Материал: lab2.3_m1_vm1_vm1_prmaML2_231300.62
Практикум 2.3. Числовые ряды
Цель работы – усвоить базовые понятия теории числовых рядов, научиться исследовать ряды на сходимость, используя признаки сходимости, научиться использовать средства пакета MatLab для исследования рядов на сходимость и для приближенного вычисления суммы ряда.
Продолжительность работы - 4 часа.
Оборудование, приборы, инструментарий – работа выполняется в компьютерном классе с использованием пакета MatLab.
Порядок выполнения
Упражнения выполняются параллельно с изучением теоретического материала.
После выполнения каждого упражнения результаты заносятся в отчёт.
При выполнении упражнений в случае появления сообщения об ошибке рекомендуется сначала самостоятельно выяснить, чем оно вызвано, и исправить команду; если многократные попытки устранить ошибку не привели к успеху, то проконсультироваться с преподавателем.
Дома доделать упражнения из раздела «Краткие теоретические сведения и практические упражнения», которые Вы не успели выполнить во время аудиторного занятия.
После выполнения упражнений выполнить дополнительные упражнения для самостоятельной работы и ответить на контрольные вопросы и (см. ниже).
Подготовить отчёт, в который включить упражнения из раздела «Краткие теоретические сведения и практические упражнения» и упражнения для самостоятельной работы. Отчёт представить в виде документа Microsoft Word, имя файла (пример): mp_10_Ivanov_P_01_s_1 (факультет_группа_Фамилия студента_Инициал_номер лабораторной, семестр). Отчет должен содержать по каждому выполненному упражнению: № упражнения, текст упражнения; команды, скопированные из командного окна, с комментариями к ним и результаты их выполнения, включая построенные графики; тексты М-сценариев и М-функций; выводы.
Краткие теоретические сведения и практические упражнения
1.Числовой ряд. Сходящиеся и расходящиеся ряды. Сумма ряда.
Пусть задана
бесконечная последовательность чисел
Член ряда
|
Рассмотрим выражение
,
представляющее собой «сумму бесконечного
множества слагаемых». Оно называется
числовым
рядом, а
сами числа
- членами
ряда.
с произвольным номером
называется общим
членом.
Например,
есть ряд с общим членом
,
а
есть ряд с общим членом
.
Числа
и
т.д. называются частичными
суммами
ряда. Обобщая:
-я
частичная сумма
|
,
,
есть сумма первых
членов ряда:
.
В качестве примера
рассмотрим ряд
..
Члены этого ряда
,
,
образуют геометрическую прогрессию с
первым членом
и знаменателем
и, значит,
-я
частичная сумма
этого ряда является суммой первых
членов геометрической прогрессии и
может быть найдена по формуле
.
Таким образом,
.
Если последовательность
Если же
|
частичных сумм ряда имеет конечный
предел, т.е. существует число
,
то ряд называется сходящимся, а число
называется суммой ряда. В этом случае
также говорят, что ряд
сходится к сумме
и пишут
.
равен бесконечности или не существует,
то говорят, что ряд расходится
или, что он не имеет суммы.
Продолжим
рассмотрение примера. Для ряда
конечный предел частичных сумм существует:
.
Следовательно, этот ряд сходится и его
сумма равна
.
Упражнение 1.
Создать
M-функцию,
которая строит в одной системе координат
график последовательности членов ряда
и график последовательности частичных
сумм ряда. При построении этой пары
графиков использовать разные цвета и
маркеры. В качестве входных параметров
M-функции
использовать формулу
общего члена последовательности и число
рассматриваемых членов. В качестве
выходных параметров вывести значения
.
Применить созданную М-функцию для
исследования следующих рядов:
1)
;
2)
;
3)
.
Опираясь на построенные графики, для каждого ряда выдвинуть гипотезу о сходимости или расходимости ряда. В случае предположения о сходимости ряда указать приблизительное значение суммы ряда.
2.Необходимый признак сходимости.
