Дипломная работа: Исследование стратегий удержания космического аппарата на гало-орбите в окрестности точки L2 системы Солнце-Земля

Из приведенных графиков видно, что зависимость направления неустойчивости и направления, соответствующего наименьшему импульсу коррекции, от места выдачи импульса в целом коррелируют. Таким образом, на основе данных о направлении неустойчивости можно делать выводы о наиболее эффективных направлениях исполнения коррекций.

3.2 Исследование влияния неточности определения параметров КА на геометрию гало-орбиты

Как было сказано выше, в реальности существуют технические ограничения на точность определения положения КА, скорости КА, а также величину и направление выдачи импульса. Поэтому важно оценить, как влияет неточность определения параметров КА на геометрию гало-орбиты.

3.2.1 Исследование случая неточного определения скорости КА

Пусть погрешность определения начальной скорости аппарата составляет 1 см/с. Были рассчитаны 10000 орбит, для которых в начальный момент времени моделировалось отклонение скорости КА на 1 см/с с помощью функции, описанной в п. 3.2.2.

Координаты КА через 1 оборот (175 суток) образуют эллипсоид с центром в точке, лежащей на номинальной траектории. Также были рассмотрены точки через 1/8, 1/4, 3/8 и т.д. оборота (23,125 суток, 46,25 суток и т.д.). На рис. 31 представлен эллипсоид, образованный координатами КА через ј оборота на гало-орбите (46,25 суток).

Рис. 31. Распределение координат КА через 1/4 оборота.

На рис. 32 представлены зависимости максимального отклонения от номинальной траектории для изменений скорости, равных 1 см/с и 5 см/с. Как видно из графиков, максимальное отклонение аппарата от номинальной траектории зависит экспоненциально от времени полета, при этом, коэффициент, стоящий при t, практически не зависит от величины начального отклонения скорости.

Рис. 32. Зависимость отклонения КА от номинальной траектории от погрешности определения скорости КА.

3.2.2 Исследование случая неточного определения координат КА.

Рис. 33 иллюстрирует эволюцию максимального отклонения от номинальной траектории при изменении начального положения аппарата. На рисунке представлены данные для начальных отклонений = 1, 2, 3, 4 и 5 км. Как и в случае с изменением начальной скорости аппарата, максимальное отклонение от номинальной траектории растет экспоненциально с увеличением времени:

, (6)

при этом начальная ошибка влияет только на коэффициент, стоящий при экспоненте .

В таблице 1 представлены коэффициенты полученных кривых. Легко видеть, что коэффициент , в свою очередь, линейно зависит от величины начального отклонения . Таким образом величина ошибки от времени и начального отклонения координат аппарата может быть представлена в виде:

(7)

Рис. 33. Зависимость отклонения от номинальной траектории от погрешности определения координат КА.

Таблица 1. Зависимость коэффициента k_r от погрешности определения координат КА.

Полученные результаты позволяют оценивать и предсказывать максимальное отклонение КА от номинальной орбиты в зависимости от погрешности определения параметров КА.

3.3 Результаты расчета направлений устойчивости и неустойчивости

Расчет направления устойчивости производился для 244 плоских орбит Ляпунова, имеющих следующие начальные координаты:

· X = X₀ км, -1200000? X₀?-10000 км;

· Y = 0 км;

· Z = 0 км.

На каждой орбите направление неустойчивости было рассчитано в 360 точках, которые описывались параметром Alpha - углом между радиус-вектором КА и осью OX в плоскости эклиптики.

По результатам расчетов была построена карта направлений устойчивости в окрестности точки либрации. Она приведена на рис. 34.

Рис. 34. Карта направлений устойчивости.

По рассчитанным направлениям устойчивости можно получить направления неустойчивости, т.к. они перпендикулярны между собой. Карта направлений неустойчивости изображена на рис. 35.

Рис. 35. Карта направлений неустойчивости.

