Материал: МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТЕПЛОСНАБЖЕНИЯ ЗДАНИЙ С АВТОНОМНЫМ ИСТОЧНИКОМ ТЕПЛА

Для проверки полученного условия Штурма построим для данного многочлена систему многочленов Штурма:

/₀ = Л² + с_хЛ + с₂ =0; У1 =2А + с₁;

Г -¹ 2

/2 ~ ~^с\ ~^сг-

Чтобы характеристический многочлен на интервале (-да, 0) имел два

вещественных корня, по теореме Штурма необходимо, чтобы разность числа перемен знака N в этой последовательности на границах интервала равнялась 2. То есть Ы_х(-ао)=2, N2 (0) = 0, N=N1- Ы₂=2, или: 1 ^

-с/ -с₂ > 0, с] >0, с₂ >0.

Следует заметить, что в силу выполнения условий Рауса-Гурвица достаточно обеспечить N3 (+оо) =0, N = N1 - N3 =2, а дополнительные условия на число перемен знака при условии /? = 0 в данном случае выполняются автоматически.

ЛНМ = {с₁,с₂\с₁ >0,с₂ >0,с_г² >4с₂}с   (3.5)

Рассмотрим случай п=3. А(/и)= /и3 +/л2 +к2р + 1гз = 0.

Очевидно, что в этом случае вводить преобразование параметров не требуется, а искомая область изображена на рис. 3.3.

 

Условия Рауса-Гурвица принимают простейший вид к₂>к₃>0. Под ЯН в статье понимается область асимптотической устойчивости, под ШМ - область монотонной устойчивости. При этом ЯНМ <= ЯН.

ТгЯ = {/г₂,/г₃\к₂ >0,/?з >0,к₂ >к₃}

Для построения областей устойчивости введем функции Штурма: /₁(//) = 3//²+2// + /г₂,

3

9

-к2= сот1.

/г Ы= \ ^к2 V + Гтг- Ь | = + А>>

чЗ у

'2-3^ а

^и\

V   1 /

Для того чтобы характеристический многочлен на интервале (-оо, 0) имел

три вещественных корня, опять же по теореме Штурма необходимо трехкратное изменение знака этих многочленов на интервале (-оо, 0) или, при выполнении условий Рауса-Гурвица, на интервале (-оо, + оо) соблюдались условия (см. таблицу 1).

Таблица 3.1

Изменения знаков функций Штурма

	-оо	0	+оо
ш	-	+	+
ш	+	+	+
Ш)	-т	+СР2)	+(О0
ш		+	ЧЮ

 

Условия вещественности трех (отрицательных) корней характеристического уравнения дают: ?>, >0, Д> >0, /₃ >0.

В этом случае область устойчивости описывается неравенствами: ШМ={Ь_г,Н₃\Ь₂>0,к₃ > 0,3к₂ < 1,к₂ >9/г₃,/₃ >0} ^ ЯН.

Эти условия не зависят от иных параметров и сильнее условий ЯН.

Обозначим ^ _{= = т Тогда} /₃ >0 или 3?²+ к₂ <0.

Д 2 - 6/г₂

1±Л-Зк₂

Корни уравнения /₃=0, ?Г₁₎₂ =——^--------- , причем ?₁>?₂>0. Для того чтобы

было /₃ >0 необходимо выполнение условия <С<С\ - Иначе:

1 — д/1 — 3/г₂ ^ /г₂ -9/г₃ 1 + 71-36

3 2 - 6/г₂ 3

Данное неравенство можно умножить на 2 -6/г₂=Д Так как по условию Штурма Д > 0, имеем

 

1

л/1-Зй2),

-Л,

,1 +

(1-_Л/1-3/з₂)</г₂ -9йз <2

 

т.е. /₂(к₂)<Щ </₁(й₂), где

/1(Л₂) = Л₂-|(1-ЗА₂)(1-_>/1-ЗА2), /₂(А2)=Л2-|(1-ЗЛ2)(1 + >/1-ЗА2).

Положим х = 1-3/г₂ (0 < х < 1), а у = Щ (у > 0) и выделим область

монотонной устойчивости в пространстве х, .у.

/1М=| -* - М¹ ~ Л М=!I¹ - * - ^+>/*))•

Ш = {х,у\0 < X < 1,у > 0,/₂(х) < у < /! (х)} с Ш На рис. 3.4 показана фиксированная при данных преобразованиях область ЯНМ.

