«Известные современные ученые: социолог Н. Луман, нейробиологи У. Матурана и Ф. Варела, - пишет в одной из своих книг Л. А. Микешина, - стремятся показать, что система, структура, окружающая среда не существуют в природной или социальной реальности, а формируются в нашем знании в результате операций различения и конструирования, проводимых наблюдателем» [11].
У. Матурана, например, в статье «Биология познания», которую многие ученые и философы считают одной из его основных работ, говоря о процессе познания, указывает на то, что он никоим образом не представляет собой восприятие и описание некой независимой от субъекта, объективно существующей вселенной.
«Реальность, понимаемая как вселенная, состоящая из независимых сущностей, о которых мы можем вести речь, - пишет он, - это по необходимости фикция, принадлежащая чисто описательной области», а «фактически понятие реальности мы должны применять по отношению именно к этой области описаний , в которой мы как описывающая система взаимодействуем с нашими описаниями, как если бы они были независимыми сущностями … Человек живет в постоянно изменяющейся области описаний, которую он порождает путем рекурсивных взаимодействий в рамках этой области» [12].
Из сказанного следует, что в процессе познания, строго зависимом от субъекта, порождаются, строятся, конструируются знания, представляющие собой понятийные структуры и схемы восприятия и действия, которые в дальнейшем «встраиваются» в общую структуру субъективного опыта, не нарушая ее единства.
Очевидно, что эти «сконструированные» понятийные структуры и схемы восприятия и действия могут оказаться и не соответствующими имеющемуся у субъекта личностному опыту. В этом случае они либо будут отброшены, а их место займут новые конструкции, либо будут модифицироваться, изменяться до тех пор, пока не достигнут требуемого соответствия.
По сути дела, это не что иное, как метод «проб и ошибок», в ходе которого, например, на уровне восприятия, осуществляется выбор «той интерпретации сенсорных данных, которая является наиболее вероятной, если исходить из мира реальных объектов. Перцепция строит нечто вроде объект-гипотез» [13], сопоставляемых с объектными эталонами, сформировавшимися в памяти человека и закрепившимися в ней в процессе практической деятельности. Это подтверждается и работами Ж.Пиаже, который, опираясь на полученные им результаты экспериментов, показал, что субъект в своей познавательной деятельности опирается на редукцию нового опытного материала к уже существующим сенсомоторным и концептуальным структурам, сложившимся у человека в онтогенезе [14].
Процесс создания, конструирования осуществляется субъектом в рамках относительной свободы, которая «оборачивается постоянной необходимостью решать парадоксы и антиномии, преодолевать ошибки и заблуждения, а процесс познания оказывается весьма рискованным и ответственным мероприятием» [15] .
Остается вопрос, действительно ли способность к конструированию является уникальным свойством человека, представляющей собой неразрывное единство сознания и деятельности, вне которого невозможно создать ни один конструкт и ни одну конструкцию, или же она рождается и формируется в процессе генезиса и развития природы и общества?
В первом случае пределы обоснованию и объяснению конструктивно-креативной деятельности человека необходимо искать в глубинах человеческой субъективности, во втором - в природных и социальных закономерностях [15].
Несмотря на многообразие форм конструктивизма (эпистемологический, социальный, радикальный и др.) достаточно очевидно, что в целом он оказывается антиподом реализму. Это следует из того, что в реализме исследователи пытаются ответить на вопросы о том, что собой представляет реальность и возможно ли ее постижение. В конструктивизме же ищутся возможные способы построения объекта, в процессе которого и возникает знание о нем. Иными словами, в первом случае речь идет о «знании что», а во втором - о «знании как» [16].
В двадцатые годы прошлого столетия в связи с попытками решения проблем, возникших в обосновании математики, наряду с программами логицизма, формализма и интуиционизма была создана программа математического конструктивизма, которая в дальнейшем оказала существенное влияние на развитие эпистемологии.
Фундаментальной идеей конструктивной математики является идея конструктивного процесса, процесса построениянекоторого объекта А, одинакового с объектом А. Один из создателей этой ветви неклассической математики А. А. Марков, например, утверждал, что она представляет собой абстрактную, умозрительную науку «о конструктивных процессах, о нашей способности осуществлять такие процессы и их результатах - конструктивных объектах»[17].