Из рис. 35 видно, что направление неустойчивости зависит от положения КА, поэтому совершать импульсы коррекции в постоянном направлении (например, в направлении оси Солнце-Земля) невыгодно. Карта направлений устойчивости иллюстрирует, в каких направлениях нельзя исполнять импульсы коррекции. В частности, для некоторых точек направление оси Солнце-Земля является направлением устойчивости, т.е. в данном направлении КА неуправляем.

3.4 Интерполяция направления неустойчивости

Зависимость направления неустойчивости от координат X, Y КА образует поверхность, проекции которой представлены на рис. 36-38.

Рис. 36. Точки, для которых рассчитано направление неустойчивости.

Рис. 37. Зависимость направления неустойчивости от координаты X.

Рисунок 38. Зависимость направления неустойчивости от координаты Y.

Для использования этих данных при моделировании движения КА необходимо произвести их интерполяцию. Для этого была разработана функция Matlab. Входными параметрами данной функции являются текущие координаты X, Y КА и угол между радиус-вектором КА и осью X в плоскости эклиптики (Alpha). Выходной параметр - это направление неустойчивости в точке с координатами X, Y.

Точки, для которых рассчитано направление неустойчивости, образуют при проекции на плоскость XY 360 лучей. По параметру Alpha в функции определяются 2 луча, между которыми лежит исследуемая точка. Затем на этих лучах ищутся 3 ближайшие к ней точки, через которые проводится плоскость, после чего в уравнение данной плоскости подставляются координаты исследуемой точки. Полученное значение является интерполированным значением направления неустойчивости.

3.5 Зависимость направления неустойчивости от координаты Z

Орбиты, для которых были рассчитаны направления неустойчивости в предыдущем разделе, лежат в плоскости эклиптики (плоскости XY). Однако также необходимо исследовать, влияет ли координата Z на направление неустойчивости и если влияет, то насколько велико отклонение рассчитанного направления неустойчивости от аппроксимированного с использованием данных из раздела 4.3.

Для исследования зависимости направления неустойчивости от координаты Z по методике, описанной в 4.2, было рассчитано направление устойчивости для точек 57 гало-орбит с различными амплитудами (начальная координата X КА лежит в пределах от -570000 км до -10000 км, начальные координаты КА однозначно определяют гало-орбиту). На рис. 39-41 представлены проекции полученной поверхности на различные плоскости.

Рис. 39. Зависимость направления неустойчивости от координаты X.

Рис. 40. Зависимость направления неустойчивости от координаты Y.

Рис. 41. Зависимость направления неустойчивости от координаты Z.

Из рис. 41 видно, что координата Z значительно влияет на направление неустойчивости. Это означает, что использование данных о направлении неустойчивости из п. 4.3 при моделировании движения КА на гало-орбите менее эффективно. Также был произведен анализ отклонения рассчитанного направления неустойчивости от направления неустойчивости, полученного для плоских орбит в разделе 4.3. Наибольшее отклонение при таком сравнении составляет 12°. Данное отклонение является существенным. Для моделирования движения КА на гало-орбите с исполнением корректирующих импульсов вдоль направления неустойчивости требуется производить интерполяцию данных о направлении неустойчивости, рассчитанных для гало-орбит (т.е. с учетом зависимости от координаты Z).

Для реализации данной интерполяции удобно рассматривать зависимость направления неустойчивости от параметра Alpha, а не координат X и Y. На рис. 42 представлены эти зависимости для гало-орбит с различными начальными координатами.

Рис. 42. Зависимость направления неустойчивости от положения КА на орбите.

Интерполяция полученных данных производилась в Matlab. Входными параметрами функции являются начальная координата X КА и его текущее положение на орбите (Alpha). По начальной координате X КА находятся ближайшие орбиты, для которых рассчитано направление неустойчивости. По текущему значению параметра Alpha находятся ближайшие к нему точки на кривых, соответствующих известным орбитам. Затем по полученным 4 точкам проводится линейная интерполяция. Полученное значение является интерполированным направлением неустойчивости для исследуемой точки и подается на выход функции.

