Материал: mat_an_lektsia_funk_mn_per_1-8

§6. Производные неявно заданной функции

Часто приходится сталкиваться с задачами, когда переменная u; являющаяся по смыслу задачи функцией переменных x1; x2; : : : ; xm, задается посредством функционального уравнения

В этом случае говорят, что функция u задана неявно.

Теорема 6.1 Пусть непрерывная функция u = f(x1; x2; : : : ; xm) неявно задается уравнением (6:1) в некоторой области D Em+1, точка M0(x01; x02; : : : ; x0m; u0) 2 D: В области D

Доказательство. Возьмем произвольную точку M 2 D: Для любой точки M 2 D выполняется равенство F (M) = 0; что следует из уравнения (6.1). Тогда

F = F (M) F (M0) = 0 0 = 0:

Так как для функции F все частные производные непрерывны в области D; то они непрерывны и в точке M0 2 D: Тогда функция F дифференцируема в точке M0 (по теореме о необходимом условии дифференцируемости функции в точке). Тогда, по определению (4.2) полное приращение функции F в точке M0 можно представить в виде

F = A1 x1 + A2 x2 + : : : + Am xm + B u + 1 x1 + 2 x2 + : : : + m xm + u;

0; u = 0: По условию, функция u = f(x1; x2; : : : ; xm) непрерывна, следовательно, u ! 0

при xk ! 0; k = 1; m: Значит, функции 1; 2; : : : ; m; бесконечно малые функции при

xk ! 0; k = 1; m.

Так как F = 0; получим отсюда

m

X

(Ak + k) xk + (B + ) u = 0:

k=1

Так как число B 6= 0; а бесконечно малая функция при xk ! 0; k = 1; m, то можно подобрать xk; k = 1; m так, чтобы B + 6= 0: Поделим это равенство на B + и выразим

u

16

Так как функции 1; 2; : : : ; m; бесконечно малые при xk ! 0; k = 1; m, то величины

являются бесконечно малыми функциями при x1 ! 0; x2 ! 0; : : : ; xm ! 0.

Теперь преобразуем u следующим образом

Так как полное приращение функции u = f(x1; x2; : : : ; xm) представимо в виде (4.2), то функция дифференцируема в точке X0: В теореме о необходимом условии дифференцируемости функции в точке было показано, что

Теорема доказана.

Пример 6.1. Найти производные zx0 и zy0 от функции z(x; y), заданной неявно уравнением

3x4 4y3z + 4z2xy 4z3x + 1 = 0

при x = y = z = 1:

Решение. Обозначим F (x; y; z) = 3x4 4y3z + 4z2xy 4z3x + 1 и вычислим частные производные

17

§7. Частные производные старших порядков функции нескольких

переменных

Пусть функция f(x1; x2; : : : ; xm) определена в области D 2 E2 и в каждой точке этой обла-

сти существует частная производная 1-го порядка @f : Эта производная представляет собой

@xi

функцию переменных x1; x2; : : : ; xm: Если существует частная производная по переменной xk

от частной производной @f ; то она называется частной производной 2-го порядка и обозна-

@xi

чается

При этом, если оба раза дифференцирование велось по одной и той же переменной (k = i), то производная называется повторной, если по разным (k 6= i) смешанной.

Аналогично вводится понятие производной любого порядка. При этом, если каждый раз дифференцирование будет вестись по одной и той же переменной, то получим повторную

производную, иначе смешанную.

вали сначала по переменной z, потом полученное выражение дважды продифференцировали по переменной y; а затем по переменной x:

Пример 7.1. Найти все частные производные 2-го порядка функции

f(x; y; z) = sin(2x + 3y) + 4xz3:

Решение. Вычислим частную производную по x, рассматривая y и z как постоянные,

@f@x = cos(2x + 3y) 2 + 4z3;

18

Заметим, что смешанные производные 2-го порядка, вычисленные по одним и тем же переменным, оказались равны. Однако эти равенства выполняются не для любой функции. Но прежде чем сформулировать соответствующее утверждение, введем понятие n раз дифференцируемой функции. Пусть функция f(x1; x2; : : : ; xm) определена в некоторой окрестности точки X0 и для этой функции в данной окрестности существуют все частные производные

(n 1)-го порядка. Если все частные производные (n 1)-го порядка являются функциями дифференцируемыми в точке X0; то функция f называется n раз дифференцируемой в точке X0: Из теоремы о достаточном условии дифференцируемости функции в точке следует, что для того, чтобы функция f была n раз дифференцируемой в точке X0 достаточно, чтобы все частные производные (n 1)-го порядка были непрерывными в точке X0:

Сформулируем теперь теорему о равенстве смешанных производных, рассмотрев сначала

функцию двух переменных.

Теорема 7.1 Пусть функция f(x; y) определена в некоторой окрестности точки M0 и в этой окрестности существуют производные fx0 ; fy0 ; fxy00 ; fyx00 , причем указанные смешанные производные непрерывны в точке M0: Тогда справедливо равенство

точки M0(x0; y0). Возьмем произвольную точку (x; y) 2 O(M0): Обозначим h = x x0; k = y y0: Пусть для определенности h > 0; k > 0: Введем вспомогательную функцию

'(x) = f(x; y0 + k) f(x; y0): k

Так как по условию в окрестности O(M0) существует частная производная fx0 , то для функции ' на отрезке [x0; x0 + h] существует производная

'0(x) = fx0 (x; y0 + k) fx0 (x; y0): k

И из существования производной функции ' на отрезке [x0; x0 + h] следует непрерывность этой функции на указанном отрезке. Тогда по теореме Лагранжа о конечных приращениях получим

Числитель правой части можно рассматривать как приращение функции fx0 ( ; y) на отрезке

[y0; y0 + k]. И так как по условию для функции f существует смешанная производная fxy00 ; то применяя еще раз теорему Лагранжа о конечных приращениях, получим

19

где 2 [y0; y0 + k]:

Введем теперь вспомогательную функцию

(y) = f(x0 + h; y) f(x0; y): h

Проводя аналогичные рассуждения, получим, что введенную ранее величину W можно представить в виде

W = f00 (e; );

yx e

где e2 [x0; x0 + h]; e 2 [y0; y0 + k]: В итоге, мы пришли к равенству

f00 ( ; ) = f00 (e; ):

xy yx e

Перейдем в этом равенстве к пределу при h ! 0 и k ! 0. Тогда ! x0; e! x0; ! y0; e ! y0

и в силу непрерывности смешанных производных в точке (x0; y0) (по условию) придем к равенству

fxy00 (x0; y0) = fyx00 (x0; y0):

Теорема доказана.

Обобщением этой теоремы является следующая:

Теорема 7.2 Если функция f(x1; x2; : : : ; xm) n раз дифференцируема в точке M0; то в этой точке значение любой смешанной частной производной n-го порядка не зависит от последовательности, в которой производились дифференцирования.

Примечание. Так, например, для некоторой четырежды дифференцируемой в точке M0

функции f(x; y; z) будут справедливы равенства

где все частные производные берутся в точке M0:

20