Материал: Коллоквиум

Эти интегралы называются интегралами Френеля. Они не берутся в элементарных функциях, однако имеются таблицы, по которым можно находить значения интегралов для разных  .

Смысл параметра   заключается в том, что  дает длину дугикривой Корню, измеряемую от начала координат.

Числа, отмеченные вдоль кривой на рис. 3.3.13, дают значения параметра  . Точки  и , к которым асимптотически приближа­ется кривая при стремлении   к  и , называются фоку­сами или полюсами спирали Корню. Их координаты равны

для точки F1

для точки F2

Правый завиток спирали (участок  ) соответствует зонам, рас­положенным справа от точки  , левый завиток (участок ) -зонам, расположенным слева от точки  .

Найдем производную  в точке кривой, отвечающей дан­ному значению параметра  . Приращению   на  соответствует

Следовательно,  . Вместе с тем , где - угол наклона касательной к кривой в данной точке. Таким образом, .

Отсюда следует, что в точке, отвечающей  , касательная к кри­вой Корню перпендикулярна к оси  . При угол равен ,так что касательная параллельна оси  . При угол равен , так что касательная снова перпендикулярна к оси  , и т. д.

Спираль Корню дает возможность найти амплитуду светового колебания в любой точке экрана. Положение точки будем характе­ризовать координатой  , отсчитываемой от границы геометрической тени (см. рис. 3.3.9).Для точки  , лежащей на границе геометриче­ской тени  , все штрихованные зоны будут закрыты. Колеба­ниям от не штрихованных зон соответствует правый завиток спи­рали. Следовательно, результирующее колебание изобразится век­тором, начало которого находится в точке , а конец - в точке (рис. 3.3.14, а). При смещении точки в область геометрической тени полуплоскость закрывает все большее число не штрихованных зон. Поэтому начало результирующего вектора перемещается по правому завитку в направлении полюса F₁ (рис. 3.3.14, б). В ре­зультате амплитуда колебания монотонно стремится к нулю.

Если точка  смещается от границы геометрической тени впра­во, в дополнение к не штрихованным зонам открывается все возрас­тающее число штрихованных зон. Поэтому начало результирую­щего вектора скользит по левому завитку спирали в направлении к полюсу  . При этом амплитуда проходит через ряд максимумов(первый из них равен длине отрезка  на рис.3.3.14, в) и минимумов (первый из них равен длине отрезка  на рис. 3.3.14, г).При полностью открытой волновой поверхности амплитуда равна длине отрезка  (рис. 3.3.14, д), т. е. ровно в два раза превыша­ет амплитуду на границе геометрической тени (см. рис. 3.3.14, а). Соответственно интенсивность на границе геометрической тени составляет 1/4 интенсивности  , получающейся на экране в отсут­ствие преград.

Зависимость интенсивности света  от координаты дана нарис. 3.3.15. При переходе в область геомет­рической тени интенсивность изменяется не скачком, а постепенно стремится к нулю. Справа от границы геометрической тени распо­ложен ряд чередующихся максимумов и минимумов интенсивности.

13. Дифракция Фраунгофера от одной щели

Дифракция Фраунгофера( дифракция в параллельных лучах). Когда длина волны света мала по сравнению со всеми расстояниями, в том числе с расстояниями от источника света до препятствия и от препятствия до точки наблюдения, то можно пренебречь кривизной волнового фронта падающей и дифракционной волны. Лучи света, падающие на точки поверхности препятствия можно считать параллельными.

Дифракция света- явление отклонения света от прямолинейного направления распространения при прохождении вблизи препятствий. Свет при определенных условиях может заходить в область геометрической тени. Если на пути параллельного светового пучка расположено круглее препятсвие(круглый диск, шарик или круглое отверстие в непрозрачном экране, то на экране, расположенном на большом расстоянии от препятствия, появляется дифракционная картина- система чередующихся светлых и темных колец. Если препятствие имеет линейный характер (щель, нить, край экрана), то на экране возникает система параллельных дифракционных полос.

Дифракция от одной щели. В непрерывном экране есть щель: ширина щели MN=b, длина щели(перпендикулярно плоскости листа) . На щель падают параллельные лучи света. Для облегчения расчета считаем, что в плоскости щели АВ амплитуды и фазы падающих волн одинаковы.

Разобьем щель на зоны Френеля так, чтобы оптическая разность хода между лучами, идущими от соседних зон, была равна

Если на ширине щели укладывается четное число таких зон , то в точке (побочный фокус линзы) будет наблюдаться минимум интенсивности, а если нечетное- максимум.

Картина будет симметричной относительно главного фокуса точки

Знак + и – соответствуют углам, отсчитанным в ту или иную сторону.

Влияние ширины щели: из условия минимума ,

С увеличением ширины щели b положения минимумов сдвигаются к центру, це6нтральный максимум становится резче. При уменьшении ширины вся картина расширяется, расплывается, центральная полоска тоже расширяется, захватывая все большую часть экрана, а интенсивность ее уменьшается.

14 .Дифракция Фраунгофера от двух щелей:

2 Способ

Рассмотрим экран с двумя щелями, на которые нормально падает плоская монохроматическая волна. Расчеты показывают, что интенсивность света за экраном будет зависеть от угла  j между направлением распространения света и перпендикуляром к экрану

где I₀ - интенсивность света в центре дифракционной картины, когда открыта только одна щель, b - ширина щели, d - расстояние между щелями,   k = 2 p  / l  - волновое число, l - длина волны света, D - дополнительная разность хода между интерферирующими лучами (в случае наклонного падения плоской волны на экран или когда одна из щелей закрыта стеклянной пластинкой). Первый сомножитель в квадратных скобках описывает дифракцию Фраунгофера на одной щели, а второй сомножитель - интерференцию от двух точечных источников. Общая энергия, проходящая через одну щель, пропорциональна b, а ширина дифракционной картины пропорциональна 1/b. Поэтому, интенсивность света I₀ в центре дифракционной картины будет пропорциональна b². Если мы рассмотрим дифракцию на двух щелях, то в пределах первого дифракционного максимума мы можем наблюдать  N  интерференционных полос, где  N = 2 d / b.