Материал: Исследование электрофизических свойств полупроводниковых материалов

Из формулы (1.3.4), учитывая закон действующих масс , получим:

                  (1.3.5)

где E_g = E_C - E_V - ширина запрещенной зоны. Таким образом, скорость рекомбинации R₀ будет больше в узкозонных полупроводниках и при высоких температурах.

Если в полупроводнике нет электрического тока и объемных зарядов, то изменение во времени неравновесных концентраций электронов и дырок в зонах определяется уравнениями:

 (1.3.6)

Скорости (темпы) генерации и рекомбинации имеют две составляющие:

 (1.3.7)

 (1.3.8)

где DG, DR - темпы генерации и рекомбинации только неравновесных электронов, т.е. DG - это темп генерации электронов и дырок за счет освещения полупроводника, R₀ = γn₀p₀ и ΔR = γΔnΔp. Используя равенства (1.3.1), (1.3.2) и (1.3.4), уравнение (1.3.6) можно свести к следующему:

 (1.3.9)

Рассмотрим процесс рекомбинации неравновесных носителей заряда (т.е. при выключении освещения в момент времени t = 0). Общее решение уравнения (1.3.9) довольно сложное. Поэтому рассмотрим два частных случая.

В собственном полупроводнике при сильном освещении концентрация избыточных электронов много больше суммы концентраций равновесных электронов и дырок Δn >>n₀ +p₀. Из (1.3.9) получим:

 (1.3.10)

где n₀ - начальная концентрация неравновесных носителей заряда. Спад концентрации происходит по гиперболическому закону.

В донорном полупроводнике в случае полной ионизации доноров n₀ = N_D, p₀ << n₀. Будем также считать, что концентрация неравновесных носителей существенно меньше концентрации основных носителей n << n₀. Это условие часто называют критерием низкого уровня инжекции. Отметим, что при условии низкого уровня инжекции проводимость, а следовательно, и удельное сопротивление полупроводника не меняются.

С учетом критерия низкого уровня инжекции уравнение (1.3.10) сводится к виду:

 (1.3.11)

где τ_n - время жизни неосновных носителей, которое имеет следующее значение:

 (1.3.12)

Уравнение (1.3.11) легко решается:

 (1.3.13)

Величина  имеет смысл среднего времени жизни неравновесных электронов в зоне проводимости. Полученные решения соответствуют кривой, изображенной на рис. 1.3.2. Из формулы (1.3.13) видно, что процесс рекомбинации описывается экспоненциальной зависимостью от времени, причем среднее время жизни представляет собой такой отрезок времени, за который концентрация избыточных носителей изменяется в «е» раз.

Неравновесные носители заряда появляются только в том случае, если энергия фотонов при освещении полупроводника превышает ширину запрещенной зоны (h > E_g).

Рис. 1.3.2. Спад неравновесной концентрации электронов во времени в донорном полупроводнике

1.4 Собственные полупроводники

Собственный полупроводник - это полупроводник без донорных и акцепторных примесей или с концентрацией примеси настолько малой, что она не оказывает существенного влияния на удельную проводимость полупроводника. В собственном полупроводнике при температуре абсолютного нуля отсутствуют носители заряда, так как валентная зона полностью занята электронами (там нет дырок), а в зоне проводимости нет электронов.

При температурах выше абсолютного нуля некоторые электроны валентной зоны могут быть переброшены в зону проводимости - возможна тепловая генерация пар носителей заряда, в зоне проводимости появляются свободные электроны, а в валентной зоне - дырки. Процесс тепловой генерации возможен даже при очень низких температурах из-за значительных флуктуаций (отклонений) энергий тепловых колебаний атомов от средней энергии тепловых колебаний атомов относительно узлов кристаллической решетки.

Кроме тепловой генерации носителей заряда в полупроводнике существует и их рекомбинация, и эти процессы при любой температуре взаимно уравновешены. При этом в собственном полупроводнике существует собственная концентрация электронов, которая может быть выражена соотношением:

                       (1.4.1)

Формула для собственной концентрации дырок аналогична:

        (1.4.2)

Эффективные плотности уровней в зоне проводимости и в валентной зоне определяются соотношениями:

             (1.4.3)

             (1.4.4)

где - эффективные массы электронов и дырок (смысл этих параметров рассмотрен далее); h-постоянная Планка.

