиниловой пленки толщиной 1 мм. Значение теплотехнических коэффициентов системы для рассматриваемого случая приведено в таблице 5.5.

Таблица 5.5

Теплотехнические коэффициенты элементов ограждающей конструкции при выполнении теплоизоляции ворот и потолка здания

Элементы						Доля 8]к1
конструкции	8^м2	Вт/(м*°С)	81, м	Вт/(м2*°С)	8&Вт/°С	%
Стены	344,52	0,52	0,30	1,73	597,168	62,44949
Окна	19,24	0,76	0,05	15,20	292,448	30,58307
Ворота	56,24	0,05	0,05	1,04	58,4896	6,11661
Потолок	360,00	0,02	1,00	0,02	8,136	0,85083
Итого	780				956,242

 

Как видно из таблиц 5.3 и 5.5, суммарная величина коэффициента уменьшилась с 4692,1056 Вт/°С до 956,2416 Вт/°С. Примерная стоимость мероприятий по указанному снижению потерь мощности определяется стоимостью 360 м полихлорвиниловой пленки (около 1800 руб).

Рассмотрим процесс изменения температуры воздуха в обогреваемом помещении при принятых параметрах ограждающих конструкций. Построим графики изменения температур. Результаты расчетов приведены на рисунке 5.1.

 

¦Тк •И

Тг

т

.................. ..'', ...... л/,1,,'}'.„.

50

100

150 время, мин.

200

250

... -----  1   • ... '-'Г М ;—--   п—;——

: * ?',:> I „г\,с/

300

>ТоЬг >Т ?эк

 

^эис. 5.1. Графики изменения температур в элементах системы теплоснабжения с вынесенным источником

Время достижения нормативного значения температуры воздуха в помещении составляет 215 мин. Значения корней характеристического многочлена для рассматриваемого случая приведены в таблице 5.6.

Таблица 5.6

Значения корней характеристического многочлена

Л1	-1.00000048
к2	-.1316622268е-1-. 6294427485е-2 */
Лз	-. 1316622268е-1 +.6294427485е-2* 1
?4	-0.002513111
Лв	-0.00019

 

Из таблицы 5.6 следует, что система находится в области колебательной устойчивости. Однако большие значения декремента затухания и большие значения произвольных постоянных решения системы дифференциальных уравнений обеспечивают практически монотонный рост температур.

В таблице 5.7 приведены значения параметров системы, обеспечивающие стационарный режим ее работы после достижения нормативных значений температур.

Таблица 5.7

Нормативный и стационарные режимы системы

	Стационарные режимы	Нормативные режимы
Тк	54.72043891	49.7480544
П	54.20948894	49.27964665
Тг	50.28774462	45.69023175
Т	20.0337862	18
Тобр	49.81471944	45.2565415
Уг	0.00085	0.0007837

 

Из таблицы 5.7 видно, что указанный стационарный режим системы достигается при подаче первичного энергоносителя в источник в объеме 0.00085 м³/с.

111

5.3. Моделирование режимов теплового снабжения системы с автономным внутренним источником тепловой энергии

Для проведения адекватного сравнения работы систем теплового снабжения с вынесенным и внутренним источниками тепловой энергии произведем следующую модификацию рассмотренной выше системы. Источник тепловой энергии того же типа разместим в пристройке к рассматриваемому производственному помещению. Значения корней характеристических полиномов для случаев с изолированным и неизолированным автономными источниками приведен в таблице 5.8.

Таблица 5.8

Корни характеристических полиномов для систем с изолированным и неизолированным автономными источниками

	Изолированный источник	Неизолированный источник
?1	-1.00381216	-1.0038122
к2	-0.00239494	-0.0023949
Лз	-0.00049194	-0.0004919

 

Результаты расчета показывают, что обе системы находятся в состоянии монотонной устойчивости, что и было доказано выше в параграфе 4.2. Значения температур в рассмотренных системах теплоснабжения приведены на рисунках 5.2 и 5.3.

----

120

 

•Тк ¦Тр

т

100

§ Р ё

.......... "''"Л1'11'-

_______________

50

100   150 время, мин

200

................................................................................. ', I.................................... _______________ .....______________ ' .

