|
Рис. 10. Сценарий, моделирующий движение КА на гало-орбите с периодическим применением корректирующих импульсов. |
В начале сценария задаются начальные координаты КА и количество импульсов коррекции. Т.к. в данном случае коррекции совершаются один раз в оборот, количество коррекций совпадает с числом оборотов КА на орбите. Также указывается направление совершения коррекций (Beta), которое задается как угол между осью X и направлением совершения коррекции. Место исполнения импульса (Alpha) задается как угол между осью X и радиус-вектором аппарата и меняется в цикле от 180є до -170є с шагом -10є. Для хранения исходных параметров математической модели КА, используемой в цикле, параметры модели копируются во вспомогательную модель КА.
В работе сценария вызывается алгоритм подбора величины импульса коррекции. На первом шаге этот алгоритм работает как алгоритм подбора скорости за счет того, что в разложении направления импульса по осям компоненты X и Z полагаются равными 0, а компонента Y = 1. На следующих шагах производится подбор величины импульса коррекции в направлении Beta. космический аппарат орбита неустойчивость
После выхода из цикла подбора величины импульса происходит исполнение импульса коррекции и интегрирование уравнений движения КА, при этом время полета аппарата и величина импульса сохраняются в соответствующие массивы.
При исполнении заданного количества корректирующих импульсов происходит выход из цикла и расчет статистических характеристик (среднего значения и дисперсии импульса и времени полета, максимального и минимального значения импульса).
По достижении переменной Alpha границы цикла (-170°) производится выход из цикла и работа сценария завершается.
После исполнения каждого импульса производится запись номера исполненного импульса и параметров модели КА в файл-отчет. Также перед переходом на следующий шаг цикла по переменной Alpha производится запись параметров модели КА, значений переменных Alpha и Beta и статистических характеристик орбиты в другой файл-отчет.
2.4 Методика расчета направления неустойчивости
Эффективная коррекция орбиты КА в окрестности точки либрации подразумевает изменение скорости КА с целью компенсации влияния возрастающей компоненты (4). Существует направление, изменение скорости вдоль которого приводит к наибольшему изменению возрастающей компоненты. Это направление будем называть направлением неустойчивости. Исполнение импульсов в направлении неустойчивости наиболее эффективно. Направление, ортогональное направлению неустойчивости, называется направлением устойчивости, и импульсы, исполненные в этом направлении, являются наименее эффективными. Исполнение импульсов коррекции возможно в любом направлении, кроме направления устойчивости, однако они менее эффективны, чем импульсы в направлении неустойчивости. Исследование направления неустойчивости необходимо при разработке стратегии удержания КА на гало-орбите для эффективного управления КА.
В данном исследовании была разработана методика расчета направления устойчивости. Т.к. известно, что направления устойчивости и неустойчивости ортогональны друг другу, зная направление устойчивости, можно отыскать и направление неустойчивости. Методика заключается в следующем: в некоторой точке гало-орбиты производится возмущение движения КА, т.е. скорость аппарата изменяется по некоторому направлению. Задача состоит в отыскании такого направления изменения скорости, при котором КА как можно дольше находится на орбите.
Как и в случае отыскания начальной скорости КА, данная задача решается итерационно. При каждом направлении изменения скорости аппарат отклоняется либо в сторону положительного, либо в сторону отрицательного изменения координаты X, т.е. возникает зависимость направления изменения скорости от конечной координаты X аппарата. Эта функция имеет разрыв, при котором КА не отклоняется ни в одну из сторон, т.е. остается на ограниченной орбите. Требуется отыскать этот разрыв.
Данный алгоритм был реализован в пакете GMAT. Блок-схема алгоритма приведена на рис. 1.
Рис. 11. Алгоритм расчета направления устойчивости.
Таким образом, были разработаны следующие алгоритмы:
· Алгоритм подбора начальной скорости КА. Данный алгоритм позволяет подобрать такую начальную скорость аппарата, при которой он будет находиться на гало-орбите наиболее продолжительное время.