Рис. 3.4. Область 1ШМ в пространстве х, у

 

На рис. 3.5. представлена область RH в пространстве у, ограниченная неравенствами 3(l-jc)=>^,₁ >у и 0<х<1, у>0, то есть

RH = ^x,y\0<x<\,y>0, 3(l-x)> j/j.

Очевидна узость области RHM по сравнению с RH, что существенно затрудняет ее выделение «зондированием» сеткой точек (х, у) или случайным их набросом. Полученный результат может быть сформулирован в виде:

Теорема 3.1. Любая точка (х,^) области RH (или RHM) и только она дает однозначно коэффициенты, h₂, /г₃ при которых корни характеристического уравнения ?л_х, /и₂, ?и₃ имеют отрицательные вещественные части, (для множества RHM - все вещественны и отрицательны).

Эквивалентная формулировка:

Существенно, что преобразованные условия не зависят от каких-либо других параметров.

Теорема 3.1.1. Для того чтобы характеристический многочлен третей степени был многочленом Гурвица (Штурма) необходимо и достаточно выполнение условий h₂>h₃>0, 3h₂<l, h₂>9h₃,f₃>0.

Рис. 3.5. Области ЯН и 11НМ в пространстве х, у

 

Таким образом, обратная задача (для коэффициентов характеристического многочлена) полностью решается выбором точки в области ЯН или ЯНМ. Выпишем обратные преобразования, учитывая что

к₂ = -(1-х), к_ъ = - у, с₂= Ь₂с\, с₃ = Ъ._ъс\ ,аЯ = с,//.В результате получим: 3 9

А(Л) -Я³ + с_хЛ² + с₂Л + с_ъ =0. В силу теоремы 3.1. достаточно, чтобы с_хс₂ -с₃> 0 .

В трехмерном пространстве область ЯН ограничена гиперболическим параболоидом с/ с₂ - сэ = 0 и положительным ортантом. Многочлены Штурма имеют вид:

 

о 9

1 2 зС1 ~С2

А =

(3.8)

/о =Я + с_хЛ + с₂Л + с₃; /_х = ЗЛ²+2с₁Л + С₂ ; /₂=ДЯ + Г)₂;

 

V

¦сг-

2с,-3^

А

 

Для того, чтобы характеристический многочлен имел три вещественных корня нужно, чтобы выполнялись условия с\ > 3с₂, с_хс_г >9с₃, > 0 . Рассмотрим случай п = 4.

>0.

А(//)= ?Л^а +/л³ + к₂/и² + + /г₄ = 0 Матрица Гурвица в данном случае имеет вид:

1  Аз  0 0

\  к₂ к₄   0

0 1   к₃   0

0 1   к₂ /г₄ J

Соответственно условия Рауса-Гурвица записываются в виде: А₁(//) = 1>0,

^ДзЫ ^{= /г}з(^/г2-^/гз)-^/г4 >°> ^А4(^)=^Аз(А >°-

Область асимптотической устойчивости:

ЯН = {к₂,к₃,к₄ | /*_г > 0,/г₂ > /гз,/г₃(/г₂ -к₃)> к_А].

Положим /г₃=/г₂х, а   . Тогда условия Рауса-Гурвица будут: х<1,

х(1 -х)-у> 0. При этом

ЯН = \х,у\0<х <1, 0<.у <х(1-х)}.

Область ЯН показана на рис. 3.6, а полученный результат может быть сформулирован в виде теоремы.

Теорема 3.2. Любая точка (х,_у) области ЯН дает неоднозначное (с

точностью до выбора ?г_г) значение коэффициентов /г₃, при которых корни характеристического уравнения 1л₂, ?л_ъ, //₄ имеют отрицательные

вещественные части.

Теорема 3.2.1. Для того чтобы характеристический многочлен четвертой степени был многочленом Гурвица необходимо и достаточно выполнение условий /г₂ > /г₃ > 0 и  0, /г₄ > 0.

о.з

 

0.2

>- 0.15

0.1

0.05

0.2 0.4

0.6

0.8

У

О

1.2

О

0.25

 

X

Рис. 3.6. Область КН в пространстве х,у для многочлена четвертой степени

Таким образом, для системы четвертого порядка выделена область асимптотической устойчивости в пространстве безразмерных переменных х, у. Построим систему многочленов Штурма:

/₀ - /и⁴ +/и³ +к₂^² + +И₄; /_х = 4//³ -ь З//² +2/г₂// + /г₃;

/₃ =Е_х1и+Е₂;

