Материал: mat_an_lektsia_funk_mn_per_1-8
Теорема 4.3 Если функция f(X) дифференцируема в точке X0, то она в этой точке непрерывна.
Доказательство. Из формулы (4.1) для полного приращения дифференцируемой функции имеем
f(X) f(X0) = f = A1 x1 + A2 x2 + : : : + Am xm + 1 x1 + 2 x2 + : : : + m xm:
Если X ! X0; то x1 ! 0; x2 ! 0; : : : ; xm ! 0, а значит, все бесконечно малые функции k ! 0; k = 1; m: Следовательно, f ! 0 и тогда f(X) ! f(X0); что и означает по определению непрерывность функции в точке X0: Теорема доказана.
Производная сложной функции
Для функции одной переменной была ранее доказана формула для вычисления произ-
водной сложной функции
(f(u(x)))0x = fu0 (u(x)) u0x(x):
Теперь докажем формулу для вычисления производной сложной функции нескольких переменных.
Теорема 4.4 Пусть функция f(x1; x2; : : : ; xm) дифференцируема в точке X0(x01; x02; : : : ; x0m); а каждая из функций xk = 'k(t1; t2; : : : ; tn) дифференцируема в точке T0(t01; t02; : : : ; t0n); причем x0k = 'k(T0): Тогда сложная функция
F (T ) = f('1(T ); '2(T ); : : : ; 'm(T )) = f('1(t1; t2; : : : ; tn); '2(t1; t2; : : : ; tn); : : : ; 'm(t1; t2; : : : ; tn))
является дифференцируемой в точке T0; причем
@F |
|
@f |
|
@'1 |
|
@f |
|
@'2 |
|
|
@f |
|
@'m |
|
|
|
= |
+ |
+ ::: + |
|
; k = 1; n: |
||||||||||||
@tk |
@x1 |
@tk |
@x2 |
@tk |
@xm |
@tk |
||||||||||
В этой формуле все производные по переменной tk вычисляются в точке T0, а производные по переменным x1; x2; : : : ; xm в точке X0:
Доказательство. Придадим переменным t1; t2; : : : ; tn в точке T0(t01; t02; : : : ; t0n) произвольные приращения t1; t2; : : : ; tn: Тогда переменные x1; x2; : : : ; xm получат приращения
x1; x2; : : : ; xm; которым в свою очередь соответствует приращение f: Так как функция f по условию дифференцируема в точке X0; то, согласно определению (4.2), ее полное приращение в этой точке представимо в виде
f = A1 x1 + A2 x2 + : : : + Am xm + 1 x1 + 2 x2 + : : : + m xm;
где Ak = @f ; k = 1; m (что было доказано в теореме о необходимом условии диффе-
@xk X0
ренцируемости функции в точке), 1; 2; : : : ; m бесконечно малые при x1 ! 0; x2 !
0; : : : ; xm ! 0 функции, равные нулю при x1 = x2 = : : : = xm = 0:
11
Каждая из функций xk = 'k(t1; t2; : : : ; tn) дифференцируема по условию в точке T0. Тогда, применяя то же определение (4.2), полное приращение этих функций в этой точке представимо в виде
|
|
x1 = '1 = B11 t1 + B21 t2 + : : : + Bn1 tn + 11 t1 + 21 t2 + : : : + n1 tn; |
||||||||||||||||
|
|
x2 = '2 = B12 t1 + B22 t2 + : : : + Bn2 tn + 12 t1 + 22 t2 + : : : + n2 tn; |
