Материал: maple

Методы решения математических задач в Maple

Получить первые n членов ряда Фурье можно с помощью следующей процедуры:

>fourierseries:=proc(f,x,x1,x2,n) local k, l, a, b, s;

>l:=(x2-x1)/2;

>a[0]:=int(f,x=x1..x2)/l;

>a[k]:=int(f*cos(k*Pi*x/l),x=x1..x2)/l;

>b[k]:=int(f*sin(k*Pi*x/l),x=x1..x2)/l;

>s:=a[0]/2+sum(a[k]*cos(k*Pi*x/l)+ b[k]*sin(k*Pi*x/l), k=1..n);

>end;

Порядок обращения к этой процедуре такой: fourierseries(f,x,x1,x2,n), где f – имя функции, разложение которой требуется найти, где х – имя независимой переменной, где х1, x2 – интервал разложения, где n – число членов ряда.

Задание 4.3.

1. Разложить в ряд Фурье функцию f(x)=x/2 с периодом 2π на интервале [0; 2π], удерживая 6 членов ряда. Построить на одном рисунке графики функции и ее n-частичной суммы ряда Фурье.

Сначала полностью наберите процедуру fourierseries, предложенную выше в теоретической части.

>f:=x/2:x1:=0:x2:=2*Pi:

>fr:=fourierseries(f,x,x1,x2,6);

fr := 12 π −sin(x) − 12 sin(2x) − 13 sin(3x) − 14 sin(4x) − 15 sin(5x) − 16 sin(6x)

>plot({fr,f}, x=x1..x2, color=[blue,black], thickness=2, linestyle=[3,1]]);

106

Методы решения математических задач в Maple

Пунктирной линией изображен график n-частичной суммы ряда Фурье, а сплошной – самой функции. По виду n-частичной суммы ряда Фурье в данном примере легко установить общий вид этого ряда:

периодом 2π на интервале [π;−π], удерживая 2, 4 и 8 членов ряда. Построить на одном рисунке графики функции и ее n-частичных сумм ряда Фурье.

>f:=exp(-x);x1:=-Pi;x2:=Pi:

>fr1:=fourierseries(f,x,x1,x2,2):

>fr2:=fourierseries(f,x,x1,x2,4):

>fr3:=fourierseries(f,x,x1,x2,8):

>plot({f,fr1,fr2,fr3},x=x1..x2,color=[black, blue, green, red], thickness=2, linestyle= [1,3,2,2]);

Сплошной линией изображен график функции, пунктирными – графики n-частичных сумм ряда Фурье. Видно, что чем больше слагаемых ряда удерживать, тем ближе расположен график суммы ряда к графику самой функции.

107

Методы решения математических задач в Maple

§5. Интегральные преобразования

В Maple имеется пакет inttrans, в котором содержатся команды различных интегральных преобразований.

Преобразование Фурье.

Прямое преобразование Фурье функции f(x) вычисляется по формуле

∞

F(k) = ∫f (x)e−ikxdx .

−∞

В Maple оно может быть найдено командой fourier(f(x),x,k), где x − переменная, по которой производится преобразование, k − имя переменной, которое следует присвоить параметру преобразования.

Обратное преобразование Фурье задается формулой

∞

f (x) = 21π −∫∞F (k)eikxdk

и вычисляется командой invfourier(F(k),k,x).

Описанное выше прямое и обратное преобразования Фурье называются комплексными и применяются в тех случаях, когда функция f(x) задана на всей числовой оси. Если функция f(x) задана только при х>0, то рекомендуется использовать синус- и косинуспреобразования Фурье.

Прямое и обратное синус-преобразования Фурье функции f(x) определяются формулами

Поскольку формулы синус-преобразования Фурье симметричны относительно замены x на k, то в Maple эти преобразования вычисляются одной командой, но с различным порядком указания параметров: fouriersin(f(x),x,k) − вычисляет прямое синуспреобразование Фурье; fouriersin(F(k),k,x) − вычисляет обратное синус-преобразование Фурье.

Аналогично, прямое и обратное косинус-преобразования Фурье функции f(x) определяются формулами

108

Методы решения математических задач в Maple

fourierсоs(f(x),x,k) − вычисляет прямое косинуспреобразование Фурье; fourierсоs(F(k),k,x) − вычисляет обратное косинус-преобразование Фурье.

Задание 5.1.

1.Для функции f (x) = e−a x , a > 0 найти преобразование Фурье.

>restart:with(inttrans): assume(a>0):

>fourier(exp(-a*abs(x)),x,k);

> invfourier(1/(k^2-a^2),k,x);

После обратного преобразования Фурье результат часто содержит специальные функции (см. Лабораторную работу №1). В данном примере в строке вывода появилась функция Хевисайда:

1, x > 0 Heaviside(x)=

0, x < 0

Результат выполнения обратного преобразования Фурье может иметь более компактный вид после применения команды convert(%,trig).

>convert(%,trig);

−1 (Heaviside(x) − Heaviside(−x)) sin(a ~ x) 2 a ~

3. Для функции f (x) = e−ax sinbx , a>0 найти синус- и косинуспреобразования Фурье.

>f:=exp(-a*x)*sin(b*x):

>fouriercos(f,x,k);

109

Методы решения математических задач в Maple

π

> fouriercos(f,x,k);

Преобразование Лапласа.

Преобразование Лапласа функции f(x) (если оно существует) вычисляется по формуле:

∞

F( p) = ∫ f (x)e− pxdx .

0

Получаемая функция F(p) называется изображением.

В Maple это преобразование вычисляется командой laplace(f(x),x,p) , где x − переменная, по которой производится преобразование, p − имя переменной, которое следует присвоить параметру преобразования.

Обратное преобразование Лапласа (называется оригиналом) вычисляется по формуле:

Оригинал f(x) (если он существует) может быть найден по изображению F(p) командой invlaplace(F(p),p,x).

Задание 5.2.

1. Найти изображение функции f (x) = cos axshbx .

>restart:with(inttrans):

>F(p)=laplace(cos(a*x)*sinh(b*x), x, p);

> assume(a>0): invlaplace(1/(p^2+2*a*p),p,x):

110