Материал: МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТЕПЛОСНАБЖЕНИЯ ЗДАНИЙ С АВТОНОМНЫМ ИСТОЧНИКОМ ТЕПЛА

^ У_рС₂(Т)р₂   ™У_пС_п{Т) т У„С_П \Т)8_ст

С учетом того, что значение Т_с в течение переходного режима практически постоянно, система дифференциальных уравнений (2.15) может быть записана в виде:

^Р = а%Т_Т - (а₈ + а₉ )Т_р + а₉Т

ат   ' '   ^(2Л6)

— = «1 оТр - («ю + «11У + Ъ_А где Ь₄ = ацТ_с.

2.2.4. Дифференциальное уравнение процесса теплового обмена в теплотрассе обратной подачи

Процесс изменения температуры в теплотрассе обратной подачи полностью совпадает с аналогичным процессом в теплотрассе прямой подачи. Различие будет лишь в начальных условиях - значениях температуры в начале (выход из отапливаемого помещения) и в конце теплотрассе обратной подачи (вход в источник). С учетом сказанного дифференциальное уравнение изменения температуры в теплотрассе обратной подачи будет иметь вид:

йТ,

^о6р ~-а₇Т_Р ~(а₆ +а₇)Г_обр +Ь₂.   (2-17)

&

2.2.5. Система дифференциальных уравнений процесса теплового обмена в системе теплоснабжения с автономным вынесенным источником Выпишем систему уравнений тепловых балансов:

р₂к₁с₂(г)л^= <2_гу_г&-у_{с₂{т)р₂т_кк1 + у_{с₂{т)_р2т_о6ры с_г{т)г_ву_вы-с _г{т)т_г2у_сгы

У_трР2С₂(т)АТ_т = У_(Р2С₂(г)т_кА( -У_1Р2С₂{т)Г_тм -агт_тм

У_рР2С₂ЬТр=   У,_Р2С₂(Т)Т_ГМ   -У_1Р2С₂(Т)Т_Р& -з₀а₀т_рм

тУ_ПС_ПАТ= 1₀а₀Т_р& -*₀а₀т ^-ГДг

"С К

УобрР2Сг{т)АТ_т = У_(Р2С₂{т)ГрА1 -У_(Р2С₂{т)Г_обрМ   -аРТобрЬ

Объединение дифференциальных уравнений (2.5), (2.12), (2.16) и (2.17) приводит к системе линейных дифференциальных уравнений:

-{а^+сцУГр +ОдТ

^аю ^ТР -{Охо+Охх)¹'

^а1^тр

с начальными условиями:

1=0, Т_к(0) = Т_ко, Т_т(0)=Т_то, Т_р(0)=Тро, Т(0) = Т₀, Т_обр(0) = Т_обр_₀, Тко ^> Т_то > Т_Р0 >Т₀> Т_{обр 0}.

Систему линейных дифференциальных уравнений (2.18) удобно представить в матричном виде

н= щ/о+ \i/ifi+y/2f2=u(щ + Vi) -yi(w у/1 - bi W2) +У2 (а₂ Wi - b₂ W2) + b₀ у/₂ и выписать уравнения для сопряженных функций:

Поскольку щ=сотг, а у/1 и у/₂ определяются системой линейных уравнений с постоянными коэффициентами и не зависят от управления:

Л

?VI

= -а₂щ +Ь₂у/₂

I Ж

(а₁>а₂>0, Ь₂>Ъ1>0), характеристическое уравнение имеет вид Л² - (щ + а₂) 1 + (щ а₂-Ъ1 Ь₂) =0, его корни - вещественные и положительные.

Для сопряженных функций возникают однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами, то есть решение имеет вид суммы экспонент. Опять из условия трансверсальности на нефиксированном правом конце вытекает у/₀ = 0. Управление имеет релейный вид (либо и = 0, либо и = /), и точка переключения г, должна удовлетворять уравнению щ = 0, то есть е(^л>=а, где а - постоянная величина, зависящая от коэффициентов уравнений и начальных условий. Это уравнение либо не имеет положительных решений, либо имеет одно решение, следовательно, и в этом случае возможно не более одного переключения.

