Материал: mat_an_lektsia_funk_mn_per_1-8

В итоге, последовательность точек Xn сходится к точке A(1; 1) при n ! 1:

Перейдем к понятию предела функции нескольких переменных. Как и в случае функции одной переменной, это будет определение по Гейне и определение по Коши.

Пусть функция определена в некоторой выколотой окрестности точки

f(X) O(A) A:

Число b называется (по Гейне) пределом функции f(X) в точке A, если для любой

сходящейся к точке последовательности точек n соответствующая числовая по-

A X 2 O(A)

следовательность значений функции в этих точках ff(Xn)g1n=1 сходится к числу b:

Число b называется (по Коши) пределом функции f(X) в точке A, если

" > 0 (") > 0 : X (A) f(X) b < ":

8 9 8 2 O ) j j

Обозначение: lim f(X) = b:

X!A

Как и для функции одной переменной, определения предела по Коши и по Гейне эквивалентны.

ДЗ: Выписать определение по Гейне и по Коши для предела функции нескольких переменных в случае, когда: a) X = 1; b) b = 1:

Теорема 2.2 (критерий Коши существования конечного предела функции)

Для того, чтобы функция f(X) имела конечный предел в точке A 2 Em необходимо и достаточно, чтобы выполнялось следующее условие, называемое условием Коши:

Арифметические операции над пределами функции нескольких переменных

Пусть функции f(X) и g(X) имеют в точке A конечные пределы, равные b1 и b2; соответственно. Тогда справедливы следующие равенства

6

§3. Непрерывность функции нескольких переменных

Пусть функция f(X) определена в O(A) некоторой окрестности точки A: Если

lim f(X) = f(A);

X!A

то функция f называется непрерывной в точке A: Если функция непрерывна в каждой точке множества D; то она называется непрерывной на множестве D:

Свойства непрерывных функций нескольких переменных

1. (отделимость от нуля)

Если функция f(X) непрерывна в точке A и f(A) 6= 0; то в некоторой окрестности точки

A функция принимает значения, совпадающие по знаку со знаком числа f(A):

2. (арифметические операции)

Если функции f(X) и g(X) непрерывны в точке A, то в этой точке A непрерывными будут и функции f(X) g(X); f(X) g(X); а также fg((XX)) при дополнительном условии, что g(A) 6= 0:

3. (непрерывность сложной функции)

Пусть функция f(X) = f(x1; x2; : : : ; xm) непрерывна в точке X0(x01; x02; : : : ; x0m); а каждая функция 'k(T ) = '(t1; t2; : : : ; tn) непрерывна в точке T0(t01; t02; : : : ; t0n): Причем x0k = 'k(T0); k = 1; m: Тогда сложная функция

F (T ) = f('1(T ); '2(T ); : : : ; 'm(T )) = f('1(t1; t2; : : : ; tn); '2(t1; t2; : : : ; tn); : : : ; 'm(t1; t2; : : : ; tn))

является непрерывной в точке T0:

4. (о промежуточных значениях)

Пусть функция f(X) непрерывна на связном множестве D Em: Тогда, для любой пары точек A и B из множества D и для любого числа c; заключенного между значениями f(A)

и f(B); найдется точка C 2 D; такая что f(C) = c:

5. (первая теорема Вейерштрасса)

Если функция f(X) непрерывна на компактном множестве D Em; то она ограничена на этом множестве.

6. (вторая теорема Вейерштрасса)

Если функция f(X) непрерывна на компактном множестве D Em; то она достигает на этом множестве своих точных верхней и нижней граней.

7

§4. Производные 1-го порядка функции нескольких переменных

Пусть функция f(x1; x2; :::; xm) определена в некоторой окрестности точки X0(x01; x02; :::; x0m) и X(x01; x02; :::; x0k 1; xk; x0k+1; :::; x0m) точка из этой окрестности. Обозначим xk = xk x0kприращение аргумента xk и kf = f(X) f(X0) частное приращение функции f по

переменной xk: Отношение kf представляет собой функцию от xk, определенную для всех

xk

xk 6= x0k.

Частные производные вычисляются по обычным правилам и формулам дифференциро-

вания (при этом все переменные, кроме xk, рассматриваются как постоянные).

Пример 4.1. Найти все частные производные функции

f(x; y; z) = sin(2x + 3y) + 4xz3:

Решение. Вычислим частную производную по x, рассматривая y и z как постоянные,

Пусть теперь X(x1; x2; : : : ; xm) некоторая точка из окрестности точки X0(x01; x02; : : : ; x0m). Полным приращением f функции f(x1; x2; : : : ; xm) в точке X0, соответствующим приращениям аргументов xk; (k = 1; m); называется разность

f = f(X) f(X0) = f(x1; x2; : : : ; xm) f(x01; x02; : : : ; x0m) =

= f(x01 + x1; x02 + x2; : : : ; x0m + xm) f(x01; x02; : : : ; x0m):

Функция f называется дифференцируемой в точке X0, если в некоторой окрестности этой точки полное приращение функции может быть представлено в одном из двух следую-

1; 2; : : : ; m бесконечно малые при x1 ! 0; x2 ! 0; : : : ; xm ! 0 функции, равные нулю при x1 = x2 = : : : = xm = 0:

Определения (4.1) и (4.2) эквивалентны.