250

Т ?эк

 

Рис. 5.2. Графики изменения температур в элементах системы теплоснабжения с встроенным изолированным источником

время, мин

 

Рис. 5.3. Графики изменения температур в элементах системы теплоснабжения с встроенным неизолированным источником

Сравнительный анализ полученных на рисунках 5.2 и 5.3 результатов показывает, что в случае с автономным неизолированным источником время

«разгона» системы составляет 95 минут, что на 40 минут меньше, чем в случае с автономным изолированным источником. Это объясняется тем, что в случае системы с неизолированным автономным источником тепловые потери самого источника (за исключением потерь с уходящими газами) идут непосредственно на нагрев производственного помещения.

Сравнительный анализ стационарных и нормативных режимов систем с автономным изолированным и неизолированным источниками приведены в таблице 5.9.

Таблица 5.9

Стационарный и нормативный режимы систем с автономным изолированным и

неизолированным источниками

	Изолированный источник		Неизолированный источник '
	Стационарные режимы	Нормативные режимы	Стационарные режимы	Нормативные режимы
Тк	52.78363016	49.27315998	52.8005906	49.27316
Тг	48.9583373	45.68448944	48.9741545	45.68449
Т	19,4484454	18	19.4554434	18
Уг	0.00068	0.0006421663	0.00068	0.0006420019

 

Анализ данных таблицы 5.9 позволяет сформулировать следующий вывод: при прочих равных условиях применение автономного неизолированного источника является более эффективным, так как в данном случае уменьшаются тепловые потери самого источника.

5.4. Компьютерное моделирование теплоснабжения отдельного помещения

Рассмотрим процесс теплоснабжения отдельного помещения. Управление в силу тепловой инерции носит в этом случае не релейный характер. Поэтому производится его замена аппроксимирующей функцией. В общем случае, параметр аппроксимации определяется для каждого помещения. Примеры подобных расчетов приведены в [58, 76]. Если в здании замеры температуры обогревателя не производились, то предлагается иной подход. Рассчитать изменения температур для всей системы теплового снабжения в целом и из полученных данных выбрать набор характерных точек, описывающих изменение температуры обогревателя во времени.

Расчет параметров аппроксимации

По результатам эксперимента, проведенного в производственном помещении ООО «Группа компаний К5», найдем параметры аппроксимации по формулам (4.9) и (4.16). Аппроксимирующий параметр X функции Хаттингтона ищется без учета нескольких начальных точек, поскольку данная функция имеет значения в отрицательной полуплоскости. Результаты расчетов приведены в таблице 5.10.

Таблица 5.10 Экспериментальные данные Аппроксимирующий параметр ?л Аппроксимирующий параметр А, Время, с Температура, °С м-     Г2 0 12 0 0     1200 16 -85.75075678 1440000     4800 30 -1783.505071 23040000     9600 48 -9306.245349 92160000 -7107.820596 92160000 10800 52 -12636.76953 116640000 -10692.38177 116640000 13440 60 -23625.61041 180633600 -22373.95321 180633600 14820 65 -36323.89555 219632400 -35660.89414 219632400 16320 69 -66266.42993 266342400 -66124.71899 266342400 16500 70         п Е /=1 -150028.2066 899888400 -141959,7687 875408400 параметры 0.000166719 0,000162164

 

Как видно из таблицы 5.10 Я<ц и их значения отличаются несущественно. Полученный результат свидетельствует о достаточно высокой точности предлагаемого метода расчета параметра аппроксимации.

Рис. 5.4. График изменения температур в помещении (двумерный случай) при аппроксимации управления функцией обратной экспоненты

время, мин

На рисунке 5.4 видно, что время «разгона» системы от 5 до 18 °С составляет 215 минут, что совпадает как с результатами натурного эксперимента, так и с расчетными данными, полученными в результате моделирования работы всей системы теплового снабжения в комплексе. Результаты расчета стационарных режимов: Тг^=50.27923824 °С, Гл/=20.03285969 °С. Приведенный результат свидетельствует о практически полном совпадении полученных результатов с расчетами стационарных режимов для системы теплоснабжения с автономным вынесенным источником тепловой энергии.