||||||||||||||||
|
|
: : : |
: : : : : |
: |
: : : : : : : |
: : : : |
: : : : : : |
: : : : : : , |
||||||||||
|
|
xm = 'm = Bm t1 |
+ Bm t2 + : : : + Bm tn + m t1 |
+ m t2 |
+ : : : + m tn: |
|||||||||||||
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
n |
1 |
|
2 |
|
|
n |
||||
где |
|
B1k = @t1 |
T0 |
; B2k = @t2 T0 ; : : : ; Bnk |
= @tn T0 ; k = 1; m; |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
@'k |
|
@'k |
|
|
|
@'k |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
k |
k |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; k = 1; m |
|
|
при t1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1 |
; 2 |
; : : : ; n |
бесконечно малые |
! 0; t2 ! 0; : : : ; tn ! 0 функции, |
||||||||||||||
равные нулю при t1 = t2 = : : : = tn = 0:
Подставим эти выражения для xk в формулу полного приращения функции f и преобразуем полученное выражение
f = A1 x1 + A2 x2 + : : : + Am xm + 1 x1 + 2 x2 + : : : + m xm =
=(A1 + 1) x1 + (A2 + 2) x2 + : : : + (A1 + m) xm =
=(A1 + 1) (B11 t1 + B21 t2 + : : : + Bn1 tn + 11 t1 + 21 t2 + : : : + n1 tn)+ +(A2 + 2) (B12 t1 + B22 t2 + : : : + Bn2 tn + 12 t1 + 22 t2 + : : : + n2 tn)+
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
+(Am + m) (B1m t1 + B2m t2 + : : : + Bnm tn + 1m t1 + 2m t2 + : : : + nm tn) = = C1 t1 + C2 t2 + : : : + Cn tn + 1 t1 + 2 t2 + : : : + n tn:
Здесь мы раскрыли скобки, перегруппировали слагаемые и ввели следующие обозначения
C1 = A1B11 + A2B12 + : : : + AmB1m;
C2 = A1B21 + A2B22 + : : : + AmB2m;
: : : : : : : : : : : : : :
Cn = A1Bn1 + A2Bn2 + : : : + AmBnm;
1 = 1B11 + 2B12 + : : : + mB1m + (A1 + 1) 11 + (A1 + 2) 12 + : : : + (Am + m) 1m;2 = 1B21 + 2B22 + : : : + mB2m + (A1 + 1) 21 + (A1 + 2) 22 + : : : + (Am + m) 2m;
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
n = 1Bn1 + 2Bn2 + : : : + mBnm + (A1 + 1) n1 + (A1 + 2) n2 + : : : + (Am + m) nm;
Очевидно, что каждая из величин C1; C2; : : : ; Cn является константой, независящей от
t1; t2; : : : ; tn: Покажем, что величины 1; 2; : : : ; n являются бесконечно малыми при
t1 ! 0; t2 ! 0; : : : ; tn ! 0 функциями. Для этого достаточно показать, что каждая из функций 1; 2; : : : ; m будет стремиться к нулю при t1 ! 0; t2 ! 0; : : : ; tn ! 0.
12
По условию, каждая из функций xk = 'k(T ) дифференцируема в точке T0; а значит, по теореме 4.3 является в этой точке непрерывной, т. е. по определению непрерывной в точке функции
xk = 'k(T ) ! 'k(T0) = x0k при T ! T0; k = 1; m:
Значит, если t1 ! 0; t2 ! 0; : : : ; tn ! 0,то T ! T0, следовательно, xk ! x0k; т. е.
xk ! 0; k = 1; m: Тогда каждая функция k ! 0; так как является бесконечно малой при x1 ! 0; x2 ! 0; : : : ; xm ! 0. В итоге имеем, что 1; 2; : : : ; m являются бесконечно малыми функциями при t1 ! 0; t2 ! 0; : : : ; tn ! 0. А так как каждая функция ki
тоже является бесконечно малой при t1 ! 0; t2 ! 0; : : : ; tn ! 0, то очевидно, что и
1; 2; : : : ; n являются бесконечно малыми при t1 ! 0; t2 ! 0; : : : ; tn ! 0 функциями. Применяя равенство
f = f(X) f(X0) = f(x1; x2; : : : ; xm) f(x01; x02; : : : ; x0m) =
=f('1(T ); '2(T ); : : : ; 'm(T )) f('1(T0); '2(T0); : : : ; 'm(T0)) = F (T ) F (T0) = F
ивыражение, полученное ранее для f, получим
F = f = C1 t1 + C2 t2 + : : : + Cn tn + 1 t1 + 2 t2 + : : : + n tn:
Тогда, по определению (4.2), функция F (T ) дифференцируема в точке T0: Кроме того,
|
@F |
= C1 |
= A1B11 |
+ A2B12 + : : : + AmB1m = |
|
@f |
|
|
@'1 |
|
+ |
@f |
|
@'2 |
|
+ ::: + |
@f |
|
@'m |
; |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
@t1 |
@x1 |
|
@t1 |
@x2 |
|
@t1 |
@xm |
@t1 |
||||||||||||||||
|
@F |
= C2 |
= A1B21 |
+ A2B22 + : : : + AmB2m = |
|
@f |
|
@'1 |
|
+ |
@f |
|
@'2 |
|
+ ::: + |
@f |
|
@'m |
; |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
@t2 |
@x1 |
|
@t2 |
@x2 |
|
@t2 |
@xm |
@t2 |
||||||||||||||||
: : |
: : |
: : : |
: : : : : : : : : : |
: : |
|
|
: |
: |
|
: : : : : |
|
: : : : : : : : |
|||||||||||||
|
@F |
= Cn = A1Bn1 + A2Bn2 + : : : + AmBnm = |
|
@f |
|
@'1 |
+ |
@f |
|
@'2 |
+ ::: + |
@f |
|
@'m |
: |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
@tn |
|
@x1 |
@tn |
@x2 |
|
@tn |
@xm |
@tn |
|
|||||||||||||||
В этой формуле все производные по переменным t1; t2; : : : ; tn |
вычисляются в точке T0, а |
||||||||||||||||||||||||
производные по переменным x1; x2; : : : ; xm в точке X0: Теорема доказана.
В случае, когда каждая из функций 'k зависит только от одной переменной t; то и слож-
ная функция будет F будет зависеть от одной переменной t: В этом случае, вместо частной
производной пишем обычную
dF |
= |
|
@f |
|
d'1 |
+ |
@f |
|
d'2 |
+ ::: + |
|
@f |
|
d'm |
: |
dt |
@x1 |
dt |
@x2 |
dt |
@xm |
dt |
|||||||||
13
§5. Производная по направлению. Градиент функции
Пусть функция f(x; y; z) определена в некоторой окрестности точки M0(x0; y0; z0): Проведем
через эту точку некоторую ось |
L |
eL |
= |
f |
cos ; cos ; cos |
g орт этой оси, |
|
. Пусть вектор ! |
|
|
т. е. вектор единичной длины, сонаправленный с осью. Запишем параметрическое уравнение
прямой , проходящей через точку параллельно вектору !
L M0 eL
8
> x = x0 + t cos ;
>
<
y = y0 + t cos ;
>
>
: z = z0 + t cos ;
Очевидно, что в точку M0 попадаем при t = 0:
Рассматривая значения функции f только в точках прямой L; получим сложную функ-
цию
F (t) = f(x(t); y(t); z(t)):
Если функция f(x; y; z) дифференцируема в точке M0; то по формуле для производной слож-
ной функции получим
dFdt = @f@x dxdt + @f@y dydt + @f@z dzdt = @f@x cos + @f@y cos + @f@z cos ;
здесь частные производные функции f вычислены в точке M0: Производная, вычисленная
по этой формуле, называется производной функции |
f |
по направлению вектора |
eL |
||||||||||
|
|
! или |
|||||||||||
оси L и обозначается |
@f |
или @f |
. Таким образом, по определению |
|
|||||||||
! |
|
||||||||||||
|
@eL |
|
|
@L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@f |
@f |
@f |
@f |
|
||||||
|
|
|
|
= |
|
cos + |
|
cos + |
|
|
cos : |
|
|
|
|
|
@L |
@x |
@y |
@z |
|
||||||
no
Вектор @f@x ; @f@y ; @f@z называется градиентом функции f(x; y; z) и обозначается rf или gradf.
Используя введенные обозначения и формулу для вычисления скалярного произведения
векторов в координатах, можем записать производную по направлению следующим образом
|
|
|
|
|
|
@f |
= eL |
|
|
f: |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
@L |
! r |
|
|
|
|
||||||
|
Если вычислить это же скалярное произведение по определению |
|
||||||||||||||
|
|
|
@f |
|
= |
eL |
|
|
f |
j |
cos '; |
|
|
|||
|
|
|
@L |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
j!j jr |
|
|
|
|
|||||||
где |
' |
eL |
f; |
|
|
|
|
|
|
|
eL |
= 1; |
а косинус по модулю |
|||
|
угол между векторами ! и r |
|
|
то с учетом того, что j!j |
|
|||||||||||
не превосходит единицы, получим, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
jrfj |
@f |
jrfj: |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
@L |
|
|
|||||||||||
Отсюда видим, что максимальное значение, равное jrfj; производная по направлению при-
нимает тогда, когда |
cos ' = 1; |
т. е. вектор |
eL |
||||
|
|
|
! сонаправлен с вектором градиента, а минималь- |
||||
ное когда r |
f |
eL |
: |
То есть вектор градиента направлен в сторону максимального роста |
|||
|
"# ! |
|
|||||
функции f:
14
В случае, когда функция зависит от двух переменных x и y градиентом функции является
вектор r |
f = |
@f |
; @f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
eL |
= |
f |
cos ; sin |
g. Тогда |
|
||||||||||
|
@x |
@y , координаты орта можно записать в виде |
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
производная поn |
направлениюo |
этого вектора равна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
@f |
@f |
@f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
cos + |
|
sin : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
@L |
@x |
@y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Для функции f(x1; x2; : : : ; xm) градиентом функции является вектор rf = |
|
@f |
|
@f |
@f |
. |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
; |
|
; : : : |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
@x1 |
@x2 |
@xm |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
L |
= |
|
cos |
|
; cos ; : : : ; cos |
mo |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
1 |
|
n |
2 |
|
|
|
|
|||||||
Единичный вектор, задающий направление, записывается в виде ! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g. |
||||||||||||||||||||
Тогда производная по направлению этого вектора равна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
@f |
|
@f |
|
|
|
|
|
@f |
|
|
@f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
= |
|
cos 1 |
+ |
|
cos 2 + : : : + |
|
cos m: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
@L |
@x1 |
@x2 |
@xm |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Пример 5.1. Найти градиент функции f(x; y; z) = x2y cos(2z + 10) в точке M0( 1; 2; 5):
Решение. Вычислим частные производные функции f в точке M0
@f@x = 2xy cos(2z + 10)
@f@y = x2 cos(2z + 10)
@f@z = 2x2y sin(2z + 10)
@f
) = 2 ( 1) 2 cos 0 = 4; @x M0
@f
) = ( 1)2 cos 0 = 1; @y M0
@f
) = 2 ( 1)2 2 sin 0 = 0: @x M0
В итоге, градиент функции f в точке M0 равен |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
rfjM0 = f4; 1; 0g: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
равна |
|
|
|
|
|
|
= p |
|
: |
||||
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
= |
( 4)2 |
+ 12 + 02 |
17 |
|||||||
Производная функции |
|
по направлению градиента |
|
2 |
|
|
jr |
|
j |
p |
|
|
|
|
|
|||||||
Пример 5.2. Найти производную функции f(x; y; z) = x |
|
y cos(2z +10) в точке M0( 1; 2; 5) |
||||||||||||||||||||
|
|
a |
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
по направлению вектора ! = f2; 1; 2g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Найдем орт вектора ! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
! |
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
a = |
a |
= |
|
a |
|
|
|
|
|
= |
a |
: |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2 2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
! |
! |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
j!j p( 2) + 1 + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда, зная координаты градиента функции f в точке M0 (из предыдущей задачи), вычислим
производную по направлению вектора ! a
@ |
! M0 |
|
|
r j |
|
3 |
f |
g |
3 |
|
|
|||
@f |
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
= e |
! |
f |
M0 |
= |
! |
|
4; 1; 0 = |
( 2 ( 4) + 1 1 + 2 0) = 3: |
|||
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
a |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как производная функции в точке по направлению вектора ! положительна, то f M0 a
функция возрастает в этой точке в этом направлении.
15