Материал: МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТЕПЛОСНАБЖЕНИЯ ЗДАНИЙ С АВТОНОМНЫМ ИСТОЧНИКОМ ТЕПЛА

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТЕПЛОСНАБЖЕНИЯ ЗДАНИЙ С АВТОНОМНЫМ ИСТОЧНИКОМ ТЕПЛА

Министерство образования Российской Федерации РОСТОВСКАЯ-НА-ДОНУ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННОГО МАШИНОСТРОЕНИЯ

На правах рукописи

МИРСКАЯ СВЕТЛАНА ЮРЬЕВНА

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТЕПЛОСНАБЖЕНИЯ ЗДАНИЙ С АВТОНОМНЫМ ИСТОЧНИКОМ ТЕПЛА

специальность 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: кандидат технических наук,

доцент Сидельников В.И.

Ростов-на-Дону 2003

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение 6

Глава 1. Описание систем теплового снабжения зданий и требований 12 к ним

1.1.  Системы теплового снабжения помещений   12

1.2. Нормативные требования (СНиП) к тепловым 13 параметрам в помещениях и их регулированию

1.3. Оценка потерь тепловой энергии в элементах системы 15 теплового снабжения

1.4. Методы анализа и возможные направления повышения 17 эффективности систем теплового снабжения

1.5.  Выводы по главе и цели исследования   22 Глава 2. Математические модели систем теплоснабжения с 23

автономным источником тепла

2.1. Системный подход к описанию теплоснабжения зданий 23 с автономным источником тепла

2.2.   Математическая модель системы теплоснабжения с 30 вынесенным автономным источником

2.2.1. Дифференциальное уравнение процесса 31 теплового обмена в источнике тепловой энергии

2.2.2. Дифференциальное уравнение процесса 34 теплового обмена в теплотрассе прямой подачи

2.2.3.   Дифференциальные уравнения процесса 36 теплового обмена в обогреваемом помещении

2.2.4. Дифференциальное уравнение процесса 37 теплового обмена в теплотрассе обратной подачи

2.2.5. Система дифференциальных уравнений процесса 38 теплового обмена в системе теплоснабжения с автономным вынесенным источником

2.3.   Математические модели систем теплоснабжения со 39 встроенными автономными источниками

2.3.1. Математическая модель системы 40 теплоснабжения с изолированным встроенным автономным источником

2.3.2.   Математическая модель системы 41 теплоснабжения с неизолированным встроенным автономным источником

2.4.   Математическая модель системы теплоснабжения 42 помещением

2.5.   Оптимальное управление системами теплоснабжения 43 помещения

2.5.1.   Релейное управление переходным режимом 44 теплоснабжения помещения

2.5.2.   Релейное управление переходным режимом 47 теплоснабжения помещения в системе «радиатор- помещение»

2.6.  Выводы по главе   50 Глава 3. Асимптотическая устойчивость автономных систем первого 51

— пятого порядков

3.1.   Методика анализа устойчивости систем линейных 51 дифференциальных уравнений

3.2. Описание областей устойчивости в пространстве 55 коэффициентов характеристического многочлена

3.3.   Формулировка общих теорем для анализа систем 66 теплоснабжения

3.4.  Выводы по главе   70 Глава 4. Анализ моделей систем теплоснабжения с автономным 71

источником тепла

4.1. Анализ устойчивости линейных дифференциальных 71 уравнений, моделирующих теплоснабжение отдельного помещения

4.1.1.   Управление теплоснабжением помещения с 72 учетом тепловой инерции

4.1.2. Квазирелейное управление теплоснабжения 75 помещения

4.1.3. Релейное управление системой теплоснабжения 78

4.1.4. Квазирелейное управление теплоснабжением 80 помещения (двумерный случай)

4.2. Анализ устойчивости системы линейных 83 дифференциальных уравнений,   моделирующих теплоснабжение со встроенным автономным источником тепла

4.2.1.   Анализ устойчивости системы линейных 83 дифференциальных уравнений, моделирующих теплоснабжение с изолированным встроенным автономным источником тепла

4.2.2.   Анализ устойчивости системы линейных 88 дифференциальных уравнений, моделирующих теплоснабжение с неизолированным встроенным автономным источником тепла

4.3. Анализ устойчивости системы линейных 93 дифференциальных уравнений,   моделирующих теплоснабжение с вынесенным автономным источником тепла

4.4. Выводы по главе   101 Глава 5. Компьютерное моделирование температурных режимов 103

систем теплового снабжения

5.1.   Возможности и структура системы программной 103 поддержки

5.2. Моделирование режимов теплового снабжения 104 системы с автономным вынесенным источником тепловой энергии

5.3. Моделирование режимов теплового снабжения 111 системы с автономным внутренним источником тепловой энергии

5.4.   Компьютерное моделирование теплоснабжения 114 отдельного помещения

5.5. Выводы по главе   117 Заключение 118 Библиографический список 120

Глава 1. Описание систем теплового снабжения зданий и требований к ним

1.1. Системы теплового снабжения помещений

Для последующего построения математических моделей и их анализа необходимо предварительно выяснить структуру моделируемых объектов и процессов.