Проведем вычислительный эксперимент по расчету тепловых режимов в помещении. Суть эксперимента сводится к сравнению результатов эксперимента с расчетными данными. На рис. 5.4 приведены характеристики изменения температур радиатора и воздуха в помещении при заданных начальных условиях.

Выполним расчет аппроксимации система первого порядка. Результаты расчета с использованием функции Хаттингтона приведены на рис. 5.5.

время, мин Рис. 5.5. График изменения температур в помещении при аппроксимации управления функцией Хаттингтона

 

На рис. 5.5 видно, что время достижения нормативной температуры воздуха в помещении составляет 118 минут. С учетом корректировки данной величины по формуле (4.10), равной 88,447 минут (тепловая инерция системы), время «разгона» системы составляет 207 минут, что отличается от результата эксперимента на 8 минут.

100

200 время, мин.

300

400

»Таппрокс >Т T isk

Рис. 5.6. График изменения температур в помещении при аппроксимации управления функцией обратной экспоненты

Выполним рассмотренную выше аппроксимацию с использованием функции обратной экспоненты. Результаты соответствующих расчетов приведены на рис. 5.6.

На рис. 5.6 видно, что время достижения нормативного значения температуры воздуха в помещении в рассматриваемом случае составляет 204 минуты, что на 9 минут отличается от экспериментальных данных.

Полученные в данном параграфе результаты позволяют констатировать, что предложенные в диссертационном исследовании методы аппроксимации функции управления, а также методы расчета стационарных и переходных режимов обладают высокой точностью, требуют малых затрат машинного времени и удобны в эксплуатации.

5.5. Выводы по главе

Результаты проведенных расчетных экспериментов по моделированию реальных систем теплового снабжения позволяют сформулировать следующие выводы:

• на основе проведенных в диссертационной работе теоретических исследований разработана система программной поддержки, позволяющая моделировать процессы теплоснабжения в системах с автономными источниками тепла;

• полученные с использованием системы программной поддержки результаты расчетов позволяют оценить предложенные методы и подходы, как высокоточные, конструктивные и удобные в практическом использовании;

• результаты расчетов подтверждают сформулированные в диссертационном исследовании теоретические положения о точности аппроксимации функции управления, допустимости моделирования переходных процессов в системах первого-пятого порядков с использованием аналитических выражений, возможностями системы программной поддержки для проведения параметрической оптимизации.

Заключение

Основные результаты диссертационного исследования можно сформулировать следующим образом.

1.   Разработана методика построения математических моделей системы теплоснабжения зданий с автономными источниками тепла на основе уравнений тепловых балансов с осредненными значениями температур в каждом элементе.

2. Предложена иерархия математических моделей, описывающих энергоэффективность различных систем теплоснабжения и позволяющая моделировать как отдельные элементы системы, так и системы теплоснабжения в целом с помощью автономных систем дифференциальных уравнений. Для этой системы моделей разработана программная поддержка.

3. Для анализа работоспособности и оценки точности моделей, описывающих теплоснабжение отдельных помещений, предложены методы аппроксимации процессов управления теплоснабжением.

4. Сформулированы условия существования стационарных и нормативных тепловых режимов систем теплоснабжения и получены аналитические зависимости для их расчета.

5. Показана возможность полного и наглядного описания областей устойчивости систем первого-пятого порядков в пространстве коэффициентов характеристического уравнения или их преобразований.

6. Показаны возможные пути решения обратной задачи устойчивости - отыскания параметров исходной системы (с дополнительными условиями, специфическими для нее) по коэффициентам характеристических многочленов, выбранных по условиям устойчивости.

119

7. Предложен механизм решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих процессы теплоснабжения в области колебательной устойчивости.

Рекомендации к использованию

1. Компьютерное моделирование теплотехнических процессов различных видов систем теплоснабжения с автономным источником тепла.

2. Расчет тепловых потерь и их оптимизация в каждом элементе Системы теплового снабжения.

3. Проведение теоретических исследований на этапе проектирования различных зданий и сооружений и выбора источников тепла.

Библиографический список

1. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин C.B. Оптимальное управление. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1979. - 429 с.

