Материал: lab2.3_m1_vm1_vm1_prmaML2_231300.62
Признак Даламбера. Если
для ряда
с положительными членами существует
предел
|
,
то ряд сходится в случае
и расходится в случае
.
Рассмотрим ряд
.
Имеем
,
следователь, ряд сходится.
Радикальный признак Коши. Если
для ряда
с положительными членами существует
предел
|
,
то ряд сходится в случае
и расходится в случае
.
Рассмотрим ряд
.
Имеем
,
следователь, ряд сходится.
Интегральный признак Коши.
Пусть функция
|
определена для
,
положительна, монотонно убывает и для
всех
имеет место равенство
.
Тогда для сходимости числового ряда
необходимо и достаточно, чтобы сходился
несобственный интеграл
(иными словами ряд
сходится или расходится одновременно
с
).
Выясним, при каких
сходится ряд
.
Положим
(
).
Функция
положительна, монотонно убывает. Поэтому
ряд
сходится тогда и только тогда, когда
сходится интеграл
.
Этот интеграл сходится при
и расходится при
.
Значит, и ряд
сходится при
и расходится при
.
Упражнение 5. Опираясь на признаки сходимости, доказать:
а) ряд
расходится; б) ряд
сходится;
в) ряд
расходится; г) ряд
сходится.
5.Оценка остатка ряда с положительными членами
Пусть дан ряд
.
Назовем ряд
Утверждение
об оценке остатка ряда.
Если для ряда с положительными членами
существует такое число
Действительно,
условие
,
выполняемое для всех номеров больших
|
,
полученный из исходного отбрасыванием
первых
членов ряда,
-м
остатком ряда.
Если сходится ряд
,
то сходится и его остаток, причем их
суммы связаны соотношением
(здесь
- сумма ряда,
- сумма остатка).
,
что при всех
,
начиная с некоторого
,
выполняется неравенство
,
то сумма
-го
остатка при
удовлетворяет неравенству
.
,
означает, что члены ряда, начиная с
,
стремятся к нулю не медленней членов
геометрической прогрессии с данным
,
а значит и остаток ряда будет не больше
суммы бесконечной геометрической
прогрессии, т.е.
.Для выполнения следующего упражнения, Вам, возможно, понадобится оператор цикла с неопределенным числом операций while … end. Его синтаксис:
while <логическое выражение>
<инструкции>
еnd
Этот оператор многократно выполняет инструкцию или группу инструкций, пока логическое выражение истинно. Логическое выражение имеет форму:
выражение <оператор отношения> выражение
оператор отношения: ==, <=, >=, <, >, ~
Упражнение 6.
Пусть к ряду
применимо утверждение об оценке ряда.
Создайте M-функцию,
которая оценивает число членов,
достаточное для вычисления суммы ряда
с заданной точностью
,
и вычисляет сумму ряда с заданной
точностью. В качестве входных параметров
M-функции
используйте формулу общего члена
последовательности и точность
.
Применить созданную М-функцию для
вычисления с точностью до 0,001 суммы
ряда:
а)
б)
Указание.
Для ряда
а) имеем:
- при увеличении
монотонно уменьшается от
до
.
Для ряда б):
- убывает от
до нуля. Наша М-функция может содержать
два цикла. В первом цикле, начиная с
,
вычисляем
и
до тех пор пока выполняется неравенство
.
Во втором цикле продолжаем вычислять
и
,
а также
.
Второй цикл заканчивается при выполнении
условия
.
Выходными параметрами М-функции должны
быть
и
.
6.Знакочередующиеся ряды
Назовем ряд
Признак Лейбница.
Если
1) ряд сходится;
2) для любого
остатка
выполняется неравенство
|
,
где все
положительны,
знакочередующимся.
и
,
то:
,
причем знак
совпадает со знаком
.
Упражнение 7. Создать M-функцию, которая оценивает число членов знакочередующихся рядов, достаточное для вычисления суммы ряда с заданной точностью , и вычисляет сумму ряда с заданной точностью. В качестве входных параметров M-функции использовать формулу общего члена последовательности и точность .
Для следующих рядов доказать сходимость и применить созданную М-функцию для вычисления с точностью до 0,001 суммы ряда:
а)
б)
.