Так как в собственном полупроводнике носители заряда образуются в результате ионизации собственных атомов полупроводника, т.е. благодаря перебросу электронов из валентной зоны в зону проводимости, то одновременно возникает два носителя заряда противоположных знаков. Поэтому

         (1.4.5)

Определим положение уровня Ферми для собственного полупроводника.

При небольшом различии эффективных масс электронов и дырок

     (1.4.6)

т.е. в собственном полупроводнике приближенно можно считать, что уровень Ферми расположен посередине запрещенной зоны.

Приняв в данном случае для простоты начало отсчета энергии от потолка валентной зоны, т.е. , собственные концентрации носителей можно выразить через ширину запрещенной зоны :

      (1.4.7)

      (1.4.8)

1.5 Примесные полупроводники

Большинство полупроводниковых приборов изготовляют на основе примесных полупроводников, т.е., полупроводников, электрические характеристики которых определяются донорными или акцепторными примесями. Таким образом, в рабочем диапазоне температур полупроводникового прибора поставщиками основного количества носителей заряда в полупроводниковом материале должны быть примеси. Поэтому в практике важное значение имеют такие полупроводниковые материалы, у которых ощутимая собственная концентрация носителей заряда появляется при возможно более высокой температуре, т.е. полупроводники с достаточно большой шириной запрещенной зоны.

В элементарных полупроводниках, состоящих в основном из атомов одного химического элемента, примесями являются чужеродные атомы. В полупроводниковых соединениях и твердых растворах, состоящих из атомов двух или большего числа химических элементов, примесями могут быть не только включения атомов посторонних химических элементов, но и избыточные по отношению к стехиометрическому составу атомы химических элементов, входящих в химическую формулу сложного полупроводника.

Такую же роль, как примеси, могут играть различные дефекты кристаллической решетки: пустые узлы, дислокации или сдвиги, возникающие при пластической деформации кристалла, и т.д.

Рассмотрим роль примесей, атомы которых создают дискретные энергетические уровни в пределах запрещенной зоны полупроводника. При небольшой концентрации примесей их атомы расположены в полупроводнике на таких больших расстояниях друг от друга, что не взаимодействуют между собой. Поэтому нет расщепления примесных уровней. Вероятность непосредственного перехода электронов от одного примесного атома к другому ничтожно мала, т.е. с точки зрения зонной теории ничтожно мала вероятность перехода электрона с одного дискретного примесного уровня на другой.

При большой концентрации примесей в результате взаимодействия примесных атомов между собой примесные уровни одного типа расщепляются в энергетическую примесную зону. Электроны, находящиеся в примесной зоне, так же как в зоне проводимости и в валентной зоне при неполном их заполнении, могут переходить с уровня на уровень, приобретая необходимую для этого энергию за счет ускорения во внешнем электрическом поле на длине свободного пробега.

Примеси могут быть донорного и акцепторного типа.

Донор - это примесный атом или дефект кристаллической решетки, создающий в запрещенной зоне энергетический уровень, занятый в невозбужденном состоянии электроном и способный в возбужденном состоянии отдать электрон в зону проводимости.

Акцептор - это примесный атом или дефект кристаллической решетки, создающий в запрещенной зоне энергетический уровень, свободный от электрона в невозбужденном состоянии и способный захватить электрон из валентной зоны в возбужденном состоянии.

Доноры и акцепторы в полупроводнике могут быть ионизированы под действием энергии, поступающей в кристалл в виде квантов света, теплоты и т.д.

Под энергией ионизации донора понимают минимальную энергию, которую необходимо сообщить электрону, находящемуся на донорном уровне, чтобы перевести его в зону проводимости.

Энергия ионизации акцептора - это минимальная энергия, которую необходимо сообщить электрону валентной зоны, чтобы перевести его на акцепторный уровень.

