Материал: Лекция№11

1

ЛЕКЦИЯ 3

СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ. ТЕОРЕМЫ О СПЕКТРАХ.

Основная литература.

Волощук Ю.І. Сигнали та процеси у радіотехніці: Підручник для вищих навчальних закладів, том 1 – Харків: «Компанія СМІТ», 2003. с. 138 – 162.

При спектральном анализе сигналов, которые действуют в электрических цепях и системах, важно установить не только связь сигнала s (t) с его спектральной плотностью, что мы сделали на предыдущей лекции, но и выяснить, как преобразование сигнала s(t) во временной области изменяет его спектральную плотность. Это во многих случаях можно сделать, зная свойства ПФ, которые мы и рассмотрим. Эти свойства будут сформулиро-

ваны в виде теорем о спектрах.

U Теоремы о спектрах позволяют находить новые пары

преобразований Фурье по уже полученным для других сигналов.

UТеоремы о спектрах устанавливают связь между преобразованием сигнала s(t) и спектром, отвечающим этому преобразованному сигналу.

UВажно подчеркнуть, что теоремы о спектрах в некоторых случаях позволяют получать спектры сигналов без использования для этого ПФ.

Рассмотрим наиболее важные теоремы. Доказательство большинства из них просты и вам придется выполнить их самостоятельно. Если воз-

никнут трудности, обратитесь к учебнику. Продемонстрируем на примерах их использование на практике. Начнем с таблицы. Более полная таблица приведена в приложении Б, стр. 543 учебника.

Таблица 1— Свойства преобразования Фурье – теоремы о спектрах

¾ Теорема суперпозиции (линейностиі)

Пусть s1(t) S1( f ) , а s2 (t) S2 ( f ) . Тогда при любых постоянных a и

Доказательство непосредственно вытекает из линейности ПФ.

Решение:

На рис. 3. 15 приведен график сигнала. Выполним предварительный анализ.

Сигнал – вещественная четная функция времени, следовательно, его спектральная плотность – вещественная функция частоты, то есть,

θ( f ) = 0 или ±π .

Значение спектральной плотности на нулевой частоте S( f ) f =0 = 2.

Поскольку сигнал удовлетворяет условиям Дирихле, его спектр можно найти, воспользовавшись прямым преобразованием Фурье. Однако проще получить спектр сигнала s(t) воспользовавшись свойством суперпозиции и уже полученными парами ПФ

(3.58) и (3.59):

4

Упражнение 3.14

Найдите аналитические выражения амплитудного и фазового спектров сигнала s2(t).

Проиллюстрируем полученный результат графиками. На рис. 3.16а) приведен график

сигнала s1(t), на рис. 3.16б)– график сигнала s2(t). Амплитудные спектры этих сигналов одинаковые (см. рис. 3.12 б). Фазовый спектр сигнала s1(t) показан на рис. 3.16 в), сигнала s2(t) – на рис. 3.16г). Если сравнить, например, фазовый спектр сигнала

знака функции Sinc(2ft) фаза скачком изменяется на π радиан и т. д. Анало-

где а – масштабный множитель, который может принимать как положительные, так и отрицательные значения.

Докажите теорему самостоятельно. При доказательстве нужно рассмотреть 2 случая (α > 0 и α < 0 ), учесть, что во втором случае −| a |= a , объединить два рассмотренных случая и получить формулу (3.63).

Теорема изменения масштаба времени устанавливает важную связь представления сигнала во временной и в частотной областях.

U При сжатии сигнала в а раз по оси времени во столько же раз

расширяется его спектр. Модуль спектральной плотности при этом уменьшается в а раз.

U При растяжении сигнала во времени (α <1) происходит сужение спектра и возрастание модуля спектральной плотности.

5

Рис. 3.17 иллюстрирует эту связь на примере импульса

прямоугольной формы s(t) = ∏(t /τ).

Пример 3.12

Найдем спектр импульса прямоугольной формы длительностью τ и высотой А.

Решение:

Раньше было получено ПФ (3.56) вида

°

Пример 3.13

Найдем спектр сигнала s(t) = Ae−atU (t), a > 0.

Решение:

Зная пару (3.58) и воспользовавшись теоремами суперпозиции и изменения масштаба времени, получаем:

°

Пример 3.14

Найдем спектр сигнала s(t) = AeatU (−t), a > 0.