Материал: Лекция№10

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

UПереходя от периодического сигнала к единичному при T →∞, полу-

чаем C		→ 0 и f → 0 , но так, что	lim		Cn	= S( f ) .


	n	1	f1 →0		f
				1

Важной характеристикою сигнала является его спектральная плотность энергии.

¾ Спектральная плотность энергии, энергетический спектр непериоди-

ческого сигнала

Энергию сигнала s(t) выделяемую на сопротивлении 1Ом можно

найти по формуле

				∞
				E = ∫\| s(t) \|2 dt					(3.53)
				−∞
	Получим выражение, позволяющее находить эту же энергию по из-
вестной его спектральной плотности.
	Из (3.53) следует, что
E =	∞	∞		∞			∞	∞
E =	∫s* (t)s(t) dt = ∫		s* (t)	∫S( f )e j2πft df dt = ∫ S( f )				∫s* (t)e j2πft dt df =
	−∞	−∞	−∞				−∞	−∞
∞		∞	*	∞			∞
= ∫	S( f )	∫s(t)e− j2πft dt df = ∫S( f ) S* ( f ) df					= ∫\| S( f ) \|2 df .
−∞	−∞			−∞			−∞

Формулы
	∞				1	∞
	E = ∫\| S( f ) \|2 df		или	E =	1	∫\| S(ω) \|2 dω			(3.54)
	E = ∫\| S( f ) \|2 df		или	E =		∫\| S(ω) \|2 dω			(3.54)
	−∞				2π −∞

известны как теорема Парсеваля для ПФ.

Размерность спектральной плотности [B c] . Тогда единицей измерения квадрата ее модуля будет [В2ÿс2] или [Bm c c]=[Bm c / Гц] =[ Дж/ Гц].

Таким образом, функция | S( f ) |2 имеет размерность плотности энергии как функции частоты и характеризует распределение энергии по частоте.

Спектральную плотность энергии или эненергетический спектр

сигнала будем обозначать G( f ) , то есть,

G( f ) =| S( f ) |2 .

(3.55)

Интегрируя функцию G( f ) по частоте от –¶ до ¶, получим полную энергию сигнала, выделяемую на сопротивлении 1Ом. При интегрировании на конечном интервале частот получим энергию сигнала, сосредоточенную в этом диапазоне.

В подразделе 4.1, стр. 190–192 учебника рассмотрены свойства этой функции. Рекомендую потратить 5–10 минут и прочитать.

Рисунок 3.12

Пример 3.6

Рассчитаем и построим спектр импульса прямоугольной формы

	t
s(t) = A∏		.

	2τ

Решение:

Начнем с анализа сигнала s(t), график которого приведен на рис. 3.12 а).

Итак, сигнал s(t) – непериодическая функция времени, то есть,

R его спектр – непрерывная функция частоты.

Сигнал s(t) – вещественная и четная функция времени. Это значит, что

Rспектральная плотность – вещественная функция частоты, то есть, θ( f ) принимает только 2 значения 0, или ≤p.

RЗначение спектральной плотности на нулевой частот S( f ) | f =0 = 2 Aτ.

RСигнал удовлетворяет условиям Дирихле, является Фурьепреобразуемым. Таким образом,

	∞	τ			e− j2πft	τ		A e j2πfτ −e−

S( f ) =	∫ s(t)e− j2πft dt =	∫	Ae− j2πft dt = A	−			=
					j2πf			π f	2 j
	−∞	−τ
						−τ

= 2 Aτ Sinc(2 fτ) .

Итак, мы получили следующую пару преобразований Фурье:

j2πfτ

	t
A∏		2 Aτ Sinc(2 fτ) .	(3.56)

	2τ

Чтобы построить графики амплитудного и фазового спектров, най-

дем модуль и аргумент спектральной плотности:		Sinc(2 fτ) > 0,
\| S( f ) \|= 2 Aτ\| Sinc(2 fτ) \| ,	0,
	θ( f ) =
	± π, Sinc(2 fτ) < 0.
Амплитудный спектр \| S( f ) \|	импульса показан на рис. 3.12 б). Анали-

зируя график, можно сделать следующие выводы:

·Главный лепесток амплитудного спектра имеет ширину 1/ τ и симметричен относительно начала координат.

·Боковые лепестки спектра с обеих сторон от главного лепестка

уменьшаются по амплитуде пропорционально | f |−1 .

· Пересечение функции S( f ) нулевого уровня происходит на частотах

f = ± 21τ, ± 1τ, ± 23τ, .ÿ

Фазовый спектр приведен на рис. 3.12 в).

Если вернуться к результатам предварительного анализа, можно видеть, что все предсказанные свойства спектра подтвердились расчетами.

Упражнение 3.8

Воспользовавшись свойством площадей, рассчитайте значение интеграла от функции Sinc(z), z (− ∞,∞).

Пример 3.7

Рассчитаем и построим спектр сигнала

t + τ/ 2		t −τ/ 2
s(t) = A∏		− A∏		.
	τ		τ

Решение:

На рис. 3.13 а) приведен график сигнала s(t). Проведем его анализ.

Сигнал – непериодическая функция времени, то есть,

Rспектр сигнала s(t) является сплошным.

