Материал: Иродов. т5 Квантовая физика Основные законы. 2014, 256с

Здесь слева записана энергия -частицы вдали от ядра, а справа — при максимальном сближении с ядром.

Из формул (1) и (2) приходим к квадратному уравнению относительно rмин:

где учтено, что согласно (2.1) qq0/2bK tg( /2). В окончательном виде (4) запишем так:

2.3.Формула Резерфорда. Узкий пучок протонов, скорость которых v 6 106 м/с, падает нормально на серебряную (Z 47) фольгу толщиной d 1,0 мкм. Найти вероятность рассеяния протонов в заднюю полусферу ( > 90!). Плотность серебра ( 10,5 г/см3.

Р е ш е н и е. Искомая вероятность P равна относительному числу протонов, рассеянных в заднюю полусферу:

где правая часть этой формулы записана согласно (2.9), причем

# — эффективное сечение, соответствующее рассеянию под углами > 90!. Это сечение # b02, где b0 — прицельный параметр, при котором 0 90!. Ясно, что все протоны с прицельным параметром, меньшим b0, рассеятся под углами > 0.

Используя формулу (2.1), получим:

на единицу поверхности фольги n n0d, где n0 — концентрация ядер (их число в единице объема). После подстановки полученных выражений в (1) находим, что

P n0dZe2/mv2 0,006.

Здесь n0 NA (d/M, NA — постоянная Авогадро, М — молярная масса серебра.

2.4.Узкий пучок -частиц с кинетической энергией K 0,60 МэВ падает на золотую фольгу, содержащую n 1,1 · 1019 ядер/см2.

Найти относительное число -частиц, рассеивающихся под углами < 0, где 0 20!.

Р е ш е н и е. Непосредственно использовать формулу Резерфорда для этого интервала углов мы не можем, поскольку для углов, меньших порядка 3! она, как было сказано ранее, несправедлива. Поэтому искомую величину представим так:

N

N

1 – n ( 0) 1 – n b02, (1)

где b0 — прицельный параметр, соответствующий углу рассеяния0. Величину b0 находим с помощью формулы (2.1):

Подстановка (2) в (1) дает

2.5. Классическое время жизни атома. Оценить промежуток времени

), за который электрон, движущийся вокруг ядра атома водорода (протона) по окружности радиуса r0 0,53 · 10–8 см, упал бы на ядро из-за потери энергии на излучение.

Р е ш е н и е. Для простоты будем считать, что в любой момент падения на ядро электрон движется равномерно по окружности. Тогда, согласно 2-му закону Ньютона, mv2/r e2/r2, откуда кинетическая энергия

и полная энергия электрона в поле ядра

В соответствии с классической электродинамикой, потеря энергии заряженной частицы на излучение в единицу времени опреде-

2.6.Квантование. Частица массы m движется по круговой орбите в центрально-симметричном поле, где ее потенциальная энергия зависит от расстояния r до центра поля как U kr2/2, k — постоянная. Найти с помощью боровского условия квантования возможные радиусы орбит и значения полной энергии частицы в данном поле.

где cправа написана проекция силы на нормаль n к траектории. Согласно правилу квантования (2.18) имеем:

Из этих двух уравнений находим возможные значения r:

Возможные значения полной энергии

где приняты во внимание формулы (2) и (3).

2.7.Атом водорода. Покоившийся атом водорода испустил фотон, соответствующий головной линии серии Лаймана. Найти:

а) скорость отдачи, которую получил атом;

б) отношение кинетической энергии атома отдачи к энергии испущенного фотона.

Р е ш е н и е. а) В этом процессе атом приобрел импульс p, равный импульсу вылетевшего из него фотона:

Кроме того, энергия возбуждения E* атома распределилась между энергией фотона и кинетической энергией атома, испытавшего отдачу:

E* h p2/2m,

где E* hR (1 – 1/22) (3/4) hR.

Из этих трех формул находим

m v 2 mcv 3 R 0,

24

откуда следует, что скорость отдачи атома

v 3 R 3,27 м/с, 4 mc

здесь m — масса атома.

б) Искомое отношение с учетом (*) равно

т. е. оказывается величиной чрезвычайно малой, и поэтому энергией отдачи атома, как правило, пренебрегают.

2.8.Водородоподобная система. При каком наименьшем значении приращения внутренней энергии иона Не+, находящегося в основном состоянии, он смог бы испустить фотон, соответствующий головной линии серии Бальмера?

Р е ш е н и е. Из рис. 2.7 следует, что для этого ион необходимо возбудить на уровень с n 3. Именно в этом случае может быть испущен указанный фотон (при переходе с n 3 на n 2).

2.9. У какого водородоподобного иона разность длин волн между головными линиями серий Бальмера и Лаймана 59,3 нм?

Р е ш е н и е. Запишем выражение для частот этих линий. Согласно (2.26) и (2.27) имеем:

Это двукратно ионизированный атом лития, Li++.

2.10.Энергия связи электрона в атоме Не равна E0 24,6 эВ. Найти минимальную энергию, необходимую для последовательного удаления обоих электронов из этого атома.

Р е ш е н и е. На первый взгляд кажется, что это 2Е0. Но это не так. После удаления первого электрона оставшийся оказывается в кулоновском поле ядра, а значит его энергия связи станет больше, и потребуется большая энергия для удаления второго электрона. Таким образом, искомая энергия

Eмин E0 hRZ2 24,6 54,5 79 эВ.

Здесь величина hRZ2 — это энергия связи электрона в основном состоянии иона He+.