где

а	_ 1 ~2	'3 ^ --Й2	5		а а		г 3-	-4—- а j	-2	' п Л а j
а	_ 1 ~4	(\ \ ~Н2-Зк3 ; У		е2	а а		3 V	ау	-к
а	= — /ь - Ил 16 3 4				= а	V	?1	Га 1а	Е2	а] а/

 

Таблица 3.2

Изменения знаков функций Штурма

И	-00	0	+00
Ш)	+	+	+
	-	+	+
	+ (О0	+(Оз)	+(О0
	-(ЕО	+(Е2)	¦КЕО
Ш	+ (Р0	+(Р0	¦КРО

 

Для того чтобы характеристический многочлен на интервале (- оо, +оо) имел четыре вещественных корня, по теореме Штурма необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия: Д > 0, е_х> 0, ^ > 0, и₂ > 0, е_г> 0.

Для этого случая также возможно наглядное описание сравнительно узкой области монотонной устойчивости ЯНМ путем преобразования параметров аналогичного предыдущему, но мы не приводим его здесь (как из- за громоздкости преобразований, так из-за того, что системы четвертого порядка не имеют прикладного значения в данном диссертационном исследовании).

Обратная задача устойчивости (1 этапа) полностью решается выбором точки в области ЯН или ЯНЫ. По выбранным х,у и произвольно назначенному положительному значению к₂ вычисляются к₃ = к₂х, к₄ = к₂у, с₂ = /г₂с,², с₃ ,= /г₃с,³, а Л = с^.В результате получим:

А (Л) = Л⁴ + с_хЛ³ +с₂Л² + с₃Л + с₄= 0. Условия Рауса-Гурвица в этом случае, кроме положительности всех коэффициентов, дают:

с₁с₂-с₃>0, с_ъ{с_хс₂-с₃)-с_х >0.   (3.9)

Проанализируем случай п=5.

А(//) = //⁵ +//⁴ +/г₂^³ + к₃р² + к₄/и+к₅ =0.

Условия монотонной устойчивости в этом случае слишком громоздки, и, как правило, невыполнимы, поэтому ограничимся описанием только условий Рауса-Гурвица устойчивости вообще (не обязательно - монотонной). Выпишем матрицу Гурвица:

1	?3	?5	0
1	к2	к4	0	0
0	1	къ	?5	0
0	1	к2	к4	0
0	0	1	к2

 

Для того чтобы корни характеристического многочлена имели отрицательную вещественную часть необходимо, чтобы главные миноры матрицы Гурвица были положительны, то есть А₁(//)=1>0,

А₃ (//) = (/г₂/гз - )- (/г₃² - /г₅) > 0 , А₄(р)=(к₂ -к₃\к₃к_А -?₅)² >°>

Область асимптотической устойчивости в пространстве параметров И запишется в виде:

ЯН = {к₂,к₃,к₄,к₅ к; >0,к₂ >к₃,{к₂к₃-\г₄)-{к₃ -/г₅)>0,(/г₂ ~^₃ХН₃к₄-к₂к₅)-(к₄-Ь₅)² >0}.

Построим область устойчивости, ограниченную указанными неравенствами. Для этого положим:

2_Х = к₂ -/г₃, 2₂-к_г, 2₃-к₄-к₅, 2₄ = Н_ък_л -к₂к₅. Область ЯН будет ограничена неравенствами:

^ 0 у ^   _? ^ •

Отсюда следует, что 2₄ > 0.

2 2

Положим —= х и — = у, тогда 2₂>х, у > х. Следовательно 2_Ъ = х2_х,

2_Х 2_Ъ

2₄ = ху2у. Эта система неравенств позволяет построить область ш в пространстве параметров, показанную на рис. 3.7.

Рис. 3.7. Область ЯН для п=5 в пространстве х, у X

 

Полученный результат может быть сформулирован в виде теоремы. Теорема 3.3. Любая точка {х>у) области ЯН дает неоднозначное (с

точностью до выбора к₂) значение коэффициентов к₃, к₄, Н_ь при которых корни характеристического уравнения ц_х, ?л₂, ц₃, ц₄, ?л_ь имеют отрицательные вещественные части.

Теорема 3.3.1. Для того чтобы характеристический многочлен пятой степени был многочленом Гурвица необходимо и достаточно выполнение условий к_{>0, к₂>к₃, {к₂Ъ₃-к₄)-[к₃ -к₅)>0, (к₂-к₃\к₃к₄-к₂к₅)-(к₄-к₅)² > 0.