Поэтому <р= у/₀ + у/1 не может менять знак более одного раза, то есть из принципа максимума следует, что управление имеет релейный характер и должно быть не более одного момента переключения.

Совершенно аналогично предыдущему случаю, минимизация энергозатрат отвечает минимизации времени первого этапа - времени нагрева до точки переключения, то есть сводится к задаче оптимального быстродействия. Следовательно, целевой функционал имеет вид:

1=0(1+00,

где А Во — постоянные величины, независящие от режима теплоснабжения. Тем самым задача свелась к минимизации и, к задаче оптимального быстродействия.

Полагая производные равными нулю, получаем три варианта стационарных решений: для и =1, для и =0 и для нормативной температуры в помещении - величину управления и* и значения остальных температур^[1]. В данном случае по у!__пог вычисляются и*иу₂__Пог.

При выполнении условий устойчивости, то есть отрицательности вещественных частей корней характеристического уравнения, решения в первых двух случаях при любых начальных условиях стремятся к этим стационарным значениям. Для обеспечения возможности достижения нормативного режима необходимо (при нагреве) выполнение условия:

У\_СТ ^>У\_пог ¦

Однако, в отличие от предыдущего, одномерного случая, при достижении нормативной температуры помещения нельзя переключиться на ее поддержание, так как при этом вторая переменная у₂ не достигает своего значения, отвечающего этому режиму, производные не равны нулю и изменение температур продолжается. Необходимо при том же максимальном значении управления двигаться до точки переключения, затем перейти к минимальному значению управления и попасть в точку, где и = и*, у_] = у_{} пог},

У г =У1_пог -

Возможно и использование приближенного решения: переход на управление и*, и коррекция возникающего отклонения увеличением или уменьшением управляющей температуры через малые промежутки времени (режим «шевеления») - рис 2.8 и 2.9. В случае большей размерности построение терминальных траекторий и определение нескольких моментов переключения представляет значительные трудности.

Из анализа двух рассмотренных простейших задач вытекает эвристический прием построения субоптимального решения: проведение начальной траектории для м = 7 и поиск одного момента переключения для попадания в окрестность требуемой нормативами конечной точки с той же коррекцией режимом «шевеления».

2.6. Выводы по главе

По проведенным во второй главе работы исследованиям можно сформулировать следующие выводы:

• на основе системного подхода сформулировано множество целей исследования и предложен способ разбиения исходной системы теплоснабжения на ряд подсистем, позволяющий проводить ее анализ по схеме «от простого к сложному»;

• на основе моделей отдельных элементов системы теплоснабжения разработана модель системы теплоснабжения с вынесенным автономным источником тепловой энергии;

• разработаны и предложены две модели системы теплоснабжения с встроенным автономным источником тепловой энергии, изолированного и совмещенного с обогреваемым помещением;

• рассмотрены методы оптимального управления разработанными моделями систем теплового снабжения помещения в режимах «натопа».

Глава 3. Асимптотическая устойчивость автономных систем первого - пятого порядков

3.1. Методика анализа устойчивости систем линейных дифференциальных уравнений

Математические модели поведения динамических систем самого различного вида - от моделей движения механических объектов и процессов теплоснабжения до моделей развития экономики в целом и ее частей - сводятся к системе дифференциальных уравнений вида

— = Р(х,а,и,$ (3-1)

Ш

где х - вектор фазовых переменных, и - вектор управляющих воздействий, а

- набор параметров, определяющих структуру и внутренние характеристики рассматриваемой системы.