2.   Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. -М.: Наука, 1971.-240 с.

3.   Батухтин В.Д., Майборода JI.A. Оптимизация разрывных функций. -М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984. -208 с.

4.   Беллман Р., Гликсберг И., Гросс О. Некоторые вопросы математической теории процессов управления. -М.: ИЛ, 1962. -336 с.

5.   Беллман Р., Дрейфус С. Прикладные задачи динамического программирования.-М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1965. - 460 с.

6.   Беллман Р., Энджел Э. Динамическое программирование и уравнения в частных производных. -М.: "Мир", 1974. - 208 с.

7.   Болтянский В. Г. Математические методы оптимального управления. М.:Наука, 1969-408 с.

8.   Бродач M. М. Теплоэнергетическая оптимизация ориентации и размеров здания. //Научные труды НИИ строительной физики. Тепловой режим и долговечность зданий. М., 1987

9.   Ван дер Поль Б., Бреммер X. Операционное исчисление на основе двухстороннего преобразования Лапласа. - М.: Иностранная литература, 1952.- 506 с.

10. Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями: Пер. с англ. /Под ред. Гамкрелидзе Р.В.

- М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1977.

- 624 с.

И. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. -М.: Наука, 1988. -549 с.

12. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1981. - 512 с.

13. Волков М.А., Волков В.А. Эксплуатация газифицированных котельных. - 4-е издание, переработанное и дополненное. - М.: Стройиздат, 1990.-256 с.

14. Волкова В.Н., Денисов A.A. Основы теории систем и системного анализа. -СПб.: Издательство СПбГТУ, 1999. - 512 с.

15. Волынский Б.Н. Конструктивные решения энергосберегающих зданий. //Энергосбережение №4, 2001 - с. 52-55.

16. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. - М.: Наука, 1967. - 575с.

17. Герасимов А.Н., Иванов В.М. Условия устойчивости систем управления с нестабильными параметрами //Приборостроение. - 1990. - №7. - т.ЗЗ. - С.14-18

18. Герасимов E.H., Почтман Ю.М., Скалозуб В.В. Многокритериальная оптимизация конструкций. - Киев; Донецк: Вища шк. Головное издательство, 1985. - 134 с.

19. Гноенский JI.C., Каменский Г.А., Эльсгольц Л.Э. Математические основы теории управляемых систем.-М.: Наука, 1969.- 512 с.

20.   Гордиенко Б.И., Жак C.B., Мирская С.Ю.О некоторых технических приложениях эконометрики. //Деп. В ВИНИТИ 02.06.99, № 1771-В99

21.   Грудзинский M. М., Ливчак В.И., Поз М.Я. Отопигельно-вентиляционные системы зданий повышенной этажности. М.: Стройиздат, 1982.

22.   Гутер P.C., Овчинский В.В. Элементы численного анализа и математической обработки результатов опыта. -М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы., 1970. - 432 с.

23.   Делюкин A.C. Концепция реконструкции системы теплоснабжения Приморского района Санкт-Петербурга. //Энергосбережение №6, 2001 - с. 42-45.

24.   Денисов A.A., Колесников Д.Н. Теория больших систем управления. -JL: Энергоиздат, Ленинградское отделение, 1982.-288 с.

25.   Дончев А. Системы оптимального управления: Возмущения, приближения и анализ чувствительности: Пер. с англ.- М.: Мир, 1987. - 156 с.

26.   Ельцов В.А. Использование энергоэффективных технологий в Смоленской области. //Энергосбережение №1, 2001 - с. 10-14.

27.   Жак C.B. Математические модели менеджмента и маркетинга. - Ростов- на-Дону: ЛаПО, 1997. - 320 с.

28.   Жак C.B. Задачи оптимального управления. Ростов-на-Дону: Изд-во РГУ, 1983.-35 с.

29.   Жак C.B., Мирская С.Ю. Системный анализ, система моделей и многокритериальные задачи в экономике. //Системный анализ в экономике. Материалы 2 межвузовской конференции «Системный анализ в экономике», Таганрог, 2001, с. 20-25.