Сигнал – вещественная и нечетная функция времени, следовательно,

Rспектральная плотность

θ( f ) = ±π/ 2 .

Рисунок 3.13

– мнимая функция частоты, то есть,

R Значение спектральной плотности на нулевой частоте S( f ) | f =0 = 0.

R Сигнал s(t) удовлетворяет условиям Дирихле и является Фурьепреобразуемым. Таким образом,

	∞	0	τ
S( f ) =	∫ s(t) e− j2πft dt =	∫ A e− j2πft dt −∫ A e− j2πft dt =
	−∞	−τ	0

e− j2πft

e j2πfτ +e− j2πfτ

= A −

j2π f

= j

−2

−τ

2π f

= j

sin2 (π fτ) = j2 Aπ fτ2

Sinc2 ( fτ) .

π f

Получили такую пару преобразований Фурье:

t + τ/ 2

−τ/ 2

A∏

−A∏

j2Aπfτ2

Sinc2 ( fτ) .

(3.57)

Находим модуль и аргумент спектральной плотности:

\| S( f ) \|= 2 Aπτ2 \| f \| Sinc2 ( fτ) ,	+ π/ 2,	f	> 0,
	θ( f ) =	f	< 0.
	−π/ 2,

На рис. 3.13 б) приведен амплитудный, а на рис. 3.13 в) – фазовый спектры сигнала. Как и ожидалось, спектр согласуется с результатами

предварительного анализа. °

Упражнение 3.9

Проведите сравнительный анализ спектров сигналов, рассмотренных в примерах 3.6 и 3.7. Постарайтесь пояснить различия в спектрах.

Пример 3.8

Рассчитаем и построим спектры двух следующих сигналов:

s1(t) = e−tU (t) и s2 (t) = etU (−t) , где U(t) – функция включения.

Решение:

Изобразим эпюры этих двух сигналов и проанализируем их.

На рис. 3.14 а) приведен график сигнала s1(t), на рис. 3.14 б) – сигнала s2(t). Поскольку и первый, и второй сигналы описываются функциями общего вида, их спектральные плотности должны быть комплексными функциями частоты. На нулевой частоте значение спектральной плотности и одного, и другого сигналов равно 1.

Упражнение 3.10

Докажите справедливость последнего утверждения.

Оба сигнала удовлетворяют достаточным условиям Дирихле, поэтому можно записать:

				∞		∞							1
	S1( f ) = ∫e−t e− j2π f t dt =∫e[−t (1+ j2π f )] dt =												1	и
	S1( f ) = ∫e−t e− j2π f t dt =∫e[−t (1+ j2π f )] dt =										1+ j 2π f			и
		0				0					1+ j 2π f
					0	0							1
			S2 ( f ) =		∫et e− j2	π f t dt = ∫e[t (1− j2π f )] dt =							1	.
			S2 ( f ) =		∫et e− j2	π f t dt = ∫e[t (1− j2π f )] dt =						1	− j2π f	.
					−∞	−∞						1	− j2π f
Получили очередные пары преобразований Фурье:

					e−tU (t)		1		,					(3.58)
					e−tU (t)		1 + j2πf		,					(3.58)
					etU (−t)		1			.				(3.59)
					etU (−t)			1 − j2πf		.				(3.59)

Чтобы построить графики спектров этих сигналов, нужно найти модули и аргументы спектральных плотностей (3.58) и (3.59). Для спектральной плотности S1( f ) имеем:

					1
\| S	( f ) \|=		1	1	2	=	1	,
1			+ j2πf				1 +(2πf )2
		1	+ j2πf	1 − j2πf			1 +(2πf )2

θ1( f ) = −arctg(2πf ) .

Упражнение 3.11

Найдите аналитические выражения амплитудного и фазового спектров сигнала s2(t).

На рис. 3 14 в) и г) приведены амплитудные спектры сигналов s1(t)

и s2(t), а на рис. 3.14 д) и е) – фазовые спектры. Сравнивая их, замечаем, что

·для обоих сигналов амплитудные спектры одинаковы.

·Фазовый спектр сигнала s2(t) является зеркальным отображением

фазового спектра сигналу s1(t), то есть, спектр одного сигнала является

комплексно сопряженным со спек-

тром другого. Позднее мы еще вернемся к этому свойству спектров.

Пример 3.9
Рассчитаем энергию		сигнала			Рисунок 3.14
s(t) = Ae−αtU (t), α > 0,	рассмотрев				Рисунок 3.14
s(t) = Ae−αtU (t), α > 0,	рассмотрев
его во временной и частотной областях, A =1, α =1.
Решение:
Во временной области		T		2
		T	A	2
E = lim		∫ A2e−2αt dt =	A		.
E = lim		∫ A2e−2αt dt =			.
	T →∞	0	2α

Подставим численные значения и получим Е=1/2.

Спектральную плотность сигнала s(t) , мы уже имеем (формула (3.58)).

Тогдаэнергетическийспектрсигналаимеетвид
G( f ) =\| S( f ) \|2 =	1	.
	+(2πf )2
1

Следовательно, энергия этого сигнала, сосредоточенная в полосе частот [−B < f < B] , будет

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_3 тема - Диффузия
_Антонян Ю.М., Психология преступника и расследования преступлений