· Алгоритм подбора величин корректирующих импульсов. Данный алгоритм основан на алгоритме подбора начальной скорости; основное отличие - учет направления исполнения импульса.
· Алгоритм расчета направления неустойчивости. Данный алгоритм заключается в нахождении такого направления возмущения скорости КА, при возмущении по которому КА наибольшее время остается в окрестности точки L2.
Также были в пакете Matlab были разработаны функции, моделирующие технические ограничения на точность определения параметров КА и исполнение корректирующих импульсов.
На основе разработанных алгоритмов в пакете GMAT был создан сценарий, позволяющий моделировать движение КА на ограниченных орбитах вокруг точки L2.
1.
3. Применение разработанных инструментов к моделированию движения КА на гало-орбите
3.1 Исследование зависимости энергетики поддержания гало-орбиты от места и направления исполнения импульса
Суммарный импульс, затрачиваемый на коррекции для удержание КА на гало-орбите, зависит от того, в какой точке орбиты и в каком направлении исполняются корректирующие импульсы. Место и направление исполнения коррекций описываются следующими параметрами:
· Угол б - определяет место исполнения импульса (см. рис. 12).
· Угол в - определяет направление исполнения импульса (угол между проекцией направления маневра на плоскость эклиптики и осью Солнце-Земля). Данный угол задает ось, вдоль которой совершается маневр в положительном или отрицательном направлении.
Углу соответствует наиболее удаленная от Земли точка орбиты, углам соответствует ближайшая к Земле точка орбиты. Увеличение угла происходит против часовой стрелки.
Рис. 12. Параметры б и в.
Задачей данного раздела является оценить зависимость суммарного импульса от места и направления совершения коррекции. Данное исследование было проведено без учета погрешности определения параметров КА и выдачи импульса коррекции. Коррекция совершается один раз в оборот в точке, описываемой углом б, в направлении, описываемом углом в.
Были исследованы 3 гало-орбиты со следующими начальными координатами:
· X = -277548 км, Y = 0 км, Z = 200000 км;
· X = -373454 км, Y = 0 км, Z = 400000 км;
· X = -566256 км, Y = 0 км, Z = 600000 км.
Проекции движения КА, полученные в результате моделирования движения КА на данных орбитах на протяжении 50 оборотов, представлены на рис. 13-15.
Рис. 13. Проекция движения КА на гало-орбитах с различными амплитудами на плоскость XY.
Рис. 14. Проекция движения КА на гало-орбитах с различными амплитудами на плоскость YZ.
Рис. 15. Проекция движения КА на гало-орбитах с различными амплитудами на плоскость ZX.
На рис. 16 представлена зависимость среднего импульса от места исполнения коррекций (угол б). Для каждого угла б была рассчитана траектория движения КА на гало-орбите на протяжении 350 оборотов. Направление импульса в данном случае совпадает с направлением оси X, т.е. направлением от Солнца к Земле (угол в = 0є).
Рис. 16. Зависимость среднего значения импульса коррекции от места исполнения импульса.
Из рис. 16 видно, что в целом характер зависимости совпадает для различных орбит. Возрастание данных зависимостей при б меньших -100 ° и больших 70° объясняется тем, что в этих точках направление исполнения импульса близко к направлению устойчивости. В связи с этим требуются большие затраты на удержание КА на гало-орбите.
Также был рассмотрен более общий случай задачи нескольких тел - при расчетах учитывалось не только гравитационное поле Солнца и Земли, но и остальных планет Солнечной системы и Луны. На рис. 17 представлены полученные зависимости.
Рис. 17. Среднее значение импульса в зависимости от места его исполнения.