30.   Жак C.B., Мирская С.Ю., Сидельников В.И. Оптимизационные задачи теплоснабжения помещений. //Деп. (ВИНИТИ) № 1065-В2001, 24.04.01

31.   Жак C.B., Мирская С.Ю., Сидельников В.И. Экономичный обогрев помещения как задача оптимального управления. //Информационные технологии и системы. Выпуск 4, ВГТА, Воронеж, 2001, с. 133 - 138.

32.   Жак C.B., Мирская С.Ю., Шидакова Н.Б. Модели принятия решений по нескольким критериям предпочтения. //Сборник научных трудов. Том 1. Математическое моделирование эколого-экономических систем, Кисловодск, 1997, с. 49-51.

33.   Жак C.B., Сидельников В.И., Мирская С.Ю. Структура распределения тепловой энергии при анализе теплоснабжения отдельного помещения. //АВОК №4, 2002, с. 66-70.

34.   Жак C.B., Мирская С.Ю., Сидельников В.И. Прямая и обратная задачи устойчивости - генерирование параметров системы теплоснабжения. Известия вузов. Северо - Кавказкий регион. Естественные науки. 2003. № 1.

35.   Железнов И.Г. Сложные технические системы (оценка характеристик): Учебное пособие для технических Вузов. -М.: Высшая школа, 1984. - 119 с.

36.   Загускин В.Л. Справочник по численным методам решения алгебраических и трансцендентных уравнений. -М.:Гос. изд-во физико- математической литературы, 1960.-216 с.

37.   Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям.

- М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1976.

- с. 576.

38.   Кини Р.Л., Райфа X. Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения: Пер. с англ./Под ред. И.Ф. Шахнова. - М.: Радио и связь, 1981. - 560 с.

39.   Кобринский Н.Е., Кузьмин В.И. Точность экономико-математических моделей. - М.: Финансы и статистика, 1981. - 255 с.

40.   Коркин В.Д. Системы водяного отопления с радиаторами. //АВОК №4, 2002, с. 56-62.

41.   Кононенко А.И., Мильман В.Д. Численный метод нахождения асимптотически устойчивых решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений. //Доклады академии наук СССР, том 167, №4, 1966. - с. 739-742.

42.   Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1970. -720 с.

43.   Коробейник Ю.Ф., Табунщиков Ю.А. Об одной изопериметрической задаче и ее приложениях. //Известия высших учебных заведений. Северо- Кавказкий регион. Естественные науки. №1, 2002. -с. 23-27.

44.   Курош А.Г. Курс высшей алгебры. Изд. 4-е, переработанное. М.: Гос. изд. технико-теоритической литературы, 1955. - 380 с.

45.   Лапир М.А. Итоги отопительного сезона и направления работ по подготовке к зиме 2002-2003 годов.//Энергосбережение №2, 2002, с. 4-6

46.   Ж. Ла-Салль, С. Лефшец. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова. -М.: Мир, 1964.

47.   Ливчак   В.И. Стратегия   энергосбережения в жилищно-коммунальном хозяйстве и социальной сфере. //АВОК №6, 2001, с. 10-16

48.   Ливчак В.И. Энергоаудит и энергетическая паспортизация жилых зданий -путь стимулирования энергосбережения. //АВОК №2, 2002, с.8-15.

49.   Ливчак В.И. Энергосбережение при строительстве и реконструкции жилых зданий в России. //Энергосбережение №5, 2001 - с. 32-37.

50.   Лионе Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными: Пер. с фран. /Под ред. Гамкрелидзе P.B. - М.: Мир, 1972. - 414 с.

51.   Лэсдон Л. Оптимизация больших систем.-М.: Наука, 1975. - 432 с.

52.   Мартинсон Л.К., Малов Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики. -М.: Издательство МГТУ, 1996. -368 с.

53.   Матвеев Н.М. Методы итегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. -М.: Высшая школа, 1963. -548 с.

54.   Матросов A.B. Maple 6. Решение задач высшей математики и механики. - СПб.: БХВ-Петербург, 2001. - 528 с.

55.   Методы исследования нелинейных систем управления/Под ред. Я.З. Цыпкина. - М.: Наука, 1983. - 240с.