Решение обратной задачи сводится к выбору точки в области ЯН. Проделаем эти преобразования, учитывая что с₂ = Ь₂с\, с₃ = к_ъс\, а А = <;,//. Тогда

А(Я) = Л⁵ + с₁ Л⁴ + с₂Я³ + с₃Я² + с₄Л + с₅ = 0. Условия Рауса-Гурвица в пространстве коэффициентов с. А_х =с₁ >0,

^А2 =^с\^с2 ~^сЗ ^>0>

Аз =с₃Д₂-с₁(с₁с₄-с₅)>0, (ЗЛО)

А₄=с₄А₃-с₅(с₂А₂-с₁с₄-с₅)>0,

^А5 =^с5^А4 >0-

Некоторые пути решения обратной задачи второго уровня приведены в

[34].

Такое описание, требующее ряда преобразований, к более наглядному виду областей устойчивости необходимо (особенно для задачи монотонной устойчивости), так как прямой поиск (например, случайным генерированием точек) далеко не всегда приводит к успеху: искомые области являются «тонкими» (и тем тоньше, чем больше п) и попасть в них нелегко.

Обобщая полученные результаты для всех рассмотренных систем, приходим к теореме.

Теорема 3.4. Для всякой точки к е ЯН (ЯНМ) существует, в общем случае

неоднозначный (с точностью до произвольного выбора > 0), способ построения с₍ - коэффициентов многочлена Гурвица (3.3).

3.3. Формулировка общих теорем для анализа систем теплоснабжения

Полученные выше результаты позволяют оценить устойчивость систем линейных дифференциальных уравнений, описывающих реальные автономные системы теплоснабжения (асимптотическую или в ряде случаев даже монотонную) непосредственно по исходным параметрам или по их преобразованиям.

При решении обратной задачи (выбора параметров системы теплоснабжения) необходимо по точке из области устойчивости найти значения параметров исходной системы. Ранее отмечено, что переход к коэффициентам характеристического многочлена требует решения задачи второго уровня, которая сводится к решению уравнений (-1 )'5Дй?) = с_г. [59], где - сумма всех главных миноров I -го порядка матрицы В.

Анализ конкретных примеров позволяет сформулировать утверждение:

Утверждение 3.1. Эффективное решение уравнений (-1)' (?/) = с, для рассматриваемого класса динамических систем с дополнительными условиями существует и, в общем, виде не единственно.

В стандартном варианте решение системы линейных дифференциальных уравнений возможно с использованием численных методов [11, 22] (например, Рунге-Кутта). Существуют варианты реализации данного метода, однако практика их эксплуатации позволила сформулировать ряд присущих им общих недостатков:

• существенны затраты машинного времени на проведение расчета каждого из рассматриваемых режимов системы (3.1);

• не всегда ясно будет ли получено стационарное решение системы, потому что неизвестны значения корней характеристического многочлена;

• нельзя оценить заранее возможность достижения нормативного решения системы.

Наличие указанных недостатков численных методов (хотя последние обладают и целым рядом достоинств) направило диссертационное исследование в русло получения аналитических решений систем линейных дифференциальных уравнений. То еесть нахождения решения в виде

Х_]{т) = Х^_Г+1д_лС₁е^Я'^Т , / = 1...5

/=1

где АГ_уСТ - стационарное решение у-го уравнения, - собственные векторы, С,- -

произвольные постоянные, определяемые по начальным условиям системы.

Рассмотрим условия существования предельного стационарного решения для системы линеаризованных дифференциальных уравнений ВХ_СТ +г(и)=0. Для этого сформулируем следующее утверждение.

Утверждение 3.2. Для всякого набора коэффициентов многочлена Гурвица любое решение нелинейных уравнений

обеспечивает устойчивость (монотонную) линеаризованной системы

— = ВХ + г(и)

йх

и существование предельного стационарного решения ОХ_СТ +г(и)=0, т.е. Х{т)^Х_ст.

г-»00

Наличие предельного стационарного решения само по себе не дает ответа на возможность достижения при заданных условиях решения, удовлетворяющего требованиям СНиП 2.04.05-91* по температурному режиму в обогреваемом помещении. Для ответа на этот вопрос необходимо сформулировать определение так называемого нормативного решения линеаризованной системы дифференциальных уравнений.

Определение. Нормативным решением линеаризованной системы

с!Х

— = ИХ + г{и) называется решение, при котором в помещении

поддерживается требуемая (нормируемая по СНиП) температура.

Существование стационарного и нормативного решений позволяет

йХ

сформулировать условие управляемости системы — = БХ+г{и) в виде

йт

следующей теоремы.

