Материал: Исследование цифрового рекурсивного фильтра

Рисунок 4 - Характеристика квантования для 4-х разрядного ЦАП

Элементы задержки в ЦФ

Числовая информация поступает на вход фильтра с задержкой T. С такой же задержкой на его выходе появляются числа - отсчеты входного сигнала. Особенность работы ЦФ заключается в том, что отсчет входного сигнала в любой данный момент Т зависит не только от входного отсчета в этот же момент. Он определяется также значениями некоторого количества предшествующих входных и выходных отсчетов. Количество предшествующих отсчетов определяет порядок фильтра. Так, в фильтре 1-го порядка, кроме текущего, учитывается один предшествующий отсчет, в фильтре 2-го порядка - два, и т.д. Поэтому в состав ЦФ обязательно входят элементы кратковременной - на несколько тактов Т - задержки (запоминания) цифровой информации. Обычно это так называемый параллельный регистр на тактируемых фронтом D-триггерах (рисунок 5). Каждый разряд некоторого двоичного числа поступает на отдельный триггер, записывается в него в момент очередного тактового импульса и сохраняется до прихода следующего.

Рисунок 5 - Параллельный регистр на тактируемых D-триггерах

Описание лабораторного макета

Лабораторный макет (функциональная схема на рисунке 10) состоит из 4-х разрядных АЦП и ЦАП и рекурсивного ЦФ верхних частот 1-го порядка. Для синхронизации работы схем в макет встроен генератор тактовых импульсов ГТИ с частотой . Для проверки работоспособности и измерения некоторых характеристик ЦФ предусмотрена возможность имитации синхронизирующих импульсов в ручном режиме работы. Их вырабатывает в момент нажатия кнопки "ПУСК ГОИ" (в режиме "ручн.") генератор одиночных импульсов - ГОИ. Кн. "СБРОС" предназначена для первоначальной очистки памяти ЦФ. На гнезда коммутатора выведены контрольные точки схемы ЦФ. В этих точках можно "прочитать" величину 4-х разрядного числа в дополнительном двоичном коде. Символом V помечен старший (знаковый) разряд. Для визуальной проверки работы ЦФ в режиме ручного запуска в макете имеется 4-разрядный светодиодный регистр-индикатор. Входы его разрядов, выведенные на гнезда коммутатора, с помощью гибких перемычек можно подсоединять к контрольным точкам. АЦП и ЦАП выполнены на микросхемах КМОП-технологии серии К176. ЦФ собран на микросхемах ТТЛ-технологии серии К155. В режиме автоматической работы ЦФ имеет следующие параметры:

·        частота дискретизации -18 кГц;

·        граничная частота -180 Гц;

·        диапазон изменения входного напряжения - 4В + 4В;

·        пределы регулировки постоянного смещения на входе АЦП - 4В +4В. Питается макет от источника постоянного напряжения: +5В, -12В, +12В.

Исследование цифрового рекурсивного фильтра

В последнее время все чаще предпочитают проводить обработку сигналов не в аналоговой форме, а в цифровой. В ЦФ вместо аналогового сигнала обрабатывается (фильтруется) дискретный во времени сигнал , где - период дискретизации. При переходе от аналоговых фильтров к цифровым необходимо решить два вопроса:

как без потери информации представить непрерывный входной сигнал числовой последовательностью. В данной работе предполагается наличие первоначального знакомства с работой аналого-цифровых преобразователей (АЦП);

каким образом необходимо преобразовать входную числовую последовательность, чтобы добиться реализации требуемой характеристики фильтра. Это так называемая задача синтеза ЦФ с заданной характеристикой. Задача синтеза гораздо сложнее задачи анализа работы ЦФ с известной схемой, которая, собственно, и решается в данной работе на примере рекурсивного фильтра 1-го порядка. Синтез же фильтров более высоких порядков, обеспечивающих более качественные характеристики, например, большую крутизну скатов АЧХ, на практике осуществляется путем последовательного или параллельного соединения фильтров первого и второго порядков.

Теория исследуемого цифрового фильтра

Пусть в результате дискретизации непрерывного сигнала  получена последовательность равноотстоящих отсчетов его мгновенных значений . Для сокращения записи в последующих выражениях  опустим. Будем также считать, что в точках отсчета .

Будем рассматривать цифровую фильтрацию как линейное преобразование входной дискретной последовательности в выходную .

Введем вспомогательный так называемый единичный импульс, определив его следующим образом:

С помощью такого сигнала вводится важнейшая характеристика - импульсная характеристика фильтра. Импульсная характеристика - это отклик фильтра на единичный импульс. По известному входному сигналу  и известной характеристике можно найти выходной сигнал . Поясним это на примере. Дан сигнал  и фильтр с импульсной характеристикой . Первоначально найдем реакцию фильтра в момент времени на -ю выборку. Эту выборку можно представить как произведение единичного импульса, удаленного от момента  на  на .

