Материал: Гидродинамика. Уравнение Эйлера и Бернулли. Гидродинамическое подобие потоков. Потери напора и энергии в потоке

Для двух поперечных сечений трубопровода 1-1 и 2-2 уравнение (1.11) можно записать так (рис 1.4):

 (1.12)

Рис 1.4 - Схема трубопровода

Величина  является полным гидродинамическим напором.

Здесь z, как раньше уже отмечалось, - нивелирная, или геомет-рическая, высота, р/(ρg) - статический пьезометрический напор, скоростной, или динамический, напор, который характеризует удельную кинетическую энергию в данной точке жидкости. Единицы измерения динамического напора, как и остальных членов уравнения Бернулли, 1 м или 1 Н∙м/Н.

Таким образам, из уравнений (1.11) и (1.12) следует, что при установившемся движении идеальной жидкости гидродинамический напор остается постоянным для любого сечения потока. Имея в виду энергетический смысл каждого члена уравнения Бернулли, можно утверждать, что при установившемся движении идеальной жидкости сумма потенциальной  и кинетической  энергии жидкости есть величина постоянная для любого поперечного сечения потока.

При изменении поперечного сечения потока происходит переход потенциальной энергии в кинетическую и наоборот. Уравнение Бернулли выражает частный случай закона сохранения энергии и является уравнением энергетического баланса потока идеальной жидкости.

Рассмотрим поток идеальной жидкости, движущейся в трубопро-воде переменного сечения. В сечениях 1-1 и 2-2 (рис. 1.5) нивелирные высоты будут равны соответственно z₁ и z₂, а площади поперечных сечений - f₁ и f₂. Установим в этих сечениях пьезометрические трубки и трубки Пито. Как известно, с помощью пьезомтрических трубок измеряют статический напор (линия Р-Р). Жидкость поднимается в пьезометрических трубках на высоты, соответствующие статическому напору  и  Трубки Пито представляют собой пьезометрические трубки, у которых

Рис 1.5 - Диаграмма Бернулли для идеальной жидкости

нижний конец загнут навстречу потоку жидкости. Используют трубки Пито для измерения полного гидродинамического напора.

Разность высот, измеряемых трубкой Пито и обычной пьезометрической трубкой, равна , представляет собой высоту, соответствующую скоростному напору.

Так как f₁>f₂, то согласно уравнению неразрывности потока . Но полный гидродинамический напор

Зная z₁ и z₂, можно определить скоростной напор в каждом сечении по разности уровней жидкости в обычных пьезометрических трубках и трубках Пито.

Измерив высоту, соответствующую скоростному напору, можно найти скорость движения жидкости в той точке, в которой расположен загнутый наконечник трубки Пито:

где h - высота, соответствующая скоростному напору.

Уравнение Бернулли для потока идеальной жидкости немного видоизменяется, т.к. реальная жидкость в отличие от идеальной обладает вязкостью. Вязкость обусловливает возникновение в потоке жидкости сил внутреннего трения, которые оказывают гидравлическое сопротивление движению жидкости. На преодоление возникающего сопротивления расходуется часть потенциальной энергии потока (так называемый потерян-ный напор). Поэтому общий гидродинамический напор будет непрерывно уменьшаться по длине потока.

Рассмотрим движение струйки вязкой жидкости в трубопроводе, изображенном на рис. 1.6.

Рис 1.6 - Диаграмма Бернулли для вязкой жидкости

В общем случае баланс энергии при движении вязкой жидкости запишется так:

 (1.13)

где h_п - потерянный напор, который характеризует энергию, израсходованную на преодоление гидравлического сопротивления.

Из уравнения (1.13) получим

 (1.14)

Пьезометрическим уклоном называют падение потенциальной энергии на единицу длины потока:

где l - расстояние между сечениями I-I и 2-2 на рис. 1.6.

Гидродинамический (гидравлический) уклон представляет собой падение гидродинамического напора также на единицу длины потока:

Для горизонтального постоянного сечения трубопровода w₁=w₂; z₁=z₂. В этом случае уравнение (1.14) можно переписать так:

Таким образом, движущая сила - перепад давлений - расходуется на преодоление гидравлического сопротивления, а гидродинамический и пьезометрический уклоны одинаковы по величине и направлению.

Гидродинамическое подобие потоков

Движение вязкой жидкости, как и любое сложное явление природы, может быть описано чисто теоретически с помощью дифференциальных уравнений. Эти уравнения описывают целый класс однородных по своей сущности явлений, и для применения их к конкретному условию они должны быть ограничены так называемыми условиями однозначности (геометрическими, физическими, граничными и начальными). Сложность основных уравнений гидродинамики, например уравнений Навье-Стокса, приводит к тому, что для многих практических задач не удается найти точное аналитическое решение, или же оно оказывается очень громоздким.

Совокупность параметров, обуславливающих какой-либо гидродинамический процесс, можно рассматривать как конкретное решение дифференциальных уравнений этого процесса. Ему соответствует вполне конкретные начальные и граничные условия. Они представляют собой зависимости или константы, определяющие физические параметры в начальный момент и на границах во время движения. Следовательно, не только уравнения процесса, но также безразмерные формы начальных и граничных условий подобных потоков должны быть одинаковыми. Имея это в виду, запишем уравнения Навье-Стокса для несжимаемой жидкости:

где р - давление; μ - динамическая вязкость; w - скорость; ρ - плотность; τ - время.

В этом уравнении первый член характеризует изменение давления потока в направлении оси абсцисс, второй член - силу трения, третий - силу тяжести, четвертый и пятый - силы инерции. Учитывая физический смысл членов уравнения, запишем

где Р - сила давления; Т - сила трения; G - сила тяжести; I₁ и I₂ - силы инерции.

При расчете трубопроводов представляют интерес соотношения следующих сил: давления и инерции Р/I₁, инерции и трения I₁/Т, тяжести и инерции G/I₁ и, наконец, соотношение инерционных сил I₁/I₂.

Применим метод получения критериев подобия. Из соотношения сил инерции и трения получим безразмерный комплекс w_xρ/μ, который называется критерием Рейнольдса и характеризует гидродинамическое подобие:

Здесь d - диаметр трубопровода; d является характерным линейным размером.

Из соотношения сил давления и инерции получим критерий Эйлера:

а из соотношения сил тяжести и инерции - критерий Фруда:

Отношение сил инерции позволяет получить критерий гомохронности Ho=wτ/d, который характеризует временнόе подобие в нестационарных процессах.

Полученные критерии подобия, за исключением критерия Эйлера, состоят только из параметров, входящих в условия однозначности, следовательно, они являются определяющими, а критерии Эйлера - определяемым (давление не входит в условия однозначности и является искомой величиной).

На основании второй теоремы подобия связь между критериями представим в виде критериального уравнения

где Г=l/d - параметрический критерий; l - длина трубопровода.

Для стационарного процесса из уравнения следует исключить критерий гомохронности Но:

В случае развитого турбулентного режима силы тяжести не оказывают влияния на движение жидкости и уравнение имеет вид

 (1.15)

или

где Δр - потерянный напор в трубопроводе длиной l, H/м².

Умножим и разделим правую часть уравнения на 2.

Тогда Δp=f₃(wdρ/μ; l/d)(ρw²/2).

Вынесем симплекс l/d из-под знака функции:

Обозначим f₄(wdρ/μ) через λ и окончательно получим уравнение, которое