Материал: Лекция 10
Теорема. Если функция (, ) непрерывна в простой в направлении оси и оси области , то В этом случае двойной интеграл вычисляется по формуле
|
|
2( ) |
|
2( ) |
(, ) = ∫ |
∫ |
(, ) = ∫ |
∫ (, ) |
|
|
|
1( ) |
|
1( ) |
11
Пример 2. Расставить двумя способами пределы интегрирования в двойном й интеграле от функции
(, )по области |
, |
если область ограниченна прямыми |
= 0 и = 0 |
и = 1 |
и = 2 − |
|||
|
|
|
= 2( ) |
|
|
= 2( ) |
|
|
|
(, ) = ∫ |
∫ |
(, ) = ∫ |
∫ |
(, ) |
|||
|
|
|
= 1( ) |
|
|
= 1( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
=2− |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
=2− |
|
|
||||
(, ) = |
∫ |
∫ |
( |
|
+ |
|
) |
+ |
∫ |
|
|
∫ |
( |
|
+ |
|
) |
= |
∫ |
|
|
∫ |
( |
|
+ |
|
) |
||
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
12
Вычисление двойного интеграла в полярных координатах
Введем на плоскости криволинейную систему координат, называемую полярной. Она состоит из точки
(полюса) и выходящего из него луча (полярной оси). Координатами точки в этой система будут длина отрезка – полярный радиус и угол между и полярной осью: (, ). Отметим, что для всех точек плоскости, кроме полюса,
> 0, а полярный угол будем считать положительным при измерении его в направлении против часовой стрелки и отрицательным – при измерении в противоположном направлении.
Замечание. |
Если |
ограничить |
значения |
|
интервалом |
[0,2) или [− ,), |
,то каждой точке плоскости |
соответствует |
|||
единственная пара координат (, ). В других случаях можно считать,
что может принимать любые значения, то есть полярный угол определяется с точностью до слагаемого, кратного 2 .
Связь между полярными и декартовыми координатами точки можно задать, если совместить начало декартовой системы координат с полюсом, а положительную полуось – с полярной осью
Тогда = , = . Отсюда = √2 + 2, = .
13
Определение Правильной областью в полярных координатах назовем такую область, границу которой
каждый луч, выходящий из полюса, пересекает не более, чем в двух точках
Якобиан и его геометрический смысл
Рассмотрим общий случай замены переменных в двойном интеграле. Пусть в плоскости дана область , ограниченная линией . Предположим, что и являются однозначными и непрерывно дифференцируемыми функциями новых переменных и :
= (, ), = (, ).
Рассмотрим прямоугольную систему координат , точка ′(, ) которой соответствует точке (, ) из области . Все такие точки образуют в плоскости область ′, ограниченную линией ′. Функции= (, ), = (, ) устанавливают взаимно однозначное соответствие между точками областей и ′. При этом линиям = и = в плоскости будут соответствовать некоторые линии в плоскости .
Рассмотрим в плоскости прямоугольную площадку ′, ограниченную прямыми = , + = , = и + = . Ей будет соответствовать криволинейная площадка в плоскости(рис. 11). Площади рассматриваемых площадок тоже будем обозначать ′ и . При этом ′ = . Найдем площадь . Обозначим вершины этого криволинейного четырехугольника 1, 2, 3, 4, где
14
1( 1, 1), 1 = (, ), 1 = (, );2( 2, 2), 2 = ( + , ), 2 = ( + , );
3( 3, 3), 3 = ( + , + ), 3 = ( + , + );4( 4, 4), 4 = (, + ), 4 = (, + ).
Заменим малые приращения и соответствующими дифференциалами. Тогда
1 = (, ), 1 = (, ),
2 |
= (, ) + |
|
, 2 = (, ) + |
|
|
, |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3 |
= (, ) + |
|
+ |
|
, 3 = (, ) + |
|
+ |
|
, |
||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4 |
= (, ) + |
|
, 4 = (, ) + |
|
|
. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
При этом четырехугольник 1 2 3 4 можно считать параллелограммом и определить его площадь по формуле из аналитической геометрии:
≈ |( 3 − 1)( 3 − 2) − ( 3 − 2)( 3 − 1)| =
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(*) |
= |( |
|
+ |
|
) |
|
− |
|
( |
|
+ |
|
)| = |
|
|
|
|
|
|
15