56.   Мирская С.Ю., Сидельников В.И. Оптимизационные задачи теплоснабжения помещений (экономика и комфорт). Системное моделирование социально-экономических процессов. Тезисы докладов 24 международной школы-семинара им. Шаталина С.С„ Часть 2, Воронеж, 2001, с. 152-154.

57.   Мирская С.Ю., Сидельников В.И. Дифференциальные уравнения процесса теплового обмена в системе теплоснабжения. Компьютерное моделирование. Экономика. М.: Вузовская книга, 2002.

58.   Мирская С.Ю. Квазирелейное управление теплоснабжением. //Вестник РГУПС №2, 2002, с. 141-147.

59.   Мишина А.П., Проскуряков И.В. Высшая алгебра (линейная алгебра, многочлены, общая алгебра). - М.: Наука, 1965, - 300 с.

60.   Моисеев H.H. Математические модели системного анализа. -М.: Наука, 1981.-488 с.

61.   Мордухович Б.Ш. Методы аппроксимаций в задачах оптимизации и управления.-М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1988. -360 с.

62.   Морозов В.П., Дымарский Я.С. Элементы теории управления ГАП: Математическое обеспечение. - Д.: Машиностроение, Ленингр. отделение, 1984. - 333 с.

63.   Мушик Э., Мюллер П. Методы принятия технических решений. -М.: Мир, 1990. - 208 с.

64.   Наумов А.Л. Тенденции развития теплоснабжения в России. //АВОК №6, 20001, с. 4-8

65.   Нейлор Т. Машинные имитационные эксперименты с моделями экономических систем. - М.: Мир, 1975. - 500 с.

66.   Николь Н., Альбрехт Р. Электронные таблицы Excel 5.0 для квалифицированных пользователей. - М.: ЭКОМ, 1995. - 346 с.

67. Оптимальное управление. Сборник. М.: Знание, 1978. -144 с.

68. Основы теории оптимального управления. /Под ред. Кротова В.Ф. - М.: Высшая школа, 1990. - 430 с.

69.   Пантелеев A.B., Якимова A.C., Босов A.B. Обыкновенные дифференциальные уравнения в приложении к анализу динамических систем. -М.: Издательство МАИ, 1997. - 188 с.

70.   Пароди М. Локализация характеристических чисел матриц и ее применения.-М.: ИЛ, 1960.-170 с.

71.   Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений.-М.: Наука, 1964.-272 с.

72.   Понтрягин Л.С. Математическая теория оптимального управления. - М.: Наука, 1976. -324 с.

73.   Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М.: Гос. изд. Физико-математической литературы, 1961. - 312 с.

74.   Постников М.М. Устойчивые многочлены.- М.: Наука, 1981. - 176 с.

75.   Райфа Г. Анализ решений (введение в проблему выбора в условиях неопределенности). -М.: Наука. Главная редакция физико- математической литературы, 1977. -408 с.

76.   Розенкноп В.Д., Блитштейн A.A. Вопросы применения пакета прикладных программ ЦСМП/ЕС для моделирования динамических систем электромеханики. //Известия высших учебных заведений. Электромеханика №1, 1977. - с. 4-10.

77.   Салуквадзе М.Е. Задачи векторной оптимизации в теории управления. Тбилиси: Мецниереба, 1975. - 202 с.

78.   Северцев H.A. Надежность сложных систем в эксплуатации и отработке: Учебное пособие для вузов. -М.: Высшая школа, 1989. - 432 с.

79.   Сид ельников В.И. О проектировании устойчивых линейных автоматических систем //Известия вузов. Северо- Кавказский регион. Технические науки. 2002, № 4. с. - 89-92.

80.   Сидельников В.И., Жак С.В., Мирская С.Ю., Сидельников М.В. //Заключительный отчет по проекту №2328 «Научно-методическая разработка системы энергосбережения в образовательных учреждениях»/Рук. НИР В.И. Сидельников. РГПУ, Ростов-на-Дону, 2000 г. - 28 с.

81.   Сидельников В.И., Мирская С.Ю. Компьютерный анализ оптимизации затрат на передачу тепловой энергии по теплотрассе. //Вестник РГУПС №1, Ростов н/Д, 2002, с. 143-150.