Энергия ионизации примесных атомов значительно меньше энергии ионизации собственных атомов полупроводника или ширины запрещенной зоны. Поэтому в примесных полупроводниках при низких температурах преобладают носители заряда, возникшие из-за ионизации примесей. Если электропроводность полупроводника обусловлена электронами, его называют полупроводником п-типа, если электропроводность обусловлена дырками - полупроводником р-типа.

Обычно в полупроводниках присутствуют как доноры, так и акцепторы. Полупроводник, у которого концентрация доноров равна концентрации акцепторов, называют скомпенсированным.

Соотношения для концентрации электронов и дырок можно преобразовать, приняв  и учтя соотношения (1.4.7) и (1.4.8):

      (1.5.1)

                   (1.5.2)

Из преобразования соотношения для концентрации электронов и дырок следует:

               (1.5.3)

т.е. в невырожденном полупроводнике произведение концентраций свободных электронов и дырок при термодинамическом равновесии есть постоянная величина, равная квадрату собственной концентрации при данной температуре.

Соотношение (1.5.3) справедливо для невырожденного полупроводника, т.е. для полупроводника, у которого уровень Ферми расположен в запрещенной зоне достаточно далеко (на 2-3 kT) от дна зоны проводимости или от потолка валентной зоны, так как только при этих условиях можно пользоваться функцией распределения Максвелла - Больцмана.

Соотношение (1.5.3) обычно называют законом действующих масс в соответствии с терминологией химической термодинамики (константа химического равновесия выводится из закона действующих масс).

1.6 Определение удельного сопротивления полупроводников

Удельное сопротивление полупроводника является одним из важных электрических параметров, который учитывается при изготовлении полупроводниковых приборов. Для определения удельного сопротивления полупроводников наиболее распространенными являются два метода: двух- и четырехзондовый. Эти методы измерения принципиального отличия друг от друга не имеют. Кроме этих контактных (зондовых) методов измерения удельного сопротивления, в последние годы применяются бесконтактные высокочастотные методы, в частности емкостный и индукционный, особенно для полупроводников с высоким удельным сопротивлением.

В микроэлектронике для определения удельного сопротивления широко используют четырехзондовую методику в связи с ее высокими метрологическими показателями, простой реализации и широкого круга изделий, в которых можно контролировать данную величину (полупроводниковые пластины, объемные монокристаллы, полупроводниковые слоистые структуры).

Метод основан на явлении растекания тока в точке контакта металлического острия зонда с полупроводником. Через одну пару зондов пропускается электрический ток, а вторая используется для измерения напряжения. Как правило, используются два типа расположения зондов - в линию или по вершинам квадрата.

Соответственно, для данных типов расположений зондов используются следующие расчетные формулы:

.   Для расположения зондов в линию на равных расстояниях:

         (1.6.1)

.   Для расположения зондов по вершинам квадратов:

        (1.6.2)

В случае, если необходимо учитывать геометрические размеры образцов (если не выполняется условие d, l, h>>s), в формулы вводятся поправочные коэффициенты, приведенные в соответствующих таблицах.

Если в полупроводнике создать градиент температуры, в нем будет наблюдаться градиент концентраций носителей заряда. В результате возникнет диффузионный поток носителей заряда и связанный с ним диффузионный ток. В образце возникнет разность потенциалов, которую принято называть термоЭДС.

Знак термоЭДС зависит от типа проводимости полупроводника. Так как в полупроводниках два типа носителей заряда, диффузионный ток складывается из двух составляющих, а знак термоЭДС зависит от преобладающего типа носителей заряда.

Установив знак термоЭДС с помощью гальванометра, можно сделать вывод о типе проводимости данного образца.

1.7 Температурная зависимость электропроводности полупроводников

Электропроводность полупроводников зависит от концентрации носителей заряда и их подвижности. Учитывая зависимость концентрации и подвижности носителей заряда от температуры, удельную электропроводность собственного полупроводника можно записать в виде

  (1.7.1)