Рис. 43. Проекция движения КА на гало-орбите на плоскость XY.

Рис. 44. Проекция движения КА на гало-орбите на плоскость YZ.

Рис. 45. Проекция движения КА на гало-орбите на плоскость XZ.

Для данной орбиты было рассчитано направление неустойчивости. Как и в случае, описанном в разделе 4, направление неустойчивости было рассчитано для 360 точек, каждая из которых соответствует значению параметра Alpha. На рис. 46 представлена зависимость направления неустойчивости от параметра Alpha.

Рис. 46. Направления устойчивости и неустойчивости.

Полученные данные были аппроксимированы следующим рядом Фурье, где б - текущее значение параметра Alpha КА:

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

.

Данная аппроксимация была проверена подстановкой известных точек в (7). Наибольшее отклонение составило 1,06°.

Также было проведено моделирование движения на исследуемой гало-орбите с учетом неточности определения параметров КА и выдачи импульса. Считалось, что вектор положения КА определяется с погрешностью 5 км, вектор скорости КА определяется с погрешностью 15 см/с и погрешность выдачи импульса составляет 6%. Импульс исполнялся один раз в 40 дней. В табл. 3 приведены результаты расчета суммарного импульса миссии протяженностью 4000 дней для различных направлений исполнения импульса: в направлении неустойчивости, в направлении Солнце-Земля, в среднем направлении устойчивости (28°). Из данной таблицы видно, что исполнение коррекций в направлении неустойчивости дает существенное сокращение затрат топлива (16% по сравнению с исполнением импульсов в направлении Солнце-Земля).

Таблица 3. Зависимость суммарного импульса от направления исполнения импульса.

Несмотря на то что данная орбита удовлетворяет описанным в [20] ограничениям, наложенным на орбиту для миссии «Миллиметрон», важным вопросом остается возможность перелета на данную орбиту при старте с космодрома Байконур. Расчет отлетной орбиты с Земли не входит в задачи данного исследования. В связи с этим дальнейшая работа для КА «Спектр-М» должна быть связана с расчетом отлетной орбиты от Земли и, если перелет к начальной точке данной орбиты невозможен, поиск другой ограниченной орбиты, удовлетворяющей ограничениям.

В данном разделе представлены результаты различных исследований, проведенных на основе алгоритмов, описанных в разделе 2. Проведенные исследования позволяют сделать следующие выводы:

1) Суммарный импульс миссии значительно зависит от места и направления исполнения коррекций.

2) Зависимости отклонения КА от номинальной траектории от погрешности определения скорости и положения КА носит экспоненциальный характер. Отклонение скорости КА от номинальной значительнее влияет на геометрию орбиты чем отклонение положения КА от номинального.

3) Полученные в п.3.1 результаты позволяют выделить наименее эффективные для коррекций области гало-орбит. Импульсы коррекции наименее эффективны в точках, лежащих в интервале .

4) Расчеты направления неустойчивости для плоских орбит Ляпунова и гало-орбит показали, что координата Z значительно влияет на направление неустойчивости.

5) Исполнение импульсов в направлении неустойчивости позволяет значительно сократить затраты суммарного импульса на поддержание гало-орбиты (от 16% до 22% в сравнении с направлением Солнце-Земля).

Заключение

В работе была разработана методика расчета гало-орбит вокруг точки либрации L₂ системы Солнце-Земля. Для расчета начальной скорости КА и величин корректирующих импульсов движение КА представляется как суперпозиция трех составляющих: ограниченной, возрастающей и убывающей. Разработанная методика позволяет производить корректирующие импульсы так, чтобы компенсировать влияние возрастающей компоненты. Данная методика была реализована в пакете GMAT.

При помощи данной методики было проведено исследование зависимости суммарного импульса миссии от места и направления исполнения корректирующих импульсов. Для данного исследования было проведено моделирование движения КА по трем различным ало-орбитам на протяжении 350 оборотов. Полученные данные показали, что наиболее эффективно производить корректирующие импульсы в направлении, близком к направлению неустойчивости, в точках, соответствующих -100°?б?100°, где б - угол между радиус-вектором КА в системе координат, связанной с точкой L₂ и осью X.

Также было проведено исследование зависимости погрешности определения параметров КА на эволюцию геометрии орбиты. Для этого было проведено моделирование движения КА на 10000 орбит для каждого отклонения параметров от номинальных. Полученные результаты показали, что зависимость отклонения КА от номинальной орбиты от времени при различных отклонениях носит экспоненциальный характер.

В данном исследовании также была разработана методика расчета направления устойчивости и неустойчивости. Она основана на подборе такого направления изменения скорости КА, при котором аппарат как можно дольше находится на орбите. Расчет был произведен для двух типов орбит - ограниченных орбит, лежащих в плоскости эклиптики (плоских орбит Ляпунова), и гало-орбит. Было показано, что координата Z значительно влияет на направление неустойчивости. Для полученных данных были разработаны два варианта интерполяции направления неустойчивости.

Полученные результаты были применены при моделировании движения КА на различных гало-орбитах с начальными координатами по оси Z: 200000 км, 400000 км, 600000 км и 1000000 км. Моделировалось движение КА на данных гало-орбитах на протяжении 4000 дней, импульсы коррекции исполнялись 1 раз в 40 дней. При этих расчетах методом Монте-Карло было проведено моделирование технических ограничений на точность определения положения КА (5 км), скорости КА (15 см) и выдачу корректирующего импульса (6%). За счет исполнения корректирующих импульсов в направлении неустойчивости удалось достичь значительной экономии суммарного импульса (от 16% до 22% по сравнению с исполнением импульсов коррекции в направлении Солнце-Земля).

