Документ: Математические методы и модели в экономике. Амелин С.В, страницы 151-155

разгрузочных операций и т.д.). Считается, что часть расходов, связанная с организацией заказов, зависит не от размера заказа, а от их количества за год.

Расходы по хранению запасов – сложный показатель, так как хранение запасов вызывает не только затраты, связанные с физическим присутствием продукции на складе, но и затраты вследствие вложения средств в запасы (организация хранения, устаревание, порча и др.).

Потери из-за дефицита имеют место в том случае, когда снабженческо-сбытовая организация несет материальную ответственность за то, что не может удовлетворить потребительский спрос из-за отсутствия запасов.

Модель 1. Допустим, фирма должна поставлять своим клиентам S изделий равномерно в течение интервала времени Т. Следовательно, спрос детерминированный. Нехватка товаров не допускается, т.е. штраф при неудовлетворительном спросе бесконечно велик: СН . Переменные затраты складываются из следующих элементов: СХ – стоимость хранения одного изделия в единицу времени; С3 – затраты, связанные с организацией заказа (стоимость заказа).

Необходимо решить, как часто нужно организовывать заказ партий на склад фирмы и каким должен быть размер каждой партии.

150

Если V – размер партии заказа, t3 - интервал времени меж-

ду заказами партий, а S – полный спрос за время Т, то VS –

число партий за время Т и
t3 =	T	=	T V	.	(6.1)
	S / V
			S

Если интервал t3 начинается, когда на складе имеется V изделий и заканчивается при отсутствии изделий, то V/2 – средний запас в течение t3, а затраты на хранение в интервале

t3 составят V/2 CX t3.

Полная стоимость QП создания запасов за время Т равна сумме стоимости хранения и стоимости заказа, умноженных на общее число партий за это время:

V S

QП = ( 2 CX t3 + С3) V ,

подставляя выражение для tZ, получая:

QП = (	V	CX	T V	+ СZ)	S	=	CX TV
	2		S		V		2

			(6.2)
+	C3S	.	(6.3)
+	V	.	(6.3)
	V

С увеличение размера партий первое слагаемое этого выражения вырастает, а второе убывает. Суммируя эти зависимости, можно определить оптимальный размер партии заказа

(рис. 74).

Рис. 74. Определение оптимального размера партии заказа

151

Решение задачи управления запасами состоит в определении такого оптимального размера партии заказа V0, при котором суммарная стоимость была бы наименьшей, т.е. нахождении экстремума функции общих ожидаемых расходов QП.

Продифференцируем последнее выражение по V, полу-

чим

dQП

=

CX T

–

C3S

.

(6.4)

dV

2

V 2

Если вторая производная положительна, то в точке пере-

гиба функция имеет минимум, получим

d 2Q

CX S

П

= 2

> 0,

следовательно,

при V =V0

имеем

V 3

dV 2

минимум функции.

Поскольку в точке экстремума первая производная долж-

на быть равна нулю, то из условия

dQП

= 0 найдем

dV

V0 =

2

SC3

.

(6.5)

TCX

Подставим это выражение в (6.1), получим оптимальное

время между заказами

TV0

t30 =

=

T

2

SC3

=

2

TC3

.

(6.6)

S

TCX

SCX

Точка восстановления запаса (точка заказа)

V

S

,

(6.7)

ТЗ

T

где τ – время выполнения заказа.

Оптимальное число заказов (партий поставок) за период Т

N = S / V (6.8)

Подставим выражение (6.5) в (6.3), получим оптимальную (минимальную) величину затрат

152

C

TV

C3S

C

T

2

SC

C S

Q0 =

X 0

+

=

X

3

+

3

=

2STC C

. (6.9)

2

V0

2

TCX

SC3

X 3

2

TCX

Пример. Фирма должна поставлять своим заказчикам 58000 единиц продукции в год. Поскольку получаемая продукция используется непосредственно на сборочной линии и заказчики не имеют для нее специальных складов, фирмапоставщик должна ежедневно отгружать дневную норму. В случае нарушения поставок фирма-поставщик рискует потерять заказ, поэтому нехватка продукции недопустима и штраф за это можно считать бесконечно большим. Хранение единицы продукции в месяц стоит 3 ден.ед. Стоимость заказа одной партии продукции составляет 420 ден.ед.

Требуется определить оптимальный размер партии заказа V0, оптимальный период времени между заказами t30 и вычислить минимум общих ожидаемых годовых затрат Q0.

В данном случае Т = 12 месяцев, S = 58000 единиц, CX = 3 ден.ед./мес, C3 = 420 ден.ед./партия. Время поставки заказа τ = 3 дн. (0,1 мес.). Подставим эти значения в выражения (6.5) - (6.9):

V0 = 2 58000 420 = 1163 ед., 12 3

t30 =	2	12 420	= 0,24 месяца ≈ 1 нед.,
		58000 3

Vтз = 58000 0,1 / 12 ≈ 483 ед., N = 58000 / 1163 ≈ 50,

Q0 = 2 58000 12 3 420 = 41880 ден.ед./год.

Модель 2. Допустим, что превышение спроса над запасами допускается, т.е. штраф за нехватку продукции конечный. Z0 – оптимальный уровень запасов к началу некоторого интервала времени.

153

Кривая изменения запасов будет иметь вид

Вэтом случае интервал времени t3 может состоять из tX

–времени, когда запас есть, и tH – времени отсутствия запасов. На складе фирмы–поставщика до получения следующей

партии пополнения запасов tX

=

Z

t3

, tH =

V Z

t3 , где Z –

V

уровень запаса к началу периода.

Средний запас в течение tX равен

Z

, затраты на хране-

2

ние за время tX равны

Z

CX tX. Средняя нехватка за время tH

2

равна

V Z

, а штраф за время tH составляет

V Z

CH tH.

2

Полные расходы за время Т равны сумме затрат на

хранение, штрафа за нехватку и стоимости заказа

QП = (

Z

CX tX

+

V Z

CH tH

+ С3)

S

.

(6.10)

2

V

Подставляя сюда значения tX, tH и t3 = TV/S, получая

Z 2C

X

T (V Z )2 C

H

T

C S

QП =

3

.

(6.11)

2V

V

Из уравнения (6.11) можно найти оптимальные значения для V и Z:

154

Материал: Математические методы и модели в экономике. Амелин С.В

Смотрите также: