Материал: Лекция 10
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= | |
|
− |
|
| = ‖ |
|
|
|
|
‖ = | |′. |
||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||||||||||
Определение . Определитель = | |
|
| называется функциональным определителем или якобианом |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
функций (, ) и (, ). |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Другая форма записи якобиана: ( , )( , ) = .
Переходя к пределу при ′ → 0 в равенстве (*), получим, что
| | = |
|
|
, |
|
′→0 |
′ |
|
то есть модуль якобиана есть предел отношения площадей бесконечно малых площадок и ′.
Пусть в области задана непрерывная функция = (, ), каждому значению которой соответствует то же самое значение функции = (, ) в области ′, где
(, ) = ((, ), (, )).
Рассмотрим интегральную сумму
∑ (, ) = ∑ (, ) ≈≈ ∑ (, )| |′,
16
где интегральная сумма справа берется по области ′ (здесь = , ′ = ). Переходя к пределу при ′ → 0, получим формулу преобразования координат в двойном интеграле:
(, ) = (, )| |.
|
′ |
Найдем значение Якобиана, при переходе от декартовых координат к полярным
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
( ) |
|
||||||
|
|
|
|
|
| = | |
|
| = | |
|
|
|
|
|
|||||||
= | |
|
|
|
|
|
| = |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
( ) |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= | |
|
|
|
| = |
=> |
|
|
= |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
(, ) = (, )
|
|
1 |
1 |
17
Пример 3. Выведем с использованием двойного интеграла формулу для площади круга радиуса с
центром в начале координат:
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
| ) = |
|
= ∫ |
|
∫ = ∫ |
( |
|
||||||
|
2 |
|||||||||
|
|
0 |
|
|
0 |
0 |
|
0 |
||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2 |
2 |
2 |
2 = 2. |
|
|
|
|
|
= |
|
|
∫ = |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||
Пример 4.
Вычислим, используя полярные координаты, двойной интеграл
= (2 + 3) ,
где – часть кругового сектора единичного радиуса с центром в начале координат, расположенная в 1-м квадранте.
=
Заданный интеграл в полярных координатах { = по указанной
0 ≤ ≤ 1
области : {0 ≤ ≤ 2 имеет вид:
18
|
|
1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
= ∫2 ∫ (2 + 3 3 ) = |
||||||||
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
5 |
|
|
||
2 |
3|1 |
2 |
|1 |
2 = |
||||
= ∫ |
|
|
− ∫ |
|
||||
3 |
5 |
|||||||
0 |
0 |
0 |
0 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||
21 2
=|2 − ∫ (1 − 2 ) =
30 5 0
|
2 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
1 |
|
1 |
|
4 |
|
= |
− |
|2 |
+ |
3 |2 |
= |
+ |
− |
= |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
3 |
|
5 |
0 |
|
15 |
0 |
3 |
5 |
|
15 |
5 |
|||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
19
Тройной интеграл
Понятие тройного интеграла вводится по аналогии с двойным интегралом.
Пусть в пространстве задана некоторая область , ограниченная замкнутой поверхностью . Зададим в этой замкнутой области непрерывную функцию (, , ). Затем разобьем область на произвольные части , считая объем каждой части равным , и составим интегральную сумму вида
∑ ( ) ,
где точка принадлежит . Пусть – наибольшее расстояние между двумя точками любой части области . Найдем предел интегральной суммы при неограниченном увеличении числа элементов разбиения при условии, что каждый элементарный объем стягивается в точку, т. е. максимальный диаметр каждой подобласти стремится к нулю.
Определение . Предел при → 0 интегральных сумм, не зависящий от способа разбиения области и выбора точек в каждой подобласти этой области, называется тройным интегралом от функции
(, , ) по области :
(, , ) = ∑ ( ) |
||
|
→0 |
|
|
||
|
||
Замечание. Все сформулированные ранее свойства двойного интеграла распространяются на тройной интеграл.
20