Теорема 3.5. Необходимое и достаточное условие управляемости

системы ^ = DX + г(и) и достижимости нормативного решения Х_пог является dt

условие Х_СТ > Х_пог.

Сформулированные в рамках данного параграфа утверждения определение и теорема позволяют достаточно просто и эффективно анализировать возможность существования стационарных режимов рассматриваемых систем, удовлетворяющих требованиям СНиП 2.04.05-91*, а также находить указанные стационарные режимы. Наряду с этим, для анализируемого класса систем, описывающих теплоснабжение систем с автономными источниками, важное значение имеют вопросы оценки их устойчивости.

Для рассматриваемого класса систем, описывающих теплоснабжение обратная задача второго уровня (по выбору произвольной точки из области устойчивости найти параметры d) зачастую практически нереализуема, ибо возможна ситуация когда полученные параметры рассматриваемой системы будут нереалистичными, недостижимыми для реальных систем.

Простейшая процедура решении прямой задачи - генерирование параметров исходной системы (детерминированном, «сеточном» или рандомизированном, случайным набросом), вычисление для них коэффициентов характеристического уравнения, проверка условий устойчивости. Для фактического построения решения при этом вычисляются корни характеристического уравнения, что легко реализуется программно с помощью Maple. По виду решения и обобщенным показателям производится диалоговый отбор наилучшего варианта.

Для решения обратной задачи необходимо описать процедуры выбора точки из области устойчивости (отбор наилучшего варианта можно осуществлять, например, по критерию Цыпкина-Бромберга [55]: наибольшей скорости или наименьшего времени перехода системы в стационарное состояние: minlA, (с) -» max ).

i

с

3.4. Выводы по главе

Полученные в третьей главе диссертационного исследования результаты позволяют сформулировать следующие выводы:

• для удобства анализа и упрощения выкладок в развитие метода Вышнеградского (масштабирование в единицу свободного члена характеристического уравнения третьего порядка) предложено масштабировать в единицу коэффициент при п-1 степени характеристического многочлена;

• в предложенном масштабе выделены области устойчивости характеристического полинома, описывающего линеаризованную систему дифференциальных уравнений первого-пятого порядка;

• выделены фиксированные области устойчивости решения линеаризованной системы дифференциальных уравнений в пространстве

Г,

• сформулированы ряд общих теорем для систем теплоснабжения с автономным источником тепла, закладывающих фундамент для поиска аналитических решений указанных систем;

• показаны пути решения обратной задачи - отыскания параметров исходной системы (с дополнительными условиями, специфическими для нее) по коэффициентам характеристического многочлена, выбранным по условиям устойчивости.

Глава 4. Анализ моделей систем теплоснабжения с автономным источником тепла

4.1. Анализ устойчивости линейных дифференциальных уравнений, моделирующих теплоснабжение отдельного помещения

Так как а > О, то решение устойчиво и при / оо температура в

Ь

помещении стремится к стационарным значениям Т_СТ = —

а

Общее решение уравнения (2.26) запишется в виде:

T = - + Ce~^at,   (4.1)

а

где С=Т₀- -.

а

Из теоремы 3.5 вытекает следующее утверждение.

Утверждение 4.1. Необходимым и достаточным условием поддержания нормативной температуры в помещении является неравенство

~>Т .

nor

а

Ясно, что при наличии потенциальной возможности системы теплоснабжения достигнуть значение Т_пог в дальнейшем сохраняется

dT

возможность ее поддержания. Положив в уравнении (2.26) — = 0 и Т=Т_п0Г

dt

Tnor(^a10+^all)-<*llTc

получим необходимую температуру обогревателя Т_{р пог} -

а _]0

обеспечивающую стационарный режим обогрева помещения на уровне нормативной температуры.

Время переходного процесса, в течение которого температура в помещении изменится от значения Т₀ до значения Т_пог при заданной начальной температуре обогревателя Т_р, которая должна быть больше Т_{р пог} в режиме нагрева, либо меньше Т_{р пог}, определяется уравнением (4.1):

 

(4.2)

а

1 ( аТ₀-Ъ

\^аТпог ~^ъ,

 

4.1.1. Управление теплоснабжением помещения с учетом тепловой инерции

Поскольку при переводе системы отопления из одного стационарного режима отопления в другой, с более высокой температурой в помещении, невозможно мгновенно установить температуру радиатора Т_р на максимально допустимый уровень, процесс его нагрева заменяется непрерывной аппроксимацией функции единичного скачка от температуры начального стационарного режима до максимально допустимой. Представим уравнение (2.26) в виде:

~ = ₈и-аТ + м>, (4.3)

Ш

где Т_р=Т_рп+и(Т_ру-Т_рп), 0 <и<1,

= а_пТ_с + а₁₀Т_рп, ? = а₁₀(Т_ру -Т_рп).

