Материал: Лекция№10

ЛЕКЦИЯ 2

СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ НЕПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ.

Основная литература.

Волощук Ю.І. Сигнали та процеси у радіотехніці: Підручник для вищих навчальних закладів, том 1 – Харків: «Компанія СМІТ», 2003. с. 125 – 138.

¾ Пробразование Фурье

Используем результаты, полученные в первой лекции для периодических сигналов, для случая, когда сигнал является непериодическим. Сделать это можно с помощью предельного перехода. Чтобы это пояснить, рассмотрим графи-

ки, приведенные на рис. 3 11. Здесь s(t)– сигнал, заданный на бесконечном интервале времени, но отличный от нуля на конечном интервале (t1, t2 ) . Выберем произвольный

sR (t) , который повторяет s(t) с периодом Т.

Это периодическое колебание можно записать в виде ряда Фурье:

Подставим (3.38) в (3.37), для удобств заменив обозначение переменной интегрирования. Тогда,

Учтем, что T = 2π/ ω1 :

2

Из анализа графиков, приведенных на рис. 3. 11, следует, что для того, чтобы вернуться от сигнала sR (t) к сигналу s(t), необходимо осуществить

предельный переход вида

Из (3.38) получаем, что при T → ∞ коэффициенты ряда Фурье Cn → 0 ,

из свойства эквидистантности спектров периодических сигналов следует, что расстояние между соседними спектральными линиями, которое равно ω1,

стремится к нулю, то есть спектр становится сплошным. Далее, при T → ∞ частота ω1 → dω, nω1 →ω, а операция суммирования в (3.39) трансформи-

руется в операцию интегрирования. Таким образом, формула (3.39) принима-

t1

Поскольку сигнал s(t) по условию отличается от нуля только в интервале (t1, t2 ) , интеграл (3.42) не изменится, если пределы интегрирования за-

менить на бесконечные. Кроме того, вернемся к переменной t. Получим:

го преобразования Фурье (ПФО).

Функция S(ω) называется спектральной плотностью сигнала s(t).

3

Если в качестве переменной используется частота f [Гц], пара преобразований Фурье имеет вид

Пару преобразований Фурье (3.45) будем обозначать так: s(t) S( f ) или s(t) S(ω) , где двустороння стрелка указывает, на то, что S( f ) или S(ω) получены из s(t) с помощью ПФ, а s(t) получено из S( f ) или S(ω) с помощью ПФО.

Непериодический сигнал s(t) является Фурье преобразуемым, если он удовлетворяет некоторым требованиям – достаточным условиям Дирихле:

Функция s(t) однозначно определена для всех значений аргумен-

та t, имеет конечное число экстремумов и разрывов на любом конечном интервале времени.

Функция s(t) должна быть абсолютно интегрируемой, то есть:

−∞

Подчеркнем две важных особенности этих условий:

RУсловия Дирихле являются достаточными, но не являются необхо-

димыми, то есть существуют такие функции, для которых эти условия не выполняются, но они являются Фурье-преобразуемыми;

RУсловиям Дирихле удовлетворяют все сигналы с ограниченной энергией, то есть для которых

Tlim→∞ ∫T | x(t) |2 (t)dt ≤ K, где К – положительное вещественное число.

В общем случае спектральная плотность S( f ) (или S(ω) ) является

комплексной функцией частоты, то есть:

S( f ) =| S( f ) | e jθ( f ) .

Тогда, если s(t) S( f ) и s(t) является вещественной функцией времени, функция частоты S( f ) должна удовлетворять свойствам симметрии, аналогичным отмеченным ранее для коэффициентов ряда Фурье, а именно:

| S( f ) |=| S(− f ) | и θ( f ) = −θ(− f )

Модуль спектральной плотности вещественного сигнала s(t)

ся четной функцией частоты, а аргумент – нечетной функцией частоты

4

R В общем случае две функции частоты | S( f ) | и θ( f ) опреде-

ляют сплошной спектр непериодического сигнала s(t).

R Функция частоты | S( f ) | называется амплитудным спектром сиг-

нала s(t).

R Функция частоты θ( f ) называется фазовым спектром сигнала s(t).

Запишем формулы прямого и обратного преобразований Фурье в тригонометрической форме. Воспользуемся формулой Эйлера (А.1) – формула 1 в приложении к первой части учебника, стр. 521. (3.43) примет вид

ставляющей сигнала (Рис. 3.3). Теперь выражения для амплитудного и фазового спектров сигнала s(t) можно записать так:

Из (3.48) следует такое свойство спектральной плотности:

U Если сигнал s(t) является вещественной и четной функцией

времени, то его спектральная плотность будет вещественной функцией частоты, следовательно, фазовый спектр θ (ω ) ( или θ ( f )) может

принимать только два значения 0 или ± π.

U Если сигнал s(t) является вещественной и нечетной функцией времени, то его спектральная плотность будет мнимой функцией частоты, следовательно, фазовый спектр θ (ω ) ( или θ ( f )) может прини-

мать только два значения +π / 2 или −π / 2 .

Приведем к тригонометрической форме ПФО (3.44).

Второй интеграл правой части этого выражения равен нулю.

Упражнение 3.7

Докажите справедливость последнего утверждения.

Получим:

5

Отметим, что в (3.49) уже нет составляющих с отрицательными частотами, то есть мы вернулись к физической частоте.

Переход от комплексно-экспоненциальной формы ПФ к тригоно-

метрической целесообразно осуществлять на заключительной стадии анализа сигнала, а все промежуточные расчеты выполнять в комплексноэкспоненциальной форме ПФ.

Отметим одно замечательное свойство ПФ – свойство площадей.

∞

В (3.43) подставим ω=0. Получим S(0) = ∫s(t)dt. В формулу ПФО под-

ции интегрирования и приведенных соотношений следует:

U Если s(t) S( f ) , то на частоте f (или w), равной нулю, значе-

ние спектральной плотности численно равно площади функции s(t).

U Если s(t) S( f ) , то площадь функции S( f ) численно равняется значению сигнала в момент времени t =0.

Найдем связь спектров импульсного сигнала и периодической последовательности этих импульсов.

Пусть имеется один импульс – сигнал s1(t) длительностью τ. Повторим этот импульс с периодом T > τ так, чтобы получить периодический сигнал sR(t). Этот периодический сигнал можно представить в виде ряда Фурье с коэффициентами

Из (3.52) следует, что в случае, когда размерность сигнала, например [B], то размерность спектральной плотности будет [B/Гц] или [B c]. Кроме того, из анализа выражения (3.52) можно сделать такие выводы:

U Модуль спектральной плотности одиночного импульса и оги-

бающей линейчатого спектра периодической последовательности, полученной повторением этого импульса, совпадают по форме и отличаются только масштабным множителем.