82.   Сидельников В.И., Мирская С.Ю. О расчетной стоимости тепловой энергии в оптимизационных экономических расчетах. //Системное моделирование социально-экономических процессов. Тезисы докладов 25 международной школы-семинара им. Шаталина С.С., Часть 2, Королев, 2002, с.69.

83.   Сидельников В.И., Мирская С.Ю. Системный анализ процессов теплоснабжения. //Системный анализ в проектировании и управлении. Труды VI международной научно-практической конференции, СПбГПУ, 2002, с. 127-129.

84.   Сидельников В.И., Мирская С.Ю. Эффективность капитальных вложений в системы теплоснабжения. //Системное моделирование социально- экономических процессов. Тезисы докладов 23 международной школы- семинара им. Шаталина С.С., Дивноморск, 2000, с. 120-121

85.   Сидоренко B.C. Устойчивость процесса позиционирования программного гидропривода. //Новые технологии управления движением технических объектов, Ростов н/Д, 2000, с. 34-37.

86.   Системный анализ и структуры управления. /Под ред. Шорина В.Г. -М.: Знание, 1975.-304 с.

87.   Справочник проектировщика. Внутренние санитарно-технические устройства. В 2-х частях. Под редакцией И.Г. Староверова. Издание 3-е

переработанное и дополненное. Часть I. Отопление, водопровод, канализация. -М.: Стройиздат, 1976. - 429 с.

88.   Справочник эксплуатационщика газифицированных котельных. /Л.А. Порецкий и др.-2-е издание, переработанное и дополненное. -Л.: Недра, 1988-606 с.

89.   Стнкявичюс В., Карбускайте Ю., Блюджюс Р. Анализ потребления тепловой энергии в зданиях.Юнергосбережение №2, 2002, с. 54-56

90.   Табунщиков Ю.А. Основы математического моделирования теплового режима здания как единой теплоэнергетической системы. Докторская диссертация.-М.: НИИСФ, 1983 - с. 426.

91.   Табунщиков Ю.А., Бродач М.М. Математическое моделирование и оптимизация тепловой эффективности зданий. - М.: АВОК-ПРЕСС, 2002. -194 с.

92.   Табунщиков Ю.А., Бродач М.М. Минимизация затрат энергии при прерывистом режиме отопления. //АВОК №1, 2001, с. 14-20

93.   Табунщиков Ю.А., Бродач М.М. Минимизация расхода энергии, затрачиваемой на натоп помещения.//Известия вузов "Строительство и архитектура", 1988, №12.- с. 84-87

94.   Табунщиков Ю.А., Бродач М.М., Научные основы проектирования энергоэффективных зданий. //АВОК №1, 1998, с 6-14

95. Табунщиков Ю.А., Матросов Ю.А., Хромец Ю.Д. Тепловая защита ограждающих конструкций зданий и сооружений. - М.: Стройиздат, 1986

96. Табунщиков Ю.А., Шилкин Н.В., Бродач М.М. Энергоэффективное высотное здание. //АВОК №3, 2002, с. 8-20.

97.   Теплотехника /Под ред. А.П. Баскакова - М.: Энергоатомиздат, 1991.-224 с.

98.   Теплотехника /Под ред. чл.-корр. РАН, д-ра техн. наук, проф. В.Н. Луканина. -М.: «Высшая школа», 2000. -671 с.

99.   Тихонов А.И., Самарский А.А. Уравнения математической физики. -М.: Наука, 1977. - 735 с.

100. Трухаев Р.И., Лернер B.C. Динамические модели процессов принятия решений. - Кишинев: "Штиинца", 1974. -260 с.

101. Федоренко Р.П. Приближенное решение некоторых задач оптимального управления. //Журнал вычислительной математики и математической физики. Том 4, 1964. - с. 1045-1064.

102. Хедли Дж. Линейная алгебра.-М.: Высшая школа, 1966. -206 с.

103. Хорафас Д.Н. Системы и моделирование.- М.:Мир, 1967.-420 с.

104. Черемных Ю.П. Качественное исследование оптимальных траекторий моделей экономики. -М.: Издательство Московский университет, 1975. - 184 с.