Результаты, описанные в п.3.1, были получены в рамках исследования для НПО им. С.А. Лавочкина. Также результаты, представленные в п.3.1, 3.2, 3.3 были представлены на следующих конференциях:

· XIII научно-техническая конференция «Авиакосмические технологии - 2014», Таруса, 2014 г.;

· XIII международная конференция «Авиация и космонавтика - 2014», МАИ, Москва, 2014 г.;

· «Научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых специалистов НИУ ВШЭ им. Е.В. Арменского», МИЭМ НИУ ВШЭ, Москва, 2015 г. (за выступление автором получен диплом 2-ой степени);

· XII конференция молодых ученых «Фундаментальные и прикладные космические исследования», ИКИ РАН, Москва, 2015 г.;

· «Новые информационные технологии в автоматизированных системах», МИЭМ НИУ ВШЭ, Москва, 2015 г.

Список использованных источников

[1] Farquhar, R.W. The Control and Use of Libration-Point Satellites. Department of Aeronautics and Astronautics, Stanford University, 1968.

[2] G. Gomez, J.J. Masdemont, J.M. Mondelo Dynamical Substitutes of Libration Points for Simplified Solar System Models // Proceedings of the Conference “Libration Point Orbits and Applications”, Spain, 2002, P.373-398.

[3] C. Ocampo An Architecture for a Generalized Spacecraft Trajectory Design and Optimization System // Proceedings of the Conference “Libration Point Orbits and Applications”, Spain, 2002, P.529-572.

[4] J.A. Kechichian, E.T. Campbell, M.F. Werner, E.Y. Robinson Solar Surveillance Zone Population Strategies with Picosatellites Using Halo and Distant Retrograde Orbits // Proceedings of the Conference “Libration Point Orbits and Applications”, Spain, 2002, P.153-170.

[5] G. Gomez, J.J. Masdemont, J.M. Mondelo Libration Point Orbits: a Survey from the Dynamical Point of View // Proceedings of the Conference “Libration Point Orbits and Applications”, Spain, 2002, P.311-372.

[6] G. Gomez, A. Jorba, J. Masdemont, C. Simo Dynamics and Mission Design near Libration Points, Vol. III Advanced Methods for Collinear Points. World Scientific Publishing Co. Ptc. Ltd., 2001.

[7] E. Perozzi, S. Ferraz-Mello Space Manifold Dynamics: Novel Spaceways for Science and Exploration. Springer, 2010

[8] H. Hechler, J. Cobos Herschel, Planck and Gaia Orbit Design // Proceedings of the Conference “Libration Point Orbits and Applications”, Spain, 2002, P.115-135.

[9] J. Cobos, J. Masdemont Astrodynamical Applications of Invariant Manifolds Associated with Collinear Lissajous Libration Orbits // Proceedings of the Conference “Libration Point Orbits and Applications”, Spain, 2002, P.253-268.

[10] G. Gomez, M. Marcote, J.J. Masdemont Trajectory Correction Manoeuvers in the Transfer to Libration Point Orbits // Proceedings of the Conference “Libration Point Orbits and Applications”, Spain, 2002, P.287-310.

[11] D.W. Dunham, C.E. Roberts Stationkeeping Techniques for Libration-Point Satellites // The Journal of the Astronautical Sciences, V. 49, N. 1, P.127-144.

[12] C.E. Roberts The SOHO Mission L1 Halo Orbit Recovery from the Attitude Control Anomalies of 1998 // Proceedings of the Conference “Libration Point Orbits and Applications”, Spain, 2002, P.171-217.

[13] G. Gomez, K. Howell, J. Masdemont, C.Simo, Station-keeping strategies for translunar libration point orbits. AAS/AIAA Spaceflight Mechanics, 1998.

[14] D.C.Folta et al. Earth-Moon libration point orbit station-keeping: Theory, Model and operations // Acta Astronautica, V. 94, I.1, 2014, P.421-433.

[15] K.C. Howell, H.J. Pernicka Stationkeeping method for libration point trajectories // Journal of Guidance and Control, V. 16, 1993, P.151-159,

[16] C. Simo, G, Gomez, J. Llibre, R. Martinez, Station keeping of a quasiperiodic halo orbit using invariant manifolds // Second International Symposium on Spacecraft Flight Dynamics. European Space Agency, Germany, 1986, P.65-70.

[17] C. Simo, G. Gomez, J. Llibre, R. Martinez, J. Rodriguez On the optimal station keeping control of halo orbits // Acta Astronautica, V. 15, I. 6-7, 1987, P. 391-397.

[18] M. Kakoi, K. Howell, D. Folta Access to Mars from Earth-Moon libration point orbits: Manifold and direct options // Acta Astronautica, V. 102, 2014, P. 269-286.

[19] И.С. Ильин, Выбор номинальной орбиты КА «Миллиметрон» из семейства периодических орбит в окрестности точки либрации L₂ системы Солнце-Земля // Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша, 2013 г., №46.

[20] Сайт астрокосмического центра Физического института им. П.Н. Лебедева РАН, URL: http://www.asc.rssi.ru/millimetron/millim.htm (дата обращения: 10.05.2014).

[21] Ильин И.С., Сазонов В.В., Тучин А.Г., Построение ограниченных орбит в окрестности точки либрации L2 системы Солнце-Земля // Препринты ИПМ им. М.В.Келдыша, 2012, №65.

[22] Бобер С.А., Аксенов С.А., Николаева Ю.А. «Исследование зависимости формы ограниченной орбиты КА от начального вектора состояния в окрестности точки либрации L₂ системы Солнце-Земля» // Новые информационные технологии в автоматизированных системах: материалы восемнадцатого научно-технического семинара, М., 2015.