В соответствии со СНиП 2.04.05-91* [117-119] (строительные нормы и правила отопление, вентиляция и кондиционирование) в различных категориях зданий и сооружений могут применяться следующие виды и системы отопления:

• печное отопление;

• воздушное отопление;

• отопление вторичными энергетическими ресурсами;

• водяное с радиаторами, панелями и конвекторами или гладкими трубами;

• водяное с нагревательными элементами, встроенными в наружные стены, перекрытия и полы;

• местное (квартирное) водяное с радиаторами или конвекторами при температуре теплоносителя 95⁰ С;

• электрическое или газовое с температурой на теплоотдающей поверхности 95°С;

• электрическое и газовое с высокотемпературными темными излучателями в не утепленных и полуоткрытых помещениях и зданиях.

Отметим, что из перечисленных видов и систем отопления лишь печное отопление и отопление вторичными энергоресурсами не требует применения специальных методов оценки эффективности их применения и выбора режимов по следующим причинам:

печное - в силу ограниченной зоны отопления и субъективной оценки его результатов пользователями;

вторичными энергоресурсами - в силу того, что оно рассматривается как дополнительное к одному из перечисленных выше видов отопления.

Все остальные виды и системы отопления используют различные первичные энергетические ресурсы (электроэнергия, газ, мазут, уголь, торф и др.), которые преобразуются источниками в тепловую энергию, а затем транспортируются на большее или меньшее расстояние через систему теплотрасс к потребителям. При этом рассматриваются два основных типа источников тепловой энергии - автономные и централизованные.

Автономные источники обладают меньшей располагаемой мощностью, чем централизованные, и, как следствие, меньшим значением КПД (то есть менее эффективны при рассмотрении в отрыве от всей системы теплового снабжения).

Централизованные источники соответственно мощнее автономных (более эффективны и выше КПД), обеспечивают тепловое снабжение нескольких объектов. Но транспортировка тепловой энергии снижает эффективность их применения за счет потерь тепловой энергии в теплотрассах прямой и обратной подачи.

1.2. Нормативные требования (СНиП) к тепловым параметрам в помещениях и их регулированию

В СНиП 2.04.05-91* выделяют требования к параметрам воздуха в помещениях в теплый, в холодный и переходные периоды года. Так, в теплый период года температура воздуха в помещениях должна быть не более чем на 3°С выше расчетной температуры наружного воздуха. При этом температура воздуха в помещениях не должна превышать 28° С для общественных и административно-бытовых помещений с постоянным пребыванием людей и не более 33°С для указанных зданий, расположенных в районах с расчетной температурой наружного воздуха 25° С и выше.

В холодный период года и в переходных условиях температура воздуха в помещениях должна находиться в интервале 18-22° С. Допускается понижение температуры в административно-бытовых помещениях с пребыванием людей в уличной одежде до температуры не ниже 14 ⁰ С.

Практически для всех типов помещений во все периоды года допускается относительная влажность воздуха не более 65%. В теплый период года допускается скорость движения воздуха в помещениях не более 0,5 м/с, в остальные периоды - не более 0,2 м/с.

Оптимальные значения нормируемых СНиП параметров воздуха в обслуживаемых зонах различных типов помещений приведены в таблице 1.1.

Таблица 1.1.

Оптимальные нормы

В рамках рассматриваемых в диссертационной работе задач важнейшими являются требования СНиП к оптимальной температуре воздуха в холодный период года и в переходных условиях в интервале 20-22 °С.

В пункте 2.5 раздела 2 (Расчетные условия) СНиП 2.04.05-91* регламентируется режим прерывистого отопления. Там сказано, что в холодный период года в общественных, административно-бытовых и производственных помещениях отапливаемых зданий, когда они не используются, и в нерабочее время следует принимать температуру воздуха ниже нормируемой, но не ниже 5°С, обеспечивая восстановление нормируемой температуры к началу использования помещения или к началу работы. Данный пункт СНиП открывает широкие возможности в плане экономии тепловой энергии в указанных категориях помещений. Однако его реализация связана с разработкой и реализацией экономико-математических методов моделирования работы системы теплового снабжения.

1.3. Оценка потерь тепловой энергии в элементах системы теплового

снабжения

В действующих СНиП 2.04.05-91* приводятся общие рекомендации по допустимым величинам потерь тепловой энергии в различных элементах систем теплового снабжения. Так в разделе «Трубопроводы» приводятся следующие рекомендации по тепловой изоляции теплотрасс.

Тепловую изоляцию следует предусматривать для трубопроводов систем отопления, прокладываемых в неотапливаемых помещениях, в местах, где возможно замерзание теплоносителя, в искусственно охлаждаемых помещениях, а также для предупреждения ожогов и конденсации влаги в них. В качестве тепловой изоляции следует применять теплоизоляционные материалы с теплопроводностью не более 0,05 Вт/м^2аС и толщиной, обеспечивающей на поверхности температуру не выше 40 °С. Дополнительные потери теплоты трубопроводами, прокладываемыми в неотапливаемых помещениях, и потери теплоты, вызываемые размещением отопительных приборов у наружных ограждений, не должны превышать 7% теплового потока системы отопления здания.

Как видно из приведенной выдержки из СНиП 2.04.05-91 * рекомендации по тепловой изоляции теплотрасс носят, в значительной мере, качественный характер. В частности, никак не обоснована рекомендация применения теплоизоляционных материалов с теплопроводностью не более 0,05 Вт!м™С. Данная рекомендация не учитывает стоимость теплоизоляции, которая в совокупности с теплоизоляционными свойствами должна определять целесообразность ее использования.