Наиболее простым и понятным примером такого рода объектов являются слова в алфавите с фиксированным набором знаков - букв. Каждое слово в этом случае получается в результате его построения (написания) из этих знаков буква за буквой. В качестве частного случая здесь могут быть натуральные числа, которые строятся из алфавита {0, 1} как слова, которые начинаются с нуля и не содержат никаких других его вхождений: 0, 01, 011, 0111, и т.д. Еще одним вариантом таких конструктивных объектов могут служить рациональные числа, получаемые тем же способом, что и натуральные из алфавита, в котором кроме знаков «0» и «1» наличествуют знак вычитания - «-» и знак дроби - «/», т.е. {0, 1, - , /}.
По утверждению А. А. Маркова смысл конструктивной математики в том, что в ее рамках исследователи работают лишь с конструктивными объектами, опираясь лишь на понятие абстрактной потенциальной осуществимости, оставляя за пределами своей деятельности абстракцию актуальной бесконечности. Кроме этого в области конструктивной математики игнорируют «чистые» теоремы существования. Это связано с тем, что в ней существование объекта с заданными свойствами признается лишь в том случае, когда указывается способ потенциально осуществимого построения объекта с этими свойствами.
«Таким образом, - пишет он, - конструктивисты и «классики» по-разному понимают самый термин «существование» в связи с математическими объектами. Впрочем, есть все основания думать, что «классики» вообще не вкладывают в этот термин смысла, поскольку они никогда не поясняют его. Конструктивному пониманию существования математического объекта соответствует конструктивное понимание дизъюнкций - предложений вида «Р или Q». Такое предложение тогда считается установленным, когда хотя бы одно из предложений Р, Q установлено как верное. Это понимание дизъюнкции не дает оснований считать верным закон исключенного третьего: «Р или не верно, что Р» [18].
Очевидно, что конструктивная математика обладает определенной спецификой. Наиболее важными ее отличиями чаще всего считают:
- наличие своей собственной - конструктивной - логики, в которой игнорируются законы исключенного третьего и двойного отрицания;
- признание того, что выводимость формулы «jЪy» влечет выводимость формулы «j» или формулы «y», а выводимость формулы $x j(x) предполагает выводимость «j(t)» для какого-либо конкретного терма вида t.
- принятие тезиса Черча, в соответствии с которым любая вычислимая в интуитивном смысле функция считается рекурсивной.
Оценивая вклад конструктивной математики в развитие математической науки в целом, Н. Н. Непейвода в одной из своих работ пишет, что «ориентация на построения в принципе, а не в реальности, позволила конструктивизму разработать ряд красивых систем, имеющих большее отношение к реальности, чем те, которые с самого начала ограничивали себя ориентацией на непосредственную применимость [19].
С такой оценкой нельзя не согласиться, так как конструктивная математика в своей совокупности со своим методом, а также понятиями абстракций потенциальной осуществимости и отождествления, рекурсивной функции, нормального алгорифма, конструктивной последовательности и др., действительно, оказалась надежным фундаментом для разработки новых подходов в области математического анализа.
На этом фундаменте была построена конструктивная теория функций действительного переменного, доказана теорема о непрерывности конструктивных функций, эффективно развиваются конструктивные теории дифференцирования и интегрирования, конструктивный функциональный анализ, рождаются новые методы исследования математической реальности.
Математический конструктивизм, как уже было сказано выше, оказал существенное влияние не только на развитие математики, но и эпистемологии. Рассматривая его в качестве одного из вариантов конструктивизма в эпистемологии, исследователи выходят за границы собственно математического знания и сталкиваются со множеством вопросов философского характера, которые до сих пор не имеют однозначных ответов.
Одним из таких вопросов является вопрос о том, что означает для математики принятие позиции конструктивизма?
Представители предикативного и социального конструктивизма (Ч. Феферман, Т. Тимошко, Р. Херш, П. Эрнест и др.), например, предлагают ответ, суть которого сводится к тому, чтобы считать математику эмпирической наукой, теории которой представляют собой социальные конструкты, а их «качество» зависит от характера изменений, которые происходят в социальной реальности.
Рубен Херш, например, в одной из своих работ утверждал, что математика - это часть культуры, что её нельзя рассматривать вне человеческой деятельности, вне социокультурного контекста. Математические объекты создаются людьми, а не произвольно, и зависимы не только от характера деятельности с этими объектами, но и от потребностей науки и повседневной жизни [20] .
Еще один представитель социального конструктивизма в математике Пол Эрнест, стремясь «выработать особую форму философии математики», исходит из того, что «знание не пассивно присваивается, а активно конструируется». При этом он акцентирует внимание на том, что любая теория, включая и математическую, являются результатом социального согласия; что в ходе их разработки «вырабатываются образцы и правила использования языка»; что математика есть не что иное как «теория форм и практик, которые возникают вместе с языком» [21].
Очевидно, что П. Эрнест, говоря о природе математики, связывает ее с языком, что во многом сходно с идеями Рэндана Коллинза, сформулированными им в работе «Социальная реальность математики и естествознания». В ней он неоднократно подчеркивает, что математика - это социальный дискурс. Она представляет собой социальную реальность именно потому, что «она неизбежно является дискурсом в некотором социальном сообществе», в силу того, что «каждый, кто причастен к математике, даже на уровне понимания уравнения элементарной арифметики, включен в некую форму социального дискурса и некоторую сеть учителей и исследователей, делающих открытия» [21].
Но кроме этого, математика, по мнению Р. Коллинза, социальна еще и потому, что её предметом «являются операции, а не вещи», эти математические операции «социальны, начиная от элементарного уровня счета и далее», и не только потому, что мы учимся считать у кого-то другого, а еще и потому, что, считая, мы осуществляем определенную социальную деятельность.
Социальность математики, с его точки зрения, проявляется не только на уровне элементарной, но и на уровне высшей математики. «Социальная структура математики, - пишет Р. Коллинз,- имеет вид пирамиды. В основании находится огромное сообщество тех, кто использует конвенции счета и арифметики. На каждой более высокой ступеньке располагаются сообщества все более специализирующихся и эзотерически мыслящих математиков - сети, в которых коммуникативные операции и конвенции более низкого уровня берутся в качестве предмета абстрагирования и рефлексивного обобщения» [22] .
Позиции социального конструктивизма в математике косвенным образом усиливают сторонники контекстуализма, которые в своих рассуждениях о природе математического знания, ссылаются на то, что на разных континентах, у разных цивилизаций, у разных наций и этносов вполне возможны свои собственные математики. Поэтому, они предлагают изучать математические реалии «в самой тесной связи со средой существования математических представлений», обращая внимание на, так называемую, фолк-математику и/или этноматематику, где природа математики трактуется как элемент «национальной, этнической культуры в существенно большей степени, чем формальной системы» [23].
В рамках этноматематики, например, имеющей широкое распространение в современном мире, обосновывается положение о том, что математика представляет собой социокультурный феномен и находится в прямой зависимости от тех жизненных реалий, в которых мы существуем. Что человеческая мысль может предложить не один, а множество различных способов количественного восприятия мира. Что принятая современной математикой парадигма на самом деле является всего лишь одной из возможных парадигм. [24, 25, 26].
Идея социокультурной обусловленности математического знания и науки в целом далеко не нова. Ее отстаивали в своих работах такие известные во всем мире философы, как О. Шпенглер и Н. Я. Данилевский.
Первый из них, обосновывая эту идею, обращается к математике, которая, по его мнению, запечатлевает в себе разноеотношение к миру вещей людей, принадлежащих к разным культурам. «Существует, - пишет он, - несколько миров чисел, потому что существует несколько культур. Мы встречаем индийский, арабский, античный, западноевропейский числовой тип, каждый по своей сущности совершенно своеобразный и единственный, каждый являющийся выражением совершенно особого мирочувствования, символом отграниченной значимости, также и в научном отношении принципом распорядка ставшего, в котором отражается глубокая сущность именно этой, и никакой другой души, той, которая является центральным пунктом как раз соответствующей, и никакой другой культуры. Таким образом, существует несколько математик» [27].