8

Для функции одной переменной необходимым и достаточным условием дифференцируемости функции в точке является существование производной у этой функции в данной точке. Для функции нескольких переменных необходимое условие выглядит аналогично, а именно, справедлива следующая теорема.

Теорема 4.1 (необходимое условие дифференцируемости в точке функции нескольких переменных)

Если функция дифференцируема в точке, то у нее в этой точке существуют частные производные 1-го порядка по всем переменным.

Доказательство. Пусть функция f(X) дифференцируема в точке X0: Тогда, из определения (4.2) имеем

f = A1 x1 + A2 x2 + : : : + Am xm + 1 x1 + 2 x2 + : : : + m xm:

Полагая в этом равенстве x2 = : : : xm = 0; получим, что f = 1f = A1 x1 + 1 x1:

Поделив это равенство на x1 6= 0, переходя к пределу при x1 ! 0 и применяя определение частной производной функции в точке, получим

Здесь мы также воспользовались тем фактом, что A1 константа, а 1 бесконечно малая при x1 ! 0 функция. В итоге доказали, что в точке X0 существует частная производная по переменной x1: Аналогично доказывается существование частных производных по остальным переменным. Кроме того, доказали, что константы A1; A2; : : : ; Am из определения

дифференцируемой в точке X0 функции f равны частным производным первого порядка по

соответствующей переменной, т. е. Ak = @f : Теорема доказана.

@xk X0

В отличие от функции одной переменной существования в точке частных производных 1- го порядка уже недостаточно для дифференцируемости функции в этой точке, понадобится дополнительное условие на эти производные.

Теорема 4.2 (достаточное условие дифференцируемости в точке функции нескольких переменных)

Если в некоторой окрестности точки X0 у функции f(X) существуют все частные производные 1-го порядка, которые непрерывны в самой точке X0, то функция f(X) дифференцируема в точке X0.

Доказательство. Рассмотрим для наглядности вначале функцию двух переменных, которые обозначим x и y. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки X0(x0; y0):

Выберем в этой окрестности произвольную точку X(x; y): Пусть x = x x0; y = y y0:

Рассмотрим теперь полное приращение функции в точке X0

f = f(X) f(X0) = f(x; y) f(x0; y0) = (f(x; y) f(x0; y)) + (f(x0; y) f(x0; y0)) :

9

На разность f(x; y) f(x0; y) можно смотреть как на приращение функции от одной переменной x при фиксированной второй переменной y: По теореме Лагранжа о конечных приращениях эту разность можно записать в виде

f(x; y) f(x0; y) = fx0 ( ; y) (x x0) = fx0 ( ; y) x = fx0 (x0; y0) x + (fx0 ( ; y) fx0 (x0; y0)) x;

где некоторая точка между x и x0.

Аналогично, на разность f(x0; y) f(x0; y0) можно смотреть как на приращение функции от одной переменной y при фиксированной второй переменной x0: Также, по теореме

Лагранжа о конечных приращениях эту разность запишем в виде

f(x0; y) f(x0; y0) = fy0 (x0; ) (y y0) = fy0 (x0; ) y = fy0 (x0; y0) y+ fy0 (x0; ) fy0 (x0; y0) y;

где некоторая точка между y и y0.

и покажем, что 1 и 2 представляют из себя бесконечно малые функции при x ! 0 иy ! 0. Так как точка промежуточная между точками x0 и x = x0 + x; а точка

промежуточная между точками y0 и y = y0 + y; то ! x0, x ! x0, ! y0, y ! y0 при

x ! 0 и y ! 0: По условию теоремы частные производные 1-го порядка непрерывны в точке X0(x0; y0); тогда из определения непрерывности функции в точке имеем, что

fx0 ( ; y) ! fx0 (x0; y0); fy0 (x0; ) ! fy0 (x0; y0) при x ! 0; y ! 0:

Отсюда следует, что 1 и 2 бесконечно малые функции при x ! 0 и y ! 0. Подставим теперь все полученные выражения в полное приращение

f = A1 x + A2 y + 1 x + 2 y

и увидим, что полный дифференциал имеет вид (4.2), следовательно, по определению, функ-

ция f(x; y) дифференцируема в точке X0(x0; y0):

В случае, когда функция зависит от m переменных x1; x2; : : : ; xm, полное приращение этой функции в точке X0(x01; x02; : : : ; x0m) надо представить в виде суммы m слагаемых

где в каждой из скобок разность представляет из себя приращение функции только по одной переменной xk. Применяя далее теорему Лагранжа о конечных приращениях к каждой из скобок и вводя бесконечно малые функции аналогично тому, как это было сделано выше для функции двух переменных, придем в итоге к тому, что теорема верна и для функции m

переменных.

Вспомним далее, что для функции одной переменной из дифференцируемости в точке (или,что то же самое в этом случае, из существования производной в точке) следовало, что функция непрерывна в этой точке. Сформулируем аналогичное утверждение для функции нескольких переменных.

10