Не достаточно обоснована рекомендация СНиП 2.04.05-91* обеспечивать на поверхности теплотрассы температуру не выше 40 °С. Очевидно, что температура на поверхности теплотрассы должна определяться в результате оптимизационного расчета, проводимого для системы теплового снабжения в целом. Не в полной мере обоснована рекомендация СНиП о том, что дополнительные потери теплоты трубопроводами, прокладываемыми в неотапливаемых помещениях, и потери теплоты, вызываемые размещением отопительных приборов у наружных ограждений, не должны превышать 7% теплового потока системы отопления здания.

Основные и добавочные потери теплоты через элементы ограждающих конструкций СНиП 2.04.05-91* рекомендует определять, суммируя потери теплоты (2, Вт через отдельные ограждающие конструкции с округлением до 10 Вт для помещений по формуле

0 = + (1-1) где А - расчетная площадь ограждающей конструкции, м²;

Я - сопротивление теплопередаче ограждающей конструкции, м²⁰С/Вт; / - расчетная температура воздуха, °С, в помещении с учетом повышения

ее в зависимости от высоты для помещений высотой более 4 м; 1_ех1 - расчетная температура наружного воздуха для холодного периода года при расчете потерь теплоты через наружные ограждения или температура воздуха более холодного помещения - при расчете потерь теплоты через внутренние ограждения;

?5 - добавочные потери теплоты в долях от основных потерь; п- коэффициент, принимаемый в зависимости от положения наружной поверхности ограждающих конструкций по отношению к наружному воздуху.

Выражение (1.1) позволяет достаточно точно рассчитывать потери теплоты через элементы ограждающих конструкций и для всего объекта в целом. Однако в СНиП 2.04.05-91* не даются никаких указаний о допустимых величинах тепловых потерь зданием в целом и способах определения их оптимальной (экономически оправданной) величины.

1.4. Методы анализа и возможные направления повышения эффективности систем теплового снабжения

Выше был дан краткий обзор основных требований, предъявляемых СНиП 2.04.05-91* к режимах теплового снабжения. В данном параграфе мы попытаемся сформулировать основную цель диссертационного исследования применительно к системам теплового снабжения, и проанализировать существующие методы решения данной задачи с их достоинствами и недостатками.

В связи с тем, что при проектировании системы теплоснабжения и ее режимов целесообразно оперировать средними температурами, рассматриваемые в диссертационной работе системы могут быть описаны обыкновенными дифференциальными уравнениями вида [2, 71], а не уравнениями в частных производных:

* = /(х,ил4),   (1-2)

где х - ^-мерный фазовый вектор, ? - к- мерный (к<п) вектор внешних воздействий (возмущений), который может быть как случайным (задан своими статистическими характеристиками), или неопределенным (в связи с недостаточной изученностью объекта исследования). Во всех случаях вектор ?(/) задается своей принадлежностью к некоторому множеству

(1.3)

Вектор-функция и(г) размерности т<п называется управлением или управляющим вектором. Данной вектор-функцией мы вправе распоряжаться в соответствии с поставленными перед нами целями функционирования системы теплового снабжения, то есть выбирать управляющую функцию, которая может быть функцией времени (и = и($)\ фазового вектора (и = и{х)), возмущения (и = либо иметь более общий вид (и =

Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений оказывается принципиально возможным в случае их асимптотической устойчивости (колебательной или монотонной). Вопросам устойчивости систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, посвящены работы ряда авторов [17, 46, 69, 110]. Основным недостатком, присущим большинству существующих методов анализа устойчивости (методы Рауса-Гурвица, Михайлова, Найквиста и др.) является то, что они дают ответ лишь на вопрос устойчива или нет система при заданных первичных параметрах анализируемой системы. При этом остаются совершенно неясными ответы на вопросы: в каком порядке, в каком направлении и на какие параметры исходной системы, следует воздействовать, чтобы перевести систему в состояние асимптотической устойчивости.

Частично ответы на вопросы о порядке перевода системы в состояние асимптотической устойчивости даны в [79]. Однако, предложенный в [79] метод повышения устойчивости, требует на наш взгляд некоторой доработки в части критериального анализа чувствительности параметров характеристического полинома Гурвица.

Отметим, что в приведенной выше постановке задачи, системы вида (1.2) могут быть использованы для достижения одной важной цели - минимизации затрат при условии обеспечения нормируемого СНиП 2.04.05-91* теплового режима в обогреваемом помещении (помещениях). Вместе с тем известно, что преобразование первичных энергоносителей в тепловую энергию в источнике сопровождается нарушением экологического равновесия в окружающей среде. Следовательно, решение задачи минимизации затрат на тепловое снабжение обогреваемого объекта (объектов), должно сопровождаться решением задачи минимизации вредного воздействия системы теплового снабжения на окружающую среду [113].

Как известно, любой технический проект требует определенных капиталовложений. Если минимизация затрат на теплоснабжение относится к классу оптимизационных задач, решение которых предполагает отыскание минимума функции приведенных затрат, то решение задачи поддержания экологических норм от вредных выбросов источником систем теплоснабжения требует исключительно дополнительных капитальных вложений, направленных лишь на улучшение состояния окружающей среды. Поэтому при решении задачи оптимизации теплоснабжения и защите окружающей среды мы имеем ситуацию двухкритериалъной задачи. Решение задачи в данной постановке требует специальных подходов [18, 27, 32, 38, 39, 63, 75, 82, 84, 100, 104, 112].