Реакция фильтра на эту выборку:

Выходное напряжение фильтра в момент  равно сумме воздействий всех предшествующих выборок:

Простая замена переменных приводит к:

Таким образом, выходной сигнал определяется как дискретная свертка входного сигнала и импульсной характеристики фильтра. Фильтры, работающие по такому алгоритму, называют простыми или нерекурсивными. Значения являются постоянными для данного фильтра и их можно рассматривать как весовые коэффициенты . В моменты каждого отсчета ЦФ проводит операцию взвешенного суммирования всех предыдущих значений входного сигнала, причем роль последовательности весовых коэффициентов играют отсчеты импульсной характеристики.

В формировании выходного напряжения в момент  могут также участвовать значения выходного напряжения, полученные до момента . В этом случае алгоритм выглядит следующим образом:

Фильтр, работающий по этому алгоритму, называется рекурсивным. Именно такого типа фильтр исследуется в настоящей работе. Блок-схема фильтра приведена на рисунке 6а. Он содержит два сумматора, элемент задержки на время  и умножитель на некоторый постоянный коэффициент  в цепи обратной связи. Это фильтр 1-го порядка, т.к. порядок определяется числом элементов задержки на время .

Для определения импульсной характеристики исследуемого фильтра, подадим на его вход единичный импульс. В тот же момент  через правый сумматор этот импульс без изменения величины проходит на выход фильтра. Одновременно на выходе левого сумматора формируется импульс т.к.  то. Этот импульс, пройдя элемент задержки , появится на выходе правого сумматора в момент  когда входной сигнал фильтра равен 0 . Поэтому . Дальнейшие отсчеты выходного сигнала (рисунок 6б) определяются его циклическим обращением по цепи обратной связи с уменьшением после каждого оборота в результате умножения на коэффициент . Бесконечная импульсная характеристика имеет аналитическое выражение:

В частотной области фильтр однозначно характеризуется комплексным коэффициентом передачи . Связь между импульсной характеристикой и  задается выражением:

Для исследуемого фильтра:

Учитывая  и используя формулу для суммы геометрической прогрессии, это выражение приводится к виду:

Амплитудно-частотная характеристика фильтра - модуль , равен:

АЧХ для  приведена на рисунке 7. Она имеет характерную для ЦФ периодичность по частоте, равную . Поведение АЧХ на интервале  (что соответствует  позволяет заключить, что это фильтр верхних частот.

Рисунок 6 - Блок схема рекурсивного фильтра и его импульсная характеристика

Рисунок 7- АЧХ рекурсивного фильтра

До сих пор полагалось, что входные отсчеты представляются с неограниченной точностью. Однако в реальных фильтрах необходимо, как минимум, учитывать шумы (погрешности) АЦ- преобразования.

Как уже отмечалось (см. часть 1 данной работы), в результате квантования по уровню точное значение отсчета аналогового сигнала заменяется значением некоторого квантованного уровня. Обычно используется значение ближайшего меньшего уровня. Такая операция называется усечением или округлением, а возникающая погрешность  - погрешностью усечения. Последовательность  имеет случайный характер с равномерным распределением плотности вероятности. При шаге квантования  среднее значение ошибки равно , а дисперсия .

Можно считать, что каждый отсчет входного сигнала на входе фильтра равен сумме квантованного сигнала и ошибки квантования:

Пользуясь свойством линейности системы, представим выходной сигнал в следующем виде:

Здесь * - символ свертки.

Вклад ошибки квантования принято оценивать отношением мощности сигнала к мощности шума квантования, равной его дисперсии . Дисперсия шума на выходе фильтра связана с дисперсией на входе соотношением:

где  Для исследуемого фильтра

.

При выбранном для этого фильтра значения шум практически без изменения передается на выход фильтра.

Сделаем еще одно замечание. Очевидно, что величину шума квантования можно уменьшить за счет увеличения разрядности АЦП. Однако необходимо учитывать следующее. Любые аналоговые сигналы всегда сопровождаются шумом, т.е. входной сигнал АЦП уже имеет конечное отношение сигнал-шум. Это означает, что никакое увеличение разрядности не позволит получить на его выходе отношение сигнал - шум большее, чем в исходном аналоговом сигнале.

Действительно, если значительно меньше амплитуды сигнала, младшие разряды последовательности отсчетов будут всего лишь более точно описывать шум, сопровождающий аналоговый сигнал. А потому увеличение числа разрядов АЦП сверх некоторой величины приводит лишь к увеличению точности представления входного шума.

После преобразования в ЦФ выходной сигнал , как правило, вновь превращается в аналоговый помощью цифро-аналогового преобразователя (ЦАП). Хотя такое преобразование непосредственно не является составной частью алгоритма ЦФ, понимание природы погрешностей, вносимых им, совершенно необходимо при анализе и синтезе ЦФ. Во временной области ЦАП описывается импульсной характеристикой

Наиболее просто реализовать ЦАП с импульсной характеристикой в виде прямоугольного импульса длительностью Т. На рисунке 8 в качестве примера изображены последовательность  представляющая дискретную синусоиду, и соответствующий ей аналоговый сигнал на выходе такого ЦАП. Видно, что выходное аналоговое колебание содержит большое количество нежелательных высокочастотных составляющих. Для их подавления после ЦАП включают аналоговый фильтр НЧ с частотой среза . Однако это не устраняет искажения частотной характеристики ЦФ, вносимого ЦАП. Дело в том, что ЦАП с прямоугольной импульсной характеристикой имеет АЧХ, описываемую выражением: