Материал: Лекция№11

11

Перейдем к расчету спектра. Поскольку

∏(t /τ) τSinc( fτ),

Согласно теореме свертки

x(t) = ∏(t /τ) ∏(t /τ) [τ Sinc( fτ)]2 =τ2Sinc2 ( fτ). °

В учебнике вы найдете и другие примеры использования теоремы свертки. Если найдете время и будет желание, почитайте стр. 158–160.

¾ Теорема умножения

Пусть s1(t) S1( f ) и s2 (t) S2 ( f ) , тогда

−∞

Таким образом,

Спектральная плотность произведения двух сигналов равна свертке спектральных плотностей этих сигналов.

Докажите теорему умножения самостоятельно. Если вы доказали теорему свертки, проблем у вас при доказательстве теоремы умножения не должно быть. Доказать теорему умножения можно и с помощью теоремы дуальности относительно теоремы свертки. Некоторым студентам это удавалось.

Итак, мы рассмотрели некоторые из свойств ПФ (другие см. в учебнике), убедились в том, что знание их во многих случаях существенно упрощает расчеты спектров сигналов.

Теоремы о спектрах были рассмотрены на примерах непериодических сигналов (вспомним, что все реально встречающиеся на практике сигналы являются непериодическими). Очевидно, что все они справедливы и для периодических сигналов, однако в их формулировках место спектральных плотностей займут комплексные коэффициенты ряда Фурье.

В приложении Б первой части учебника приведена таблица Б.2 некоторых пар преобразований Фурье, часть из которых мы получили на этой и в предыдущей лекции.

Тех пар ПФ, которые мы получили, мало для анализа даже простейших моделей сигналов, не удовлетворяющих условиям Дирихле. Однако и для таких функций можно найти спектры, если использовать ПФ и предельный переход. К сожалению, лекционного времени на то, чтобы рассмотреть этот вопрос подробно, у нас нет. Заинтересованные студенты могут найти все это в учебнике стр. 162–178. Особое внимание уделите примерам. Здесь же приведем фрагмент из таблицы Б.2, в котором выписаны спектральные плотности некоторых важных для теории сигналов функций, не удовлетворяющих условиям Дирихле.

12

Таблица 2 — Некоторые из ПФ функций, не удовлетворяющих достаточным условиям Дирихле

Нумерация сохранена такой, как в табл. Б.2.

ЗАДАЧИ к лекции3

1. Зная пару преобразований Фурье для импульса прямоугольной формы, с помощью теоремы линейности найти и построить спектры сигналов, приведенных на рис. 3.42.

13

Рисунок 3.42

2. Сигнал, спектральная плотность которого равномерна в полосе частот fœ[100, 10000]Гц, а за пределами этого диапазона равна 0, записали на магнитную ленту при скорости ее движения 10 см/с. Воспроизводится же этот сигнал при скорости движения пленки 5 см/с. Постройте спектры записанного и воспроизведенного сигналов.

3. График спектральной плотности сигнала х(t) приведен на рис. 3.43. Воспользовавшись теоремой дуальности, найти и построить график сигнала х(t).

му сдвига во времени, а потом теорему переноса спектра по частоте; | теорему переноса спектра по частоте, а затем - теорему смещения во времени. Показать, что обе эти процедуры приводят к одному и тому же результату.

s1(t) = exp[ j2π(t −1) −(t −1)]U (t −1) , s2 (t) = Π t−42 exp[ j2π(t −2)] .

= exp(− j2πf ) Ответ: S1( f ) 1+ j2π( f −1) .

5. Получите обратное преобразование Фурье функции

S( f ) = 20 Sinc(2 f ) . 5 + j2πf

Рекомендация: Воспользуйтесь теоремой свертки.

6.Выполнить анализ сигнала, приведенного на рис. 3.44, найти и построить его спектр. Решить задачу, используя теоремы линейности и смещения во времени.

7.Решить задачу 7, используя теоремы дифференцирования и смещения во времени.

8.Провести анализ сигналов s1(t) и s2(t), приведенных на рис. 3.45, построить их спектры. Решить задачу, используя теоремы линейности и перемещения во времени. Выполнить сравнительный анализ полученных спектров.

9.Решить задачу 8, используя теоремы дифференцирования смещения во времени.