Для этой системы обыкновенных дифференциальных уравнений в нормальной форме (случай систем уравнений в частных производных пока исключается из рассмотрения) могут ставиться и решаться различные задачи:

• исследование множества возможных решений (траекторий движения);

• оценка вторичных показателей - функционалов от этих решений и их оптимизация;

• влияния на эти показатели отдельных параметров;

• оптимального управления решениями, в первую очередь - оптимального быстродействия и т.д.,

но почти всегда требуется обеспечить устойчивость решений, то есть близость возмущенного решения к исходному при малых возмущениях условий (обычно

- начальных условий для системы уравнений или - параметров а системы).

ч

Основным подходом к решению задачи устойчивости является переход от системы уравнений (3.1) к линеаризованной системе

(3.2)

в каком-то смысле близкой к исходной, и исследование ее устойчивости, то есть обеспечения отрицательности вещественной части всех корней характеристического многочлена

А(Л) = \Л - 2)| = Л^п + с_хХ^п~^х + с₂Л"~² +... + с_п__хЛ +с_п = 0

При этом роль параметров системы играют элементы матрицы И, коэффициенты характеристического многочлена являются функциями от них (многочленами различной степени), а управление включено в параметры матрицы I) или вектора г (и в последнем случае на устойчивость не влияет).

Упомянутое преобразование сокращает число входных параметров и матрица 2) зависит от вектора й.

Правомочность перехода от системы (3.1) к системе (3.2) обосновывается известными теоремами Ляпунова [46], согласно которым асимптотическая устойчивость линеаризованной системы обеспечивает устойчивость системы исходной. Прямой метод Ляпунова, связанный с построением функции Ляпунова непосредственно для системы (3.1) является скорее искусством, чем методом, и реализовать его удается сравнительно редко.

Для обеспечения устойчивости многочлена (3.3) разработан ряд удобных методов (в первую очередь метод Рауса-Гурвица [16, 102]), позволяющих записать требуемые условия непосредственно через коэффициенты характеристического многочлена (без его решения), то есть выделить области устойчивости в пространстве параметров с, а следовательно, и в пространстве параметров й. Будем обозначать эти области ВЛ.

Эти методы очень удобны для проверки устойчивости исходной системы (или решения прямой задачи), сводятся к переходам от системы (3.1) к системе (3.2), затем к уравнению (3.3) и проверке условий Рауса - Гурвица (или
эквивалентным условиям Льенара - Шипара [74], амплитудно-фазовой диаграммы [41] и т.п.), то есть к цепочке

я d -> Z> -> c(d) -> RH(c). А для этой цели указанные методы мало пригодны - как из-за большой размерности пространства исходных параметров, так и из-за громоздкого и плохо обозримого вида условий устойчивости в пространстве параметров. Поэтому возникают следующие задачи:

1.   Ввести для системы (3.2) новые параметры (в виде комбинации старых), число которых было бы минимально, то есть осуществить переход a->d.

2. Аналогично ввести новые параметры h или их комбинации х, у... в условия устойчивости, то есть описать области RH(h) с максимальной наглядностью.

3. Описать область RH и указать методы выбора heRH.

4. Указать методы назначения (неоднозначного выбора) по значениям h параметров исходной задачи а, зачастую удовлетворяющих еще дополнительным условиям (на знаки и величину некоторых параметров). Задачи 1 и 4 не могут быть не только решены, но даже поставлены в

общем виде, они сугубо индивидуальны для каждой конкретной задачи, зависят от ее специфики. Но в конкретных случаях их удается решить, и это будет проиллюстрировано для моделей теплоснабжения.

Задача 4 является общей задачей наилучшего выбора и реализуется на основе общих принципов принятия решений и обеспечения «максимальной устойчивости». Аналогичная задача решалась B.C. Сидоренко [85] для позиционирующих систем (сводящихся к системам 4-го порядка).

Основной задачей является прямая задача 3. Фактически она решалась еще Вышнеградским [73] для п = 3, ниже будут приведены результаты для п=1...5 и некоторые общие рекомендации.