Поскольку в реальности положение и скорость аппарата невозможно определить с бесконечной точностью, имеет смысл проанализировать, каким образом малое изменение скорости КА влияет на зависимость математического ожидания значения импульса коррекции от места исполнения импульса. Однако, так как исследование данной зависимости требует, чтобы аппарат удерживался на гало-орбите как минимум 1 оборот после исполнения коррекции, использование неопределенностей, возникающих на практике, для данного исследования невозможно. Это связано с тем, что из-за значительных отклонений параметров от номинальных не всегда удается рассчитать величину корректирующего импульса так, чтобы КА оставался на гало-орбите на протяжении 1 оборота. Чтобы качественно оценить влияние неопределенности знания скорости КА на математическое ожидание значения импульса поддержания, было использовано отклонение 10-9 км/с. Полученная зависимость представлена на рис. 18.
Рис. 18. Среднее значение импульса в зависимости от места его исполнения для случая неточного определения скорости.
Полученные результаты указывают на то, что в целом учитываемые в модели возмущения не меняют характера поведения функции зависимости математического ожидания величины импульса от угла б. Наименьший характеристический импульс требуется для совершения коррекций в диапазоне
Для определения направления наиболее эффективного совершения импульса для каждого значения угла б были рассчитаны траектории, включающие в себя 350 оборотов на гало-орбите (350 импульсов коррекции), с заданным направлением совершения импульса в: .
На рис. 19-27 представлены графики зависимости средней величины импульса от направления исполнения для гало-орбиты с начальной координатой по оси Z равной 200000 км.
Рис. 19. Зависимость среднего значения импульса от угла в, 150є?б?180є.
Рис. 20. Зависимость среднего значения импульса от угла в, 110є?б?140є.
Рис. 21. Зависимость среднего значения импульса от угла в, 70є?б?100є.
Рис. 22. Зависимость среднего значения импульса от угла в, 30є?б?70є.
Рис. 23. Зависимость среднего значения импульса от угла в, -10є?б?20є.
Рис. 24. Зависимость среднего значения импульса от угла в, -50є?б?-20є.
Рис. 25. Зависимость среднего значения импульса от угла в, -90є?б?-60є.
Рис. 26. Зависимость среднего значения импульса от угла в, -130є?б?-100є.
Рис. 27. Зависимость среднего значения импульса от угла в, -170є?б?-140є.
Аналогичные зависимости были рассчитаны для гало-орбит с начальными координатами Z = 400000 км и Z = 600000 км. Их характер совпадает с характером зависимостей, полученных для гало-орбиты с начальной координатой Z = 200000 км.
Т.к. угол в задает ось, вдоль которой совершается импульс (как в положительном, так и в отрицательном направлении), данные графики являются р-периодическими. Это позволяет рассчитывать зависимость средней величины импульса от направления исполнения импульса только для одного отрезка по углу в (в данном случае - для отрезка, содержащего 0є).
Графики имеют ярко выраженные минимумы. Данные минимумы соответствуют направлениям неустойчивости орбиты в точке, соответствующей углу б.
Из приведенных графиков видно, что при приближении к определенному направлению максимальное значение импульса резко возрастает. Это вызвано тем, что вблизи направления устойчивости возможности контроля орбиты сильно ограничены и расчет необходимых для сбора статистики 350 оборотов становится невозможным.
Из полученных результатов следует, что оптимальное направление совершения импульса зависит от места совершения импульса, а также оптимальное направление совершения импульса изменяется от до градусов для различных орбит и значений параметра б, .
На рис. 28-30 представлены графики зависимости направления, соответствующего наименьшему среднему импульсу, от места совершения маневра для различных орбит (начальные координаты по Z 200000 км, 400000 км, 600000 км).
Рис. 28. Зависимость угла в от угла б, соответствующего наименьшему среднему значению импульса и направлению неустойчивости, z = 200000 км.
Рис. 29. Зависимость угла в от угла б, соответствующего наименьшему среднему значению импульса и направлению неустойчивости, z = 400000 км.
Рис. 30. Зависимость угла в от угла б, соответствующего наименьшему среднему значению импульса и направлению неустойчивости, z = 600000 км.