Рассмотрим основные направления исследований в области оптимизации теплового снабжения, проводимые в нашей стране и за рубежом. Из проводимых в данной области в нашей стране исследований в первую очередь следует отметить работы Табунщикова Юрия Андреевича и его школы [90-96, 115, 116]. Основное направление работ - это математическое моделирование и оптимизация тепловой эффективности зданий.

Важнейшие научные результаты Табунщикова Ю.А. и его школы изложены в [91, 115]. Основное направление их исследований сводится к анализу и оптимизации тепловой эффективности зданий. При этом используется системный подход к построению математической модели тепловой эффективности здания как сложной технической системы. Построению математической модели здания в целом предшествует построение ряда математических моделей, описывающих процессы теплового обмена в различных конструктивных элементах здания, таких как отдельного помещения, ограждающей конструкции, светового проема. Расчет конвективного теплообмена выполнен на основе решения уравнений сохранения количества движения, энергии и массы (уравнения Навье-Стокса) [12, 99].

Исследования Бродач М.М. посвящено анализу влияния размеров и ориентации здания на его теплоэнергетические характеристики [8]. Данные исследования имеют важное значение на этапе проектирования зданий и сооружений, и их внедрение в практику лежит в области поиска взаимодействия архитекторов, проектировщиков и инженерно-технических работников.

Работы Волкова М.А. [13] посвящены анализу эксплуатации газифицированных котельных. Данные работы важны в плане определения путей повышения экономической эффективности работы источника. Статья Волынского Б.Н. [15] ориентирована на поиск конструктивных решения энергосберегающих зданий, что в известной мере дополняет исследования Бродач М.М.

В работах Грудзинского М.М. [21] анализируются отопительно- вентиляционные системы в зданиях повышенной этажности. В них охватывается комплекс проблем экономии тепловой энергии на отопительные и вентиляционные системы.

В статье Делюкина A.C. [23] анализируется проблема замены оборудования в системах теплового снабжения. Очевидно, что ее рациональное решение лежит в области использования методов динамического программирования [4, 5], обобщенных на случай замены отдельных элементов технологического оборудования.

Работы Ельцова В.А. [26] направлены на анализ экономической эффективности перехода от централизованных источников теплоснабжения к автономным. Однако в них не учитывается то обстоятельство, что в ряде технологических процессов, например выработка электроэнергии на ГРЭС, тепловая энергия рабочего теплоносителя не может быть использована иначе, как на цели теплоснабжения.

Статья Коркина В.Д. [40] развивают идею Ельцова В.А. о переходе к автономных источникам. Однако Коркин В. Д. предлагает переход к поквартирным системам автономного теплоснабжения, что требует предварительной оценки сравнительной эффективности с системами централизованного и автономного теплоснабжения в пределах отдельных зданий.

Труды Коробейника Ю.Ф. [43] посвящены рассмотрению проблемы оптимального управления режимами теплового снабжения и их влиянию на эффективность теплового снабжения. В исследованиях Ливчака В.И. [47-49] рассматриваются вопросы усиления тепловой изоляции ограждающих конструкций зданий и сооружений. Предлагается отказаться от установки тепловых счетчиков в зданиях, так как управление тепловым режимом осуществляется с центрального источника, что не совсем корректно, т.к. при отсутствии счетчиков расчет за тепловую энергию производится по явно укрупненным нормам, устанавливаемым теплоснабжающей организацией из расчета обогреваемой площади. Предлагается переход к автономным источникам тепловой энергии, при котором отказ от счетчиков тепловой энергии является обоснованным. Работы Наумова А.Л. [64] развивают идеи Ливчака В.И. о переходе к автономным источникам теплоснабжения.

Исследование Станкявичуса В. [89] направлены на анализ фактического потребления тепловой энергии зданиями и сооружениями, составление энергетических паспортов зданий и сравнение фактического потребления тепла с проектными значениями. Бесспорно, важным является выявление фактического потребления тепловой энергии, которое, однако, может быть установлено с помощью счетчиков тепловой энергии.

На разработку региональных норм по тепловой изоляции теплотрасс с учетом стоимости тепловой энергии, температуры теплоносителя и стоимости тепловой изоляции направлены работы Шойхета Б.М. [105]. Безусловно, важное направление исследований, однако из работ не совсем ясно, как определяется реальная стоимость тепловой энергии, которая, очевидно изменяется в процессе оптимизации тепловой изоляции.

1.5. Выводы по главе и цели исследования

Проведенный краткий анализ состояния дел в области исследований по оптимизации теплового снабжения показал, что в настоящее время исследуется широкий круг вопросов связанных с оптимизаций затрат на тепловое снабжение с учетом требований СНиП 2.04.05-91. Однако практически все рассмотренные работы направлены на решение локальных задач теплового снабжения в различных элементах системы теплового снабжения. Данное обстоятельство является основным недостатком, препятствующим достижению оптимальных решений для систем теплового снабжения в целом. На основе проведенного анализа в качестве первоочередных можно сформулировать следующие основные задачи:

• построение математических моделей функционирования всех подсистем системы теплового снабжения, а также базовых моделей автономных систем теплоснабжения со встроенным и вынесенным источниками тепловой энергии;

•   разработка методов исследования математических моделей отдельных элементов системы теплового снабжения, анализа их работоспособности, анализа эффективности систем теплового снабжения.

