Материал: Лекция 10
5.Если функция (, ) интегрируема в области , то функция | (, )| также интегрируема в и имеет место неравенство
| (, ) | ≤ | (, )|
|
|
Доказательство: учитывая, что
|∑ ( ) | ≤ ∑| ( )| ,
|
|
откуда с помощью предельного перехода при → 0 получаем нужное неравенство
6.Площадь области можно найти по формуле
= , где – площадь области .
Доказательство: этого утверждения получим, подставляя в интегральную сумму (, ) ≡ 1.
7.(Теорема об оценки интеграла) Если интегрируемая в области функция (, ) удовлетворяет неравенству ≤ (, ) ≤ , то
6
≤ (, ) < .
Доказательство: проводится предельным переходом из очевидного неравенства
|
= ∑ |
≤ ∑ ( ) |
≤ ∑ |
= . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8.(Теорема о среднем) Если функция (, ) |
непрерывна в замкнутой области , то в этой области |
|||||
существует такая точка (0, 0), что |
|
|
|
|
||
|
1 |
(, ) = ( , |
), |
или = (, ) = ( , |
) , |
|
|
|
|||||
|
|
0 0 |
0 0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Геометрический смысл теоремы о среднем.
Теорема о среднем имеет простой геометрический смысл: существует точка 0 = (0, 0) такая, что объем «цилиндрического тела » равна объему цилиндра с площадью основания
= и имеющего высоту ( 0)
7
Вычисление двойного интеграла
путем сведения его к повторному интегрированию |
|
|
Определение. Пусть замкнутая конечная область |
проектируется на отрезок [, ] |
оси . Область |
называется простой в направлении оси , если всякая прямая параллельная оси |
, проходящая |
|
внутри отрезка [, ], пересекает границу области только в двух точках. |
|
|
Определение.Область называется простой в направлении оси , если всякая прямая параллельная оси, проходящая внутри отрезка [, ], пересекает границу области только в двух точках.
8
Рассмотрим область , ограниченную графиками непрерывных функций = 1( ), = 2( ) (1( ) ≤ 2( )), определенных на отрезке [, ] и прямыми = и =
Теорема. Если функция (, ) непрерывна в простой в направлении оси области , то
Вэтом случае двойной интеграл вычисляется по формуле
2( )
(, ) = ∫ ( |
∫ (, )) , |
|
|
|
1( ) |
т. е. сводится к последовательному вычислению определенных интегралов, или, как говорят, к повторному
интегрированию.
Традиционно выражение справа записывают так
|
2( ) |
|
2( ) |
∫ ( |
∫ |
(, )) = ∫ |
∫ (, ) |
|
1( ) |
|
1( ) |
Если область можно разбить линиями на конечное число подобластей, каждая из которых является простой, то используя свойство 4 двойного интеграла, мы снова сводим его вычисление к повторному интегрированию.
9
Пример 1.
Вычислим двойной интеграл от функции ( , ) = + по области, представляющей собой треугольник с вершинами в точках (0,0), (0,1) и (1,0)
Здесь = 0, = 1, 1( ) = 0, 2( ) = 1 − .
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1− |
|||
Тогда ( , ) = ∫ ∫ ( + ) = |
|||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1− |
|
||||||
= ∫ ( + |
|
|
| |
|
|
|
) = |
||||||||
2 |
|
|
|
||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
|
|
|
(1 − )2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
||
∫ ( (1 − ) + |
|
) = |
∫(1 − 2) = |
||||||||||||
|
|
2 |
|||||||||||||
0 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= |
1 |
|
( − |
) |1 |
= |
|
1 |
|
|
|
|
||||
2 |
|
3 |
3 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||
Теорема. Если функция ( , ) непрерывна в простой в направлении оси области , то
Вэтом случае двойной интеграл вычисляется по формуле
2( )
( , ) = = ∫ |
∫ ( , ) , |
|
|
|
1( ) |
т. е. сводится к последовательному вычислению определенных интегралов, или, как говорят, к повторному
интегрированию.
10