105. Шойхет Б.М., Овчаренко Е.Г., Мелех А.С. Региональные нормы по тепловой изоляции промышленного оборудования и трубопроводов. //АВОК №6, 2001 - с. 42-48.

106. Штойер Р. Многокритериальная оптимизация. Теория, вычисления и приложения. - М.: Радио и связь, 1992. - 504 с.

107. Юдин Д.Б. Математические методы управления в условиях неполной информации.-М.: "Советское радио", 1974.-400 с.

108. Янг Л. Лекции по вариационному исчислению и теории оптимального управления. -М.: Мир, 1974. -488 с.

109. Cayley A. Nouvelles Recherches sur les fonctions de M. Sturm, J/ Math, pures appl. 13

110. Daellenbach H.G., Georg J.A. Introduction to operations research techniquers. -Allyn and Bacon, Inc. Boston, USA, 1978 -603 p.

111. Gordienko В., Mirskayf S., Zhak S., Levin G. Production Unes models, operation and cost evaluation. //Management and control of production and logistics 2000. Volume 3, Pergamon Prs, France, 2001, p. 977-981.

УТВЕРЖДАЮ ектор по учебной работе проф. B.C. Мельников » ?eca??jpJl 2002

Акт

о реализации результатов кандидатской диссертации Мирской С.Ю. в учебном процессе

Мы нижеподписавшиеся, начальник учебного отдела Павлов B.C., декан факультета Экономики и безопасности жизнедеятельности Гапонов В.Д., зав. кафедрой Экономики и менеджмента в машиностроении Пенязев O.A. составили настоящий акт в том, что в учебном процессе используются следующие результаты кандидатской диссертации Мирской С.Ю.:

- постановка и анализ системы, описывающей процессы теплоснабжения помещения;

- постановка и анализ систем, описывающих процессы теплоснабжения зданий со встроенным и внешним источником тепла;

- оптимальное управление динамическими системами.

B.C. Павлов

Указанные результаты использованы в лекционном материале по курсу «Исследования систем управления» и при выполнении практических работ по указанному курсу.

 

Начальник учебного отдела.

 

Декан факультета ЭиБЖД, д.т.н., про

B.JI. Гапонов

O.A. Пенязев

Зав. кафедрой ЭиММ, заслуженный работник ВШ РФ д.т.н., проф.

w С.Д

УТВЕРЖДАЮ , Прореето^ по учебной работе Д^&^^оф. В.И. Мареев « Эе2002

Акт

о реализации результатов кандидатской диссертации Мирской С.Ю. в учебном процессе

Мы нижеподписавшиеся, начальник учебного отдела Ростовского государственного педагогического университета Житная И.В., декан факультета Технологии и предпринимательства Зезюлько A.B., зав. кафедрой Экономики и прикладной математики Сидельников В.И. составили настоящий акт в том, что в учебном процессе используются следующие результаты кандидатской диссертации Мирской С.Ю.:

- математическая модель анализа теплового баланса подсистемы радиатор - помещение - окружающая среда;

- математическая модель анализа теплового баланса подсистем теплоноситель - радиатор - помещение и радиатор - помещение окружающая среда;

- информационная система по оптимальному управлению указанными динамическими подсистемами.

Указанные результаты использованы в лекционном материале по курсу «Компьютерное моделирование технологических процессов» и при выполнении практических работ по указанному курсу.

Начальник учебного отдела___________________________________ И.В. Житная

Декан факультета ТиП, к.п.н., доц. A.B. Зезюлько

Зав. кафедрой ЭиПМ,

к.т.н., доц....................................... .....................  ... -.... В.И Сидельников

к₂^ЯХ_х

¹ М-у ¹

---

^[1] Детализация условий достижения нормативных режимов и аналитические зависимости для стационарных решений приведены в главе 4.

_[2]   (а- 2А> (а-ЗА>

±_е<Я-1   + ^   ?-------------- + .

а-1 (а- 21)21 (а-31)3!

^[3] Для двух пар комплексных корней доказательство и конструктивное выписывание связей между

коэффициентами проводится аналогично. Та же схема применима и для вещественных корней.