Глава 2. Математические модели систем теплоснабжения с автономным источником тепла

2.1. Системный подход к описанию теплоснабжения зданий с автономным источником тепла

Система теплоснабжения представляет собой сложную систему с многообразием составляющих ее элементов, в которых протекают различные по физической сущности процессы поглощения, превращения и переноса теплоты. Рассмотрим систему теплоснабжения зданий как множество объектов с набором связей и свойств между ними. Принципиальной особенностью этой системы является то, что система теплоснабжения зданий представляет собой не простое суммирование объектов системы, а особое их соединение, придающее всей системе в целом новые качества, отсутствующие у каждого из элементов [29]. При этом объекты функционируют как единое целое, каждый объект работает как составляющая часть системы ради достижения единой цели. В настоящее время для построения и реализации математических моделей сложных технических систем используется методология системного подхода [14, 19, 24, 35, 51, 60, 78, 85, 103].

Системный подход в рассматриваемом случае предполагает выполнение следующих этапов:

• выявления состава элементов, их внутренней структуры и видов связей между ними;

• расчленение объекта с помощью метода декомпозиции на более простые подсистемы и элементы;

• разработка ситемы взаимосвязанных математических моделей отдельных подсистем и элементов и обобщенной математической модели теплового снабжения зданий.

Проанализируем систему теплоснабжения здания с автономным вынесенным источником тепла. Предполагается, что имеется здание любого типа и структуры, отопление которого происходит от котельной установки, находящейся на известном расстоянии от отапливаемого объекта. Причем котельная является автономной и обслуживает только одно здание. Такая схема используется для отопления школ, детских садов или административных зданий. Система работает по замкнутому контуру, то есть выходные переменные предыдущего объекта являются входными переменными для последующего.

Определим представленную ситему теплоснабжения кортежем = (т,Я,I,ЯЛ, А{) [83], где множества элементов, их свойств,

связей, целей и сред.

Множество элементов системы включает в себя пять составляющих: источник тепловой энергии (котельная установка), трубопровод прямой подачи, теплообменное устройство (радиатор), отапливаемое помещение, трубопровод обратной подачи. В каждом объекте системы является определяющим параметром температура теплоносителя (причем рассматривается осредненная температура по всем элементам системы): температура теплоносителя в источнике тепловой энергии - Т_к, температура теплоносителя в теплотрассе прямой подачи - Т_т, температура теплоносителя в теплообменном устройстве - Т_р, температура воздуха в отапливаемом помещении - Т, температура теплоносителя в теплотрассе обратной подачи - Т_обр.

Система является централизованной, ведущим элементом в которой выступает источник тепловой энергии, и внутренне релейно управляемой (методы оптимального управления системой рассмотрены в п. 2.3.). В качестве управляющего воздействия выступает объем газа ?г поступающего в топку источника тепловой энергии, возмущающими воздействиями выступают как изменения параметров окружающей среды, так и изменения параметров объектов.

Незначительные изменения в работе источника тепловой энергии повлекут за собой изменения в функционировании всей системы теплоснабжения. Элементы системы обладают рядом свойств, описываемых теплотехническими коэффициентами и параметрами а, е ?2.

Множество Я включает шесть связей. Все связи кроме г₄ сильные, односторонние, первого порядка. Связь г₄ - слабая, односторонняя, второго порядка. Она характеризует влияние температуры в помещении на температуру радиатора.

Множество рассматриваемых целей включает:

ъ\ - повышение температуры в помещении к заданному моменту времени до заданного уровня;

7а - поддержание температуры в помещении на заданном уровне до заданного момента времени;

ъ_ъ - понижение температуры в помещении начиная с определенного момента времени до заданного уровня.

Множество 8Ы включает в себя значения температур внешних сред системы теплоснабжения, окружающих элементы системы, считающиеся постоянными.

Указанные связи описываются автономной системой дифференциальных урвнений пятого порядка, подробная постановка которой дана в п. 2.2.

Система устойчива при определенных значениях входных параметров. Условия устойчивости системы и ее анализ будут даны в главе 4.

Для достижения первой и третьей целей система видоизменяется во времени. Для поддержания в помещении постоянной температуры Т система переводится в стационарный режим.

Структурная схема описанной системы представлениа на рис. 2.1.

Данная система может быть разбита на ряд уровней:

• система теплоснабжения здания со встроенным автономным источником тепла;

• система теплоснабжения помещением;

• система теплоснабжения помещением (частный слчай).

В зависимости от поставленных целей и для анализа адекватности построенных моделей изучаемому процессу возможно локальное рассмотрение системы на любом из указанных уровней. Приведенную систему можно рассматривать как базовую для описания систем теплоснабжения с централизованными источниками тепла.

Опишем систему теплоснабжения здания с изолированным встроенным автономным источником тепла. Видоизменим систему Я, поместив источник тепловой энергии в непосредственной близости от отапливоемого объекта. Такая схема применяется при отоплении жилых зданий, когда мини-котел устанавливают на крышу или в подвал жилого здания, а также в пристройку к производственному помещению. Температура помещения, в котором находится источник тепловой энергии считается постоянной и является окружающей средой для этого элемента. Идея автономного отопления зданий активно пропагандируется АВОК [45, 26, 94, 96, 116].

Определим систему кортежем ^ = (Т, (), Я, г, Л/} как с 5.

Кардинально система 5, не изменится относительно системы ?> и будет обладать теми же свойствами, что и базовая. Множества, описывающие систему, изменяются только количественно (исключаются элементы, описывающие теплотрасу). Указанные связи описываются автономной системой дифференциальных урвнений третьего порядка, подробная формуляровка которой приведена в п. 2.2. Структурная схема описанной системы представлена на рис. 2.2.