В приложениях обычно применяются сходящиеся ряды. Поэтому важно знать признаки, по которым можно было бы судить, сходится данный ряд или нет.
Попробуйте установить связь между поведением общего члена ряда на бесконечности и сходимостью ряда, опираясь на результаты выполнения упр. 1.
Подтверждают или опровергают ряды, рассмотренные в упр. 1, следующие гипотезы:
а) Если ряд сходится,
то последовательность его членов
стремится к нулю при
.
б) Если последовательность членов ряда стремится к нулю при , то ряд сходится?
Подтверждение Ваших предположений найдете на следующей странице.
Необходимый признак сходимости. Если ряд сходится, то его -й член стремится к нулю при .
Действительно,
пусть ряд сходится, т.е. последовательность
его конечных сумм
имеет конечный предел при
.
Тогда для этой последовательности
выполняется условие Коши:
С учетом равенства
|
,
последнее выражение является
определением того, что последовательность
стремится к нулю при
.Подчеркнем, что мы установили лишь необходимый признак сходимости, т.е. такой, при нарушении которого ряд не может сходиться. С помощью этого признака можно доказывать лишь расходимость ряда.
Упражнение 2. Установить, расходимость каких из следующих рядов можно доказать, используя необходимый признак сходимости (по Вашему желанию: «вручную» или используя MATLAB):
а)
;
б)
.
Упражнение 3. Приведите два примера расходящихся числовых рядов (отличные от рассмотренных в упр. 3), общий член которых стремится к нулю. Используя M-функцию из упр. 1, проиллюстрируйте примеры графически.
Сделав упр. 3, Вы проиллюстрировали, что стремления общего члена ряда к нулю недостаточно для сходимости ряда.
3.Общие свойства рядов.
1) Если ряд
2) Если ряды
и
3)
Если ряд
сходится и его сумма равна
,
то сходится и ряд
|
сходится, то сходится и любой ряд,
полученный из него отбрасыванием
конечного числа членов.
сходятся, а их суммы соответственно
равны
и
,
то сходится и ряд
,
причем его сумма равна
.
,
причем его сумма равна
.Практически в каждом учебнике по математическому анализу можно найти доказательства этих свойств (впрочем, Вы можете доказать их и самостоятельно, опираясь на свойства числовых рядов).
А что получится, если складывать расходящиеся ряды?
Упражнение 4.
а) Пусть ряд сходится, расходится. Что можно сказать о сходимости ряда ? Проиллюстрируйте Ваше предположение на примере, используя М-файл из упр. 1.
б) Пусть ряды и расходятся. Что можно сказать о сходимости ряда ? Проиллюстрируйте Ваши предположения на примерах, используя М-файл из упр. 1.
4.Признаки сходимости рядов с положительными членами
Рассмотрим некоторые признаки сходимости числовых рядов.
Признак
сравнения.
Пусть даны два ряда
1) если ряд (2) («больший») сходится, то и ряд (1) («меньший») сходится; 2) если ряд (1) («меньший») расходится, то и ряд (2) («больший») расходится. |
(1) и
(2) , с положительными членами, причем
.
Тогда
Например, рассмотрим
ряд
,
полученный из ряда
(упр. 1, п. 5) отбрасыванием первых двух
членов. Его можно сравнить с рядом
,
сходимость которого ранее доказана
(упр. 1, п.6). Так как
и «больший» ряд сходится, то сходится
и «меньший» ряд
,
а, значит, и ряд
.
Предельный признак сравнения.
Пусть даны два
ряда
и
с положительными членами таких, что
существует конечный предел
1) если один из рядов сходится, то сходится и другой; 2) если один из рядов расходится, то расходится и другой. |
,
.
Тогда
Докажем, что
расходится (гармонический)
ряд
(упр. 1 п. 4). Используем для сравнения ряд
.
Заметим, что
и найдем частичные суммы ряда
:
.
Отсюда следует, что
,
т.е. ряд
расходится. Но
,
значит, из расходимости ряда
следует расходимость ряда
.