Оптимальное решение (если и - функция Хевисайда):

а а

Заменим управление, описываемое функцией единичного скачка,

 „- Л? ц,

аппроксимирующей функцией Хаттингтона и=е =и [9] (см. рис. 4.1), где X - параметр, определяющий точность аппроксимации в смысле достижения управлением единичного значения:

с1Т

Положив gu + w = f{t), приходим к уравнению — = -аТ+?(г), решение

1ш1 = 1, t>0 (->+00

Рис. 4.1. Общий вид аппроксимирующей функции Хаттингтона

=-> * = 0

(4.4)

Л

которого можно записать в интегральном виде [37]:

^ =} аЖ = Ш,

или

 

—м

(4.5)

т V «У

а

Т = е~^а' {Т₀ +\е^ах{_ёи + м^г) = е

 

Разложим и(г) в ряд по степени е ^м. В результате получим /л«

Этот ряд интегрируем на любом конечном интервале. Тогда:

и=о л!

 

>й?г =

21

о

о

1-е ^м +—------------- + •

3/

Асимптотическое разложение в ряд этой функции позволяет рассчитывать решение с заданной точностью, не прибегая к численным квадратурам:

(4.6)

„-ЗЛ/

I 1 Xt — 2Xt F_ne~^at=\^[2]-^e— ₊ -^e

а а-Х (а-21)2! (a-3X)3!

v0 =

1

[а а-Х (а- 2Х)2! (a- 3X)3! _} Обозначим первый ряд через и_п, а второй соответственно - v_n :

и₀ =

-At

M] = —

(а-Х)

v, =

¹ {а-Х)

 

".-ИГ:

"-^Г—,Y7   ' (a-nX)nl

[а - пХ )п!

Суммы рассмотренных рядов имеют вид S(u)=S_n+R_n+J и s(v) = S_n + R_n+,. Для получения требуемой точности s, в силу знакопеременности рядов, расчет конечных сумм ведется до тех пор, пока не выполнятся условия |R_n+11 < |u_n+11 < е и

R_n+1|<|v_n+1|<?. Сформулированные выше положения позволяют считать

V.

доказанной следующую теорему:

Теорема 4.1. Аппроксимация функции единичного скачка функцией Хаттингтона ведет к аппроксимации оптимального решения, то есть при

j_M(o)-M*(i| <s,

(Л >Л);

to-r*^ <S,\fe, S(s).

Параметр А- аппроксимирующей функции находится эмпирически по результатам эксперимента (описание эксперимента приведено в главе 5 и [58]). Если известен набор точек   отвечающий реальному изменению

-nXt

температуры радиатора на известном временном интервале (/_1;/₂), то можно

найти минимальное Т_рп и максимальное Т_ру значения температур радиатора и по

методу наименьших квадратов найти значение параметра X, дающее наилучшее приближение эмпирических данных функцией:

У = т_рп+(т_р*-т_рпу^е~^л' ¦   (4.7)

- У-Т_рп

Поскольку е

Т -Т

(4.8)

йХ

ру рп

или

с	/	™ Л	\
-\п	у-	-Т рп
	Т	- т
V	\ ру	рп JJ

х = 1п

 

Найдем значение к, минимизируя сумму квадратов отклонений: s = l:(x_i+xt?f -»пил,

О 2Е(Х, + Х() У'(₁ = 0,

(4.9)

?=1

Ъх^

Х = ---------

л ,

_ 1п(1п(ц)) X '

те

Так как функция управления интегрировалась в интервале от 0 до X, а в действительности она имеет отличные от нуля значения и в отрицательной полуплоскости, то к полученному в таблице значений функции (4.5) времени, при котором она достигает нормативного значения, следует добавить время запаздывания, которое находится по формуле:

(4.10)

и

4.1.2. Квазирелейное управление теплоснабжения помещения Аппроксимация функции единичного скачка функцией Хаттингтона в достаточной мере сложна и не всегда оправдана, так как время запаздывания имеет смысл учитывать при существенных длинах теплотрасс. Поэтому, в тех случаях, когда длина теплотрассы незначительна, аппроксимацию управления

функцией Хаттингтона предлагается заменить управлением функцией обратной экспоненты и -и*. Тогда

lim u{t)-\, t>О

<->+00

(4.11)

|w(f) = 0, i = 0

oj t Рис. 4.2. Общий вид аппроксимирующей функции и

 

Преобразуем уравнение (2.26) с учетом аппроксимации управления обратной экспонентой. В результате получим йТ

= -aT + g_rg₂e~^Mt,

dt

где g_x = а_пТ_с +a_l0T_pv, g₂ = a_w(T_pv -Т_рп).