Видоизменим систему , поместив источник тепловой энергии непосредственно в отапливаемое помещение. Такая схема отопления возможна на промышленных предприятиях, когда источник находится внутри производственного цеха. Тогда температура помещения, в котором находится источник тепловой энергии будет переменной и сам источник будет обогревать помещение как посредством теплоносителя, так и непосредственно за счет потерь тепловой энергии через стенки источника. Определим 5_П ^ =(Т,0_,К,2,811,А1). Колличество элементов системы 5_П и их свойства не

изменятся, изменится множество связей. Множество Я включает пять связей. Связи г_х,г_г,г_ъ сильные, односторонние, первого порядка. Связи г₄, г₅ - слабые,

односторонние, второго порядка. Они характеризует влияние температуры в помещении на температуру радиатора, представляющую собой среду для котельной установки и теплообменного устройства. Указанные связи описываются автономной системой дифференциальных уравнений третьего порядка, подробная постановка которой приведена в п. 2.2. Структурная схема описанной системы представлена на рис. 2.3.

Рассмотрим систему теплоснабжения отдельного помещения. Из общей энергопотребляющей системы выделяется отдельное помещение или несколько помещений с одинаковыми теплотехническими характеристиками. Подобный подход оправдан с точки зрения упрощения вычислительного алгоритма и применяется в [56, 91]. Для описания данной системы неважно, как отапливается помещение, автономным источником тепла или централизованным. Определим систему Б₂ ^ =(Т,(),В.,г,БВ.,А^ как Б₂

Система 5₂ - это система с внешнем управлением. В качестве управления выступает температура входящего в радиатор теплоносителя Т_т. Систему 5'₂ можно рассматривать как релейно управляемую. Однако, этот подход не совсем корректен (нельзя мгновенно изменить Т_т), т.е. теоретически оптимальное решение нереализуемо. Для детализации описания переходного процесса, управление рассматривается как квазирелейное. При этом Т_т аппроксимируется с помощью ряда функций (см. п. 4.1).

Множество элементов системы включает две составляющие: теплообменное устройство (радиатор) и отапливаемое помещение. Элементы системы обладают рядом свойств, описываемых теплотехническими коэффициентами a_i&Q.

Множество Я включает две связи. Все связи сильные, односторонние, первого порядка. Указанные связи описываются автономной системой дифференциальных урвнений второго порядка, подробное описание которой приведено в п. 2.2. Структурная схема описанной системы представлена на рис. 2.4.

Допускается еще одно рассмотрение системы теплоснабжения помещения, как частный случай системы ?>₂. В этом случае система сводится к одному элементу - помещению с температурной характеристикой (температура обогревателя считается постоянной), т.е. ?>3 ^ = (т,(), К,г, ///), 5'₃ с ?'₂ с: 5.

Система S₃ также является системой с внешнем управлением. В качестве управления выступает температура радиатора Т_р. Систему можно

рассматривать как релейно управляемую, но этот подход тем более некорректен. Для описания переходного процесса, управление рассматривается как квазирелейное. При этом Т_р аппроксимируется с помощью ряда функций (см. п. 4.1). Структурная схема описанной системы представлена на рис. 2.5.

Приведенная система описывается одним дифференциальным уравнением (см. п. 2.4).

Все системы рассматриваются на одном множестве целей. Ниже приводятся математические модели рассмотренных систем.

2.2. Математическая модель системы теплоснабжения с вынесенным автономным источником

В параграфе 2.1 с позиций системного подхода была рассмотрена система теплового снабжения с вынесенным автономным источником тепловой энергии. В данном параграфе дается обоснование и вывод указанной системы. Вначале составляются математические модели всех составных элементов системы теплоснабжения с вынесенным автономным источником, а затем - математическая модель всей системы теплоснабжения, аналогичный подход изложен в [57].

В указанной системе примем обозначения, рассмотренные выше в пункте 2.1. Уравнения для отдельных элементов системы теплового снабжения составляются на основе теплового баланса за малое время М (если для изучения распределения температуры в помещении необходимо использовать уравнения теплопроводности [50, 52], то для анализа процессов обогрева достаточно уравнений со средними значениями температуры).

2.2.1. Дифференциальное уравнение процесса теплового обмена в источнике тепловой энергии

Тепловой баланс источника, как и любого теплотехнического агрегата, характеризуется равенством между количеством подведенной (располагаемой) и расходуемой теплоты: Q_npux = ?)_расх. Обычно тепловой баланс составляется на

•5

единицу количества сжигаемого топлива 1 кг твердого или жидкого, либо 1 м газообразного топлива, взятого при нормальных условиях. С учетом этого, пренебрегая физической теплотой топлива и считая ее постоянной, получим

= е/" + &,   (2.1)

Ярасх = 07 + 02 + вз + 04.