Для проверки данной интерполяции были рассчитаны направления неустойчивости для гало-орбит со следующими начальными координатами:

· X = -277549 км, Y = 0 км, Z = 200000 км;

· X = -373454 км, Y = 0 км, Z = 400000 км;

· X = -566256 км, Y = 0 км, Z = 600000 км;

Затем для 360 точек каждой орбиты были интерполированы направления неустойчивости исходя из данных, полученных выше, после чего была вычислена разница между рассчитанным значением направления неустойчивости и интерполированным Наибольшие отклонения для данных орбит составили 0.008°, 0.0097° и 0.007° соответственно.

3.6 Имитационное моделирование движения КА на гало-орбите с учетом направления неустойчивости

Направление неустойчивости является направлением, исполнение импульса в котором наиболее эффективно. На основе методики, изложенной в разделе 4, был создан сценарий GMAT, позволяющий моделировать движение КА на гало-орбите с исполнением импульсов в направлении неустойчивости.

Как было сказано выше, в реальности существуют технические ограничения на точность определения вектора состояния КА и выдачу корректирующего импульса. Поэтому при планировании миссии важно рассчитать, как изменится импульс после учета технических ограничений. В табл. 2 приведены результаты расчетов для различных гало-орбит с начальными координатами Z=200000 км, 400000 км и 600000 км и различными направлениями выдачи импульса (в=0°, в=28°, в совпадает с направлением неустойчивости, рассчитанном в п.4.2, в совпадает с направлением неустойчивости, рассчитанном в п.4.4). Считалось, что импульс совершается 1 раз в 40 дней, всего было исполнено 100 коррекций.

Таблица 2. Суммарный импульс для различных направлений выдачи импульса.

Из табл. 2 видно, что наименее эффективно совершать импульсы в направлении оси Солнце-Земля. Использование интерполяции направления неустойчивости, описанной в п. 4.2, несмотря на то что она не учитывает зависимость направления неустойчивости от координаты Z, позволяет достичь заметной экономии суммарного импульса. Использование направления неустойчивости, рассчитанного для гало-орбит (п. 4.4) позволяет достичь существенной экономии топлива (по сравнению с исполнением корректирующих импульсов в направлении Солнце-Земля): 16%, 18% и 22% для орбит с начальной координатой Z = 200000 км, Z = 400000 км, Z = 600000 км соответственно.

Также вызывает интерес исследование гало-орбит с большими амплитудами. В частности, через несколько лет планируется запуск КА «Спектр-М» («Миллиметрон»). Этот аппарат является космическим комплексом для астрофизических исследований в миллиметровом, субмиллиметровом и инфракрасном диапазонах электромагнитного спектра. «Миллиметрон» планируется разместить на квазипериодической орбите вокруг точки L₂ системы Солнце-Земля.

Для успешной реализации научной миссии проекта требуется, чтобы аппарат находился на орбите, обеспечивающей выход КА из плоскости эклиптики более чем на 1 млн км [21]. Также для корректной работы аппарата требуется, чтобы аппарат пребывал в конусе тени Земли не более одного часа [19]. В связи с этими ограничениями разработчиками миссии было решено вывести КА на гало-орбиту.

Разработанные в ходе данного исследования алгоритмы позволяют рассчитать номинальную орбиту с достаточно большой амплитудой по оси Z, исследовать направления неустойчивости в различных точках орбиты, а также рассчитать орбиту с учетом погрешности определения параметров КА и выдачи корректирующего импульса.

На рис. 43-45 представлены проекции движения КА на гало-орбите. Данная орбита обеспечивает выход аппарата из плоскости эклиптики на 1019017 км в отрицательном направлении оси Z и на 667608 км в положительном направлении оси Z.