Решение однородного уравнения имеет вид Т_с

однород

Рассмотрим частные решения уравнения (4.11), отвечающие слагаемым

?l а

-0

81. §2*

Постоянной gl отвечает частное решение -aT+g_l = О, откуда Т¹ст =

Экспоненте g₂eотвечает решение вида г =

Подставив его в уравнение (4.11), получим:

(4.12)

?₂

¦ juwe = -awe ^? -g₂e ^?, w =

/и-а

Общее решение уравнения (4.11) запишется в виде: а /л-а

Значение произвольной постоянной С найдем из начальных условий

г₀(о)=с+—

а /л-а

 

откуда

 

о

,(4.13)

Si Si

а /л-а

/ \

T = e~^at   —+ н———е^_,и'

а /л-а) а /л-а

 

Полученный результат может быть сформулирован в виде следующей теоремы:

Теорема 4.2. Аппроксимация функции единичного скачка функцией обратной экспоненты ведет к аппроксимации оптимального решения, то есть при

|и(о)-и*(*)| <s, (Л>Л);

T(t)-T*(tj^ <S,\/s, 8(e).

и\

Найдем значение параметра ц, по эмпирическим данным методом наименьших квадратов [20, 111]. Вследствие того, что в качестве аппроксимирующей функции использована функция обратной экспоненты, метод нахождения аппроксимирующего параметра ц, не изменится по отношению к рассмотренному выше. Имея значение температуры обогревателя у для различных значений времени tj, преобразуем их в значения параметра г.

Из (4.14) найдем аналитическое значение управления е ** = .Из

 

полученного выражения выразим аппроксимирующий параметр

 

V/pv *pnj

(4.15)

 

Найдем ц,, минимизируя сумму квадратов отклонений:

/7С

п

S = z(r, + ut.Y -» min, — = 0 -> 2i(r, +jut_t)*t_t = 0,

и

ад

5''

Полученное значение параметра ц позволяет моделировать аппроксимирующую функцию управления с требуемой точностью.

4.1.3. Релейное управление системой теплоснабжения Рассмотрим линеаризованную систему дифференциальных уравнений (2.16), описывающую изменения осредненных температур рассматриваемой подсистемы. Для удобства преобразований введем обозначения:

(4.16)

а1]=а8+с19>с12>0, й2=ад>0, с1з=аю>0, й4=аю+ац> йз > 0, г_х -а_&Т_г, г_г =Ь₄,

Л, Л сГГ_ Л

= -й{Гр + с12Т + гх = «/Т -с1.Т + г.

(4.17)

3 р

 

Найдем корни характеристического многочлена системы (4.17). -(1+) й₂

— (Л + с!]) (Я + й4) - й₂ с!з=0,

й_ъ — (я + )

Л² + (^ + (1₄)Л + -с1₂й^)~Л² + с_хХ + с₂ = О,

Я₁₂ =   + ?4 ± -й?₄)² +4Й?2^3 ^ ^е ^ •

Л²   с₀ = 1,

Л¹ с_х = й_х + с1₄ > О, Л° с₂ = — й₂й₃.

Условия Рауса-Гурвица в данном случае совпадают с условиями Стодолы. Условия Стодолы (положительность коэффициентов) легко проверяются:

1) с_х - й_х + ё_А > 0 выполняется всегда при \/(1_х,с1₂ >0;

2)   с₂ = с1_хс1_А > 0,

А-Я1 =

(с1₂ + а₈+а_и)>с1₂с1₃, выполняется всегда при Ус/,, а,> 0 .

Для того чтобы решение системы (4.17) было монотонно устойчиво нужно, чтобы выполнялись условия Штурма (3.5): с\ >4с₂ или (с!_[ +й?₄)² >4(с1\(1₄ -с1₂с1,),

с1_х + 2^4 + й\ - 4й_х<Л₄ + 4с/₂й?₃ > О, (с!_х -с1₄)² + \й₂й_г >0.