Здесь 0? = v_гQ_гAt - низшая теплота сгорания топлива в рабочем

о

состоянии, где V? - объем газа, подаваемого в топку котла, м /с; - теплота сгорания газа, Дж/м . Часть теплоты, затрачиваемая на подогрев всего объема У₂ воды в источнике за интервал времени Дt на температуру ЛТ_к = Т_к(1+Л0 - Т_к(1), составляет использованную теплоту ()₁=р₂?₂С₂(Т)АТ_к (в данном рассуждении мы допускаем некоторое упрощение, вызванное тем, что температура воды в трубках теплообменника распределяется от значения Т_обр на входе в котел до

о

значения Т_к на выходе из котла, р₂ - удельная плотность воды, кг/м ; У₂ - объем

о

воды в трубках теплообменного устройства источника, м ; С₂(Т) - удельная теплоемкость воды, Дж/(кг*°С)) и д₂=?₍С₂(Т)р₂Т^ - на передачу подогретой до температуры Т_к воды в тепловую сеть, где У_{ - расход воды, проходящей через

о

теплообменное устройство источника, м /с. Оз =А_к8_к(Т_г-Т_ск)А(/3 потери теплоты через стенки источника, где Л_к - коэффициент теплопроводности стенок

О   2

источника, Вт/(м* С); - площадь стенок котла, м ; 5 - толщина изоляционного слоя стенок источника, м; Т_г- температура газа в топке источника, °С; Т_ск - температура воздуха в котельной, °С. <2₄=С_г(Т)Т_г2У_сгА1 потери теплоты с уходящими газами, где Т_г2 — температура газов на выходе из топки источника,

О 3

С; У_сг - объем продуктов сгорания, м /с. 0₅=С_г(Т)Т_вУ_вД( - тепло приносимое в котельную установку за время А1 с воздухом, где С_г(Т) - теплоемкость газов на выходе из топки источника, и воздуха подаваемого в топку источника, Дж/(м³*°С); Т_в - температура воздуха, подаваемого в топку источника, °С; У_в- объем воздуха, подаваемого в топку источника, м /с. д₆=У₁С₂(Т)р2Т_обрА{ - тепло приносимое в источник за время At по теплотрассе обратной подачи из системы теплоснабжения. В итоге уравнение теплового баланса источника будет иметь вид

01= 0г^г-03-04 + 05-02 + 06- , (2.2)

С учетом (2.2) уравнение теплового баланса источника запишется в виде р₂У₂С₂(Т)АТ_к= У_гА( 0_г - ЛЛ(Т_г-Т_ск) АИ8- С_г(Т)Т_г2У_сгА1 + С_г(Т)Т_вУ_в А1-

- У,С₂(Т)р₂Т_к& + У₍С₂(Т)р₂Т_обрА1. (2.3)

Удельная теплоемкость воды, воздуха или металла изменяется в зависимости от температуры, но эти колебания не существенны (изменения значений удельных теплоемкостей не превышает 0.001 на рассматриваемом температурном интервале), поэтому в данном исследовании указанными колебаниями можно пренебречь. В данном случае дифференциальные уравнения, описывающие рассматриваемые теплотехнические процессы будут линеаризованы. В противном случае нужно рассматривать дифференциальные уравнения Бернулли [37].

Для перехода к дифференциальному уравнению разделим слагаемые уравнения (2.3) на р₂У₂С2(Т)Л1 и перейдем к пределу при Д1:-»0. В результате получим

^ = а_хУ_г -а₂(Т_г -Т_ск)- а₃Т_Г2 + сцТ_в - а₅(т_к -Т_обр),   (2.4)

б г   Л_К3_К   С_г(Т_г2)Г_сг   С_Г(Т_В)У_В

где щ =------ —------ , а₀ =--------- —------ , а₃ =   , а₄ = ^

РгУ1Сг(Т_к) ² *_кр₂У₂С₂(Т_к)' РгУ_гС₂(Т_к) Р₂У_гС₂(Т_к)⁹

а - ^У'Р2^С2(Т_К) У₍

^а5 Р2С₂(Т_К)У₂ г₂'

В полученном дифференциальном уравнении (2.4) второе, третье и четвертое слагаемые в правой части уравнения остаются практически неизменными, так как температура газа в топке котла, температура газа на выходе из топки, температура воздуха в котельной и температура воздуха подаваемого в топку при постоянной величине у_г также остаются постоянными. Однако, в правой части (2.4) необходимо выделить слагаемые с величинами Т_к и Т_обр, так как в дальнейшем они либо являются управляемыми параметрами, либо определяются своими уравнениями. Следовательно, дифференциальное уравнение (2.4) можно записать в виде (ХТ

-^ = -а₅Т_к+а₅Т_обр+Ь₁₊а,У_Г, . (2.5)

Ь_х =-а₂(Т_г-Т_ск)-а₃Т_Г2+а₄Т_в.

Решение дифференциального уравнения (2.5) в отрыве от других элементов системы теплового снабжения не представляется возможным, поскольку в нем присутствуют две неизвестные функции Т_кф и Т_обр($. Поэтому, необходимо составление дифференциальных уравнений всех оставшихся элементов системы теплового снабжения (теплотрасса прямой подачи, обогреваемое помещение, теплотрасса обратной подачи) и их совместное решение. Описание процессов теплового обмена в обогреваемом помещении включает в себя два линейных дифференциальных уравнения, рассмотренных в п. 2.2.3.

2.2.2. Дифференциальное уравнение процесса теплового обмена в теплотрассе прямой подачи

В каждый момент времени температура Т_Т внутри сечения теплотрассы успевает выровняться за счет интенсивного переноса теплоты конвекцией и теплопроводностью. Таким образом, значение Т_т в поперечном сечении трубопровода зависит только от времени и не зависит от поперечных координат.