На практике, однако, наибольший интерес представляет обратная задача, выбор таких параметров ё, которые обеспечили бы устойчивость рассматриваемой системы.

Обратная задача естественно распадается на два уровня:

1.   Переход от к к коэффициентам с характеристического многочлена.

2. Переход от с к й (и матрице А).

Проблема существенно осложняется, если, из экономических и технологических соображений требуется монотонная устойчивость (как в случае систем теплоснабжения), то есть наличие у многочлена (3.3) всех вещественных отрицательных корней. Метод Штурма [42, 109] еще менее чем метод Рауса-Гурвица приспособлен для решения обратной задачи, соответствующие области в пространстве параметров

ЛНМ(с) с ЯН (с)

не описываются, а лишь указывается алгоритм проверки условий сеЛНМ.

Итак, основной целью является обеспечение асимптотической (монотонной) устойчивости решения, а для этого необходимо, чтобы многочлен (3.3) был многочленом Гурвица (Штурма).

Определение. Многочлен д(Л.) с любыми числовыми коэффициентами (в общем случае с комплексными) называется многочленом Гурвица, если все его корни имеют отрицательные вещественные части. [44]

Определение. Многочлен А(я) с любыми вещественными коэффициентами называется многочленом Штурма, если все его корни вещественны и отрицательны. [44]

Поскольку при устойчивости многочлен (3.3) имеет все положительные коэффициенты, так как должны выполняться условия Стодолы [114], возможно, превратить в единицу (за счет выбора масштаба) еще один из коэффициентов (старший коэффициент по построению Л(Х,) равен 1), можно сделать равным 1 либо второй, либо последний (именно второй вариант был использован еще Вышнеградским [73] для систем третьего порядка).

Для этого введем масштаб Л, = М//, М = тогда характеристический многочлен (3.3) примет вид:

А Си) = ц^п + + ?₂//"-² + •• •++К=0,   (3.4)

, с, где А, = -т.

Это сокращает число параметров, упрощает исследование и позволяет представить результат в более наглядном виде (особенно при малых п).

3.2. Описание областей устойчивости в пространстве коэффициентов характеристического многочлена

Для полноты рассмотрим все возможные случаи описания систем теплоснабжения, то есть п=1,2,3,5, в том числе и тривиально очевидные. Случай п=1.

д(//)=// + 1 = 0 // = -1

Условия Рауса-Гурвица и Штурма выполняются, и область монотонной устойчивости совпадает с область асимптотической, т.е. Ш = КНМ.

Проведем обратное преобразование, т.е. найдем условие устойчивости для коэффициента с:

Д(А) = Я + с_} =0

корень, необходимо, чтобы выполнялось то же условие с, > 0, т.е. условие Рауса-Гурвица эквивалентно условию Штурма. В качестве допустимых значений для с_х получаем интервал (0, -юо).

ЯН = ЯНМ = {с_х\с_х > 0} (3.4)

Рис. 3.1. Область ЯНМ при п=1 Случай 11=2.

/и² + /и + к₂ =0

Построим определитель Гурвица

Найдем корни характеристического многочлена ц_Х2 =----- ----- -

Ке// = -^<0, т.е. решение находится в области асимптотической

устойчивости при всех Ъ₂ > 0, а для того, чтобы оно попадало в область монотонной устойчивости необходимо и достаточно, чтобы дискриминант был

больше нуля, то есть к₂ < ^.

КНМ = |/*₂|0 < к₂ ДI с ЯН

______ ////////////Д ^

н ²-

Рис. 3.2. Область БШМ при п=2 КНМ (К)

Построим эту область в пространстве коэффициентов с, учитывая, что С2 ⁼ 5 ^ Л — С\/Л _к

А (Л)=Л² +с,1 + с₂ =0 Из условий Рауса-Гурвица получаем:

КН = {с_х,с_г\с_х >0,с₂ >0}, то есть ЯН- весь положительный ортант плоскости с/, с₂.