Материал: Лекция№11

6

Решение:

Применив к (3.66) теорему обращения времени сразу получаем, что

°

¾ Теорема дуальности

Если x(t) X ( f ) , тогда

Это свойство следует из подобия формул ПФ и ПФО.

Теорему докажите самостоятельно.

Пример 3.15

Запишем пару преобразований Фурье (3.65) так: x(t) = ∏(t /τ) τSinc( fτ) = X ( f ).

Соответствующие графики приведены на рис. 3.18.

Заменим f в X ( f ) на t и получим новую функцию времени X (t) = τSinc(tτ). Согласно теореме дуальности эта функция времени имеет спектр

x(− f ) = ∏(t /τ)t =− f = ∏(− f /τ).

Обозначим F=t/2 и учтем, что ∏(−t /τ)= ∏(f /τ). Получим:

На рис. 3.18 показаны графики, иллюстрирующие полученный результат.

°

7

Важным следствием свойств (3.70) является теорема модуляции, позволяющая установит связь между спектрами видеосигналов со спектрами

радиосигналов.

¾ Теорема модуляции

Если s(t) S( f ) , то

Для доказательства справедливости (3.72) нужно использовать известную из тригонометрии формулу:

cos(2πf0t) = 12 e j2πf 0t + 12 e− j 2πf 0t .

Воспользовавшись этой формулой, свойством суперпозиции и парами преобразований (3.70), получаем нужный результат.

На рис. 3.19а) приведен график радиоимпульса s(t) = A∏(t /τ)cos(2πf0t).

Спектр модулирующего колебания – импульса прямоугольной формы мы уже получили (пара (3.65)). Подставив его в (3.72), находим спектр радиоимпульса с прямоугольной огибающей и заполнением с частотой f0.

На рис. 3.19 б) показан спектр радиосигнала.

Рисунок 3.19 ¾ Теорема дифференцирования сигнала по времени

Пусть s(t) S( f ) и первая производная функции s(t) удовлетворяет условиям Дирихле, тогда

Теорему докажите самостоятельно. При возникновении трудностей, см.

С помощью (3.78) находим спектр импульса треугольной формы высотой Е и длительностью τ по уровню Е/2 (очевидно, что по основанию импульса его длительность равна 2τ).

Можно отметить, что полученный спектр полностью согласуется с результатами предварительного анализа. На рис. 3.21 приведен график спектральной плотности сигнала s(t) . Фазовый спектр на все частотах имеет

нулевое значение. °

¾ Теорема интегрирования во временной области

Пусть s(t) S( f ) , тогда

Здесь δ( f ) – известная вам дельта-функция.

Доказательство этой теоремы несколько сложнее предыдущих. Заинтересованные студенты могут найти его в учебнике: частный случай, когда

лучается из комплексного спектра сигнала умножением его на ( j2πf )−1.

Из сравнения формулировок теорем дифференцирования и интегрирования можно сделать следующие выводы.

U При дифференцировании сигнала во временной области усили-

ваются высокочастотные составляющие спектральной плотности, что определяется множителем j2πf .

10

U Интегрирование сигнала ослабляет его высокочастотные состав-

ляющие за счет влияния множителя ( j2πf )−1 .

¾ Теорема свертки

Пусть s1(t) S1( f ) и s2 (t) S2 ( f ) , тогда

Тут знак означает операцию свертки сигналов (функций), то есть:

−∞

Доказательство теоремы (3.94) выполните самостоятельно.

Итак,

Свертке двух сигналов соответствует произведение их спектральных плотностей.

Теорема свертки широко используется как при анализе процессов, протекающих в электрических цепях и системах, так и для получения новых пар преобразований Фурье.

Пример 3.21

Найдем спектр сигнала, который является сверткой двух одинаковых импульсов прямоугольной формы, то есть, x(t) = ∏(t /τ) ∏(t /τ).

Решение:

Поскольку с интегралом свертки при анализе сигналов и процессов в электро- и радиотехнике приходится сталкиваться очень часто поясним с помощью графиков, что собой представляет колебание

x(t) = s1(t) s2(t).

Итак,

∞

s1 (t) s2 (t) = ∫s1 (λ)s2 (t −λ)dλ.

−∞

Чтобы получить подынтегральное выражение, колебание s2(t) нужно обратить во времени, то есть

перейти к s2(– λ) и сдвинуть его во времени на t.

Это показано на рис. 3.23б) и в). На этих же рисунках штриховкой отмечены области перекрытия Рис. 3.23 функций s1( λ) и s2(t- λ) для двух случаев: t = 0 и t =t1 .

Поскольку высота каждого из импульсов равна 1 – значение колебания x(t) – равняется площади, соответствующей области перекрытия. Очевидно, что при | t |≥ τ подынтегральное выражение обращается в нуль. При t=0 x(t) принимает максимальное значение, равное τ.

Таким образом, x(t) =τΛ(t /τ).