Материал: maple

Методы решения математических задач в Maple

> Limit(x*(Pi/2+arctan(x)),x=-infinity)=

limit(x*(Pi/2+arctan(x)), x=-infinity);

Односторонние пределы вычисляются с указанием параметров: left – для нахождения предела слева и righ – справа. Например:

> Limit(1/(1+exp(1/x)),x=0,left)= limit(1/(1+exp(1/x)),x=0,left);

1 + e x

> Limit(1/(1+exp(1/x)),x=0,right)= limit(1/(1+exp(1/x)), x=0,right);

1 + e x

Задание 1.

41

Методы решения математических задач в Maple

§2. Дифференцирование

Вычисление производных.

Для вычисления производных в Maple имеются две команды:

1)прямого исполнения – diff(f,x), где f – функция, которую следует продифференцировать, x – имя переменной, по которой производится дифференцирование.

2)отложенного исполнения – Diff(f,x), где параметры

команды такие же, как и в предыдущей. Действие этой команды сводится к аналитической записи производной в виде ∂∂x f ( x) . После

выполнения дифференцирования, полученное выражение желательно упростить. Для этого следует использовать команды simplify factor или expand, в зависимости от того, в каком виде вам нужен результат.

Пример:

> Diff(sin(x^2),x)=diff(sin(x^2),x);

∂∂x sin(x2 ) = 2cos(x2 )x

Для вычисления производных старших порядков следует указать

впараметрах x$n, где n – порядок производной; например:

>Diff(cos(2*x)^2,x$4)=diff(cos(2*x)^2,x$4);

∂4 cos(2x)2 = −128sin(2x)2 +128cos(2x)2

∂x4

Полученное выражение можно упростить двумя способами: > simplify(%);

∂4 cos(2x)2 = 256cos(2x)2 −128

∂x4

> combine(%);

Дифференциальный оператор.

Для определения дифференциального оператора используется команда D(f) – f-функция. Например:

> D(sin);

cos

Вычисление производной в точке:

42

Методы решения математических задач в Maple

> D(sin)(Pi):eval(%);

-1

Оператор дифференцирования применяется к функциональным операторам

>f:=x-> ln(x^2)+exp(3*x):

>D(f);

x→ 2 1x + 3e(3x)

>Diff(exp(x)*(x^2-1),x$24)= diff(exp(x)*(x^2-1),x$24):

>collect(%,exp(x));

∂24 ex (x2 −1) = ex (x2 + 48x + 551)

∂x24

3.Вычислить вторую производную функции y = sin2 x /(2 +sin x) в точках x=π/2, x=π.

>y:=sin(x)^2/(2+sin(x)): d2:=diff(y,x$2):

>x:=Pi; d2y(x)=d2;

x:=π d2y(π)=1 > x:=Pi/2;d2y(x)=d2;

§3. Исследование функции

Исследование функции необходимо начинать с нахождения ее области определения, но, к сожалению, это трудно автоматизируемая операция. Поэтому при рассмотрении этого вопроса приходится

43

Методы решения математических задач в Maple

решать неравенства (см. тему II). Однако, ответить на вопрос, определена ли функция на всей числовой оси, или нет, можно исследовав ее на непрерывность.

Непрерывность функции и точки разрыва.

Проверить непрерывность функции f(x) на заданном промежутке [x1,x2] можно с помощью команды iscont(f,x=x1..x2). Если функция f непрерывна на этом интервале, то в поле вывода появится ответ true – (истина); если функция f не является непрерывной на этом интервале, то в поле вывода появится ответ false – (ложь). В частности, если задать интервал x=-infinity..+infinity, то функция f будет проверяться на всей числовой оси. В этом случае, если будет получен ответ true, то можно сказать, что функция определена и непрерывна на всей числовой оси. В противном случае следует искать точки разрыва. Это можно сделать двумя способами:

1)с помощью команды discont(f,x), где f – функция, исследуемая на непрерывность, x – переменная. Эта команда пригодна для нахождения точки разрыва первого и второго родов.

2)с помощью команды singular(f,x), где f – функция, x – переменная. Эта команда годится для нахождения точек разрыва второго рода как для вещественных значений переменной, так и для комплексных.

Перед использованием этих команд их следует обязательно

загрузить из стандартной библиотеки readlib(name), где name – имя любой из указанных выше команд.

Обе эти команды выдают результаты в виде перечисления точек разрыва в фигурных скобках. Тип такой записи называется set. Для того, чтобы в дальнейшем можно было использовать полученные значения точек разрыва, следует из типа set с помощью команды convert перевести их в обычный числовой тип.

Задание 3.1.

1

1.Найдите точки разрыва функции y = e x +3

>readlib(iscont): readlib(discont):

>iscont(exp(1/(x+3)),x=-infinity..+infinity);

false

Это означает, что функция не является непрерывной. Поэтому следует найти точки разрыва с помощью команды:

> discont(exp(1/(x+3)),x);

44

Методы решения математических задач в Maple

{-3}

Ответ наберите в текстовом режиме в новой строке: “Точка разрыва x=−3.”

>readlib(singular):

>iscont(tan(x/(2-x)),x=-infinity..infinity);

false

> singular(tan(x/(2-x)),x);

Здесь _N – целые числа. Ответ наберите в текстовом режиме в новой строке:

“Точки разрыва: x=2 и x=2π(2n+1)/(π(2n+1)-2).”

Экстремумы. Наибольшее и наименьшее значение функции.

В Maple для исследования функции на экстремум имеется команда extrema(f,{cond},x,’s’) , где f - функция,

экстремумы которой ищутся, в фигурных скобках {cond} указываются ограничения для переменной, х – имя переменной, по которой ищется экстремум, в апострофах ’s’ – указывается имя переменной, которой будет присвоена координата точки экстремума. Если оставить пустыми фигурные скобки {}, то поиск экстремумов будет производиться на всей числовой оси. Результат действия этой команды относится к типу set. Пример:

>readlib(extrema):

>extrema(arctan(x)-ln(1+x^2)/2,{},x,’x0’);x0;

{π4 − 12 ln(2)} {{x=1}}

Впервой строке вывода приводится экстремум функции, а во второй строке вывода – точка этого экстремума.

К сожалению, эта команда не может дать ответ на вопрос, какая из точек экстремума есть максимум, а какая – минимум. Для нахождения максимума функции f(x) по переменной х на интервале

x [x1, x2] используется команда maximize(f,x,x=x1..x2), а

для нахождения минимума функции f(x) по переменной х на интервале x [x1, x2] используется команда minimize(f, x, x=x1..x2).

Если после переменной указать ’infinity’ или интервал

45