Эти условия также выполняются всегда при Ус/, > 0, т.е. решение системы (4.17) монотонно устойчиво, характеристический многочлен является многочленом Гурвица. В силу утверждения 3.2 значения температур Т_р и Т стремятся к своим предельным значениям Т_рСт и Т_Ст, которые соответственно равны:

^ _ <Л_Аг_х + й₂г₂ ^ _ й_ъг_х + <Л_хг₂   ^ ^

^рСТ с1_хй_А - с1₂с1_ъ ^ст с1_{с1_А —

Найдем собственные векторы системы (4.17) из уравнений:

+   +d₂q_2i =0

1 ?зЯи -(^ + ^4)92« = °"

Положим д_и= 1, тогда д₂₁ = ⁺ ^

й₂

Общее решение системы (4.17):

Т_р=Т_рСГ+С_хе* +С₂е^х*

Значения произвольных постоянных находятся из начальных условий Т_Р(о) = Т_РО, Г(о) = Г₀.

С _ (^ТРСТ - ТроХ<1₁ +Х₂) + с1₂(т₀ - Т_ст) _ (т>_сг +ц)+^₂(т₀-т_ст) ^

Х_х-Х₂ Х_х-Х₂

Значение температуры радиатора для поддержания стационарной температуры в помещении найдем из второго уравнения системы (4.17) при условии (Т = X), с1₂Т_рпог-й_АТ_пог + г₂= 0, откуда

Т_р__пог = ^~^Г2 ¦   , (4.21)

Конкретизация теоремы 3.5 для рассматриваемого случая имеет вид:

Теорема 4.3. Необходимым и достаточным условием возможности поддержания нормативной температуры в помещении является неравенство

?А^Г\ +^2 _> ^й\^Тпог ~Г₂ _

с1₁с1₄ -с1₂с1₃

Л йТ

Описанная выше система позволяет корректно моделировать теплоснабжение отдельного помещения при постоянной температуре теплоносителя Т_Т либо при релейном управлении им. Если температура теплоносителя постоянна, то в качестве управляющего параметра выступает расход теплоносителя V,.

4.1.4. Квазирелейное управление теплоснабжением помещения (двумерный случай)

Рассмотрим случай изменения температуры в помещении при повышении температуры теплоносителя. Поскольку из-за тепловой инерции невозможно мгновенно установить температуру теплоносителя ТУ на максимально допустимом уровне, ее изменение аппроксимируется функцией обратной экспоненты:

У(0 ⁼ + (Т_т — Т_т0 ,

⁽*^Т"- = -й₁т_р+<1₂т+г(!)

Л

(4.22)

= е1₃Т_р-(1₄Т + г₂

Введем масштабы Х₁=М_]Т_Р, Х₂=М₂Т, позволяющие преобразовать

систему (4.22) к виду:

'(IX,

 

м,

М1

М1

М1

(к

ск (IX,

= (1₃-^!-КХ₁-ё₄КХ₂+г. М-,

Положим diR=l R = _d^_R=] = , ^ = 1.

d, ² M, d, M₂ M ₂

Тогда преобразованные коэффициенты системы будут равны:

_1г _ ^аъ^м 1 Р_ ^d3^d2 _t _d₄ ^ _а₈(Т_г-Т_то) к,----------------- к₂-—, w_l-—-R, w₂- —   л, ?лК-р.

М₂ d(   dj Му М_}

Расчет аппроксимирующего параметра ?л осуществляется по схеме, приведенной в пункте 4.1.2.

Система (4.22) примет вид, содержащий только два коэффициента при неизвестных:

jjf, = -X, + X₂ + w_x- w₂e-»^T   _{(4 23)}

[ Х₂=к₁Х₁-к₂Х₂ +1 '

Х,(0)=Х₁₀, Х₂(0)=Х₂₀, О <и<1 т_х —> min.

Найдем корни характеристического многочлена для системы уравнений (4.23).

-(Л + 7) 1

4i)=

к, -\А + к₂\

Я₁₂=-^1 + к₂±_л1(1-к₂)²+4к_/)еК.

Область устойчивости решения системы (4.23) не изменится по

сравнению с системой уравнений (4.17), но уменьшение числа параметров

облегчает расчеты.

Собственные векторы системы (4.23) найдем из уравнений:

Г-(Д + 1)?_1г- + q_2i =0 1 к\Чи -(Л + к₂}121 = в'

Положим 1, тогда q_2? = 1 + Л₁...

Решение однородной системы (4.23) запишется в виде:

' Х°_х^дн =С_хе^ХхТ +С₂е^Х1Т

Х°₂^дн = С, (1 + Л )е^л'^т + С₂ (Г+ Л₂ У^2Т'