В действительности температура Т_т внутри теплотрассы понижается вдоль ее длины X от значения Т_к в начале до значения Т_т в конце теплотрассы

•3

[81]. При заданном расходе воды V, (м/с), скорость ее движения в теплотрассе 4К

составит м> = -г—(^м/с)> где йц - внутренний диаметр теплотрассы, м (рис. 2.6). \ж1 „]

Тогда время движения некоторого элементарного объема теплоносителя АУ вдоль прямого трубопровода будет равно

(2.6)

№

Очевидно, что реальное изменение температуры вдоль теплотрассы прямой подачи будет равно изменению температуры за время Х₂ в гипотетической теплотрассе, в предположении отсутствия движения теплоносителя в последней. Уравнение теплового баланса при этом имеет вид

ДЯ2 п 0.твх ~ 0,твых ~ 0,7т   (2.7)

где А(2₂„=У_ТрР2С₂(Т)ЛТт - изменение тепловой энергии в теплотрассе прямой подачи, Дж; ()_твх=У^С₂(Т)р2Т_к(() - тепловая энергия, поступающая в теплотрассу из источника за время Д1:; <2_твых=У^С^Т)р₂Т_т - тепловая энергия, отдаваемая за время А1 в теплообменное устройство обогреваемого помещения; <2_7п=аР(Тт-Т_с)А1 — потери тепловой энергии из теплотрассы прямой подачи в окружающую среду.

С учетом (2.7) уравнение теплового баланса для теплотрассы прямой подачи запишется в виде

Ут_рР2С₂,(Т) АТт =УАС₂(Г)р₂Т_кЦ) - УАС₂(Т)р₂Т_т(1) -^(Т_т(0-Т_с)Л, (2.8)
где У_тр - объем теплотрассы прямой подачи, м³; ^ - площадь поверхности теплотрассы, м²; Т_с - температура воздуха в окружающей среде; а - коэффициент теплоотдачи теплотрассы, Вт/°С;

Разделим выражение (2.8) на Л1У_трр₂С₂/Т) и совершим предельный переход при Аг^О. Получим дифференциальное уравнение скорости изменения температуры теплоносителя в теплотрассе прямой подачи

= а₇Т_к- (а₆ + а₁ )Г_Т +а₆Т_с.

(2.9)

В (2.9) а₆ =

Р^грУ^гррС'р(Т'2')   Р'рУррС'р (Т'р )

При заданной длине Ь теплотрассы прямой подачи, внутреннем его диаметре йц, наружном диаметре й₁₂ и диаметре теплотрассы с теплоизоляционным слоем ё₂ имеем (рис. 2.6):

(2.10)

Коэффициент удельной теплоотдачи всей поверхности трубопровода можно рассчитать по формуле [97, 98]

1

(2.11)

I "12

1п—— +

2пЯ_хЬ ?/ц   ?/]2

где Я; и Я₂ - коэффициенты теплопроводности стенки теплотрассы и теплоизоляционного слоя соответственно, Вт/(м°С). Выразив в (2.10) Ь₂= а₆Т_с можно записать

2.2.3. Дифференциальные уравнения процесса теплового обмена в обогреваемом помещении

В рассматриваемой подсистеме (обогреватель, обогреваемое помещение, окружающая среда) процесс теплового обмена можно разделить на две составляющие:

- теплоноситель - радиатор - обогреваемое помещение;

радиатор - обогреваемое помещение - окружающая среда. Уравнения теплового баланса для данной подсистемы запишем в виде: fA?₂/7=O8-?₉-Oi2

{Qu=Qn+Qn

В (2.13) имеют место следующие значения: изменение тепловой энергии в обогревателе AQ2n=V_pp₂C2(T)AT_p, где V_p - объем теплоносителя в теплообменном устройстве, м ; АТ_Р= T_p(t+At)-T_p(t) - изменение температуры обогревателя за время At; тепловая энергия, подаваемая в теплообменное устройство из трубопровода прямой подачи за время At Q8=Vip₂C₂(T)T_m(t)At; тепловая энергия передаваемая в обратный трубопровод за время At Qg=Vtp₂C₂(T)T_p(t)At; тепловая энергия, выделяемая в обогреваемое помещение Qi₂=s₀a₀(T)*(Tp*-T)At, где .s₀ - площадь поверхности обогревателя, м ; а₀(Т) - коэффициент теплоотдачи обогревателя, Вт/(м С); расход энергии на изменение температуры воздуха в обогреваемом помещении Q₁₃=mV„C„(T)AT, где m - коэффициент кратности воздухообмена; V_n - объем воздуха в обогреваемом помещении, м ; С_п(Т) -

•5 А

удельная объемная теплоемкость воздуха, Дж/(м С); AT=T(t+At)-T(t) - изменение температуры воздуха в обогреваемом помещении за время At; потери энергии в окружающую среду с температурой Т_с через ограждающую конструкцию площадью S_cm (м ), толщиной S_cm (м) с коэффициентом теплопроводности X_cm(I) (Вт/(м °С)) составят Q_u = S_cmX_cm(T)(T- T_c)At/8_cm.

Следовательно, тепловой баланс для обогревателя и обогреваемого помещения даст уравнения:

У_рр₂С₂ЬТ_Р=У,р₂С₂(т)Т_т&-У₁р₂С₁{т)т_РА1-₈₍₎сс_{)Т_Р& + ₈ъа₀т

^т+Бс^- < • ^(2Л4)

которые после перехода к пределу дают дифференциальные уравнения:

Ж

= ^{т_т-т_р)-а₉(т_р-т)

?   ,   (2-15)

— = а₁₀(т_р-т)-а_и(т-т_с)

где а - ^?( а - ^^ а - *о^а<№ _а - ^оЛ^) 1де а₈- — ,а₉-   , а₁₀ - _Т/ „ > «и - — „ /~\„ •