Материал: Лекция 10
Двойной интеграл
К понятию определенного интеграла приводит, в частности, задача о вычислении площади криволинейной трапеции. Задача о вычислении объема «криволинейного параллелепипеда» приводит к понятию двойного интеграла. Приведем точные определения.
Рассмотрим в плоскости ограниченную замкнутую область с границей . Разобьем эту область какими-нибудь линиями на частей 1, 2, . . . , (теми же символами 1, 2, . . . , будем обозначать и площади соответствующих частей). Наибольшие расстояния между точками в каждой из этих
частей обозначим |
, |
. . . , |
|
. Величину |
называют диаметром подобласти . Выберем в каждой |
|||||||
|
1 |
2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
части |
точку |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть в области задана функция двух переменных = (, ). Обозначим |
|||||||||
|
|
|
через ( ), ( |
), . . . , ( ) значения этой функции в выбранных точках и |
||||||||
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
составим следующую сумму: |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∑ ( ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение . |
|
Сумма вида |
|
= ∑ ( ) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1
называется интегральной суммой для функции (, ) в области .
1
Замечание. С геометрической точки зрения (при (, ) ≥ 0) интегральная сумма представляет собой сумму объемов цилиндров с основаниями и высотами ( ).
Определение 2. Если существует предел интегральных сумм при → ∞ и → 0, не зависящий ни от способа разбиения области на части, ни от выбора точек в них, то он называется
двойным интегралом от функции (, ) по области и обозначается
(, ) = |
|
∑ ( ) . |
|
|
→0 |
|
|
|
|
=1 |
|
|
→∞ |
|
|
для разбиения
В этом случае говорят, что функция (, ) интегрируема в области .
Теорема. Если функция непрерывна в ограниченной замкнутой области , то она интегрируема в этой
области.
2
Рассмотрим тело , ограниченное частью поверхности, задаваемой графиком функции = (, ),
проекцией этого графика на плоскость и боковой цилиндрической поверхностью, полученной из вертикальных образующих, соединяющих точки границы поверхности с их проекциями (это то тело,
которое часто называют «цилиндрическим телом»).
Объем этого тела есть, очевидно, предел суммы объемов цилиндров, основаниями которых являются части
области , а высотами – отрезки длиной ( ), где точки принадлежат . Другими словами,
переходя к пределу при → 0, получим, что
= |
|
∑ ( ) . = (, ) |
|
|
→0 |
|
|
|
|
=1 |
|
|
→∞ |
|
|
для разбиения
о есть двойной интеграл представляет собой объем тела .
3
Свойства двойных интегралов
Свойства двойного интеграла непосредственно вытекают из его определения или из свойство пределов :
1. Линейность интеграла Если функция (, ) интегрируема в , то функция (, ), где = ,
тоже интегрируема в этой области и при этом
(, ) = (, )
|
|
2. Линейность интеграла Если в области интегрируемы функции (, ) и (, ),
то в этой области интегрируемы и функции (, ) ± (, ), и при этом
((, ) ± (, )) = (, ) ± (, )
|
|
|
4
3. Монотонность интеграла. Если для интегрируемых в области функций (, ) и (, ) выполняется неравенство (, ) ≤ (, ) для всех (, ) из , то
(, ) ≤ (, )
|
|
4. Аддитивность интеграла. Если область разбита на две области 1 и 2 без общих внутренних точек
ифункция (, ) интегрируема в области , то
(, ) = (, ) + (, )
1 2
Доказательство: интегральную сумму по области можно представить в виде:
∑ ( ) |
= ∑ ( ) |
+ ∑ ( ) , |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
где разбиение области проведено так, что граница между 1 и 2 состоит из границ частей разбиения.
Переходя затем к пределу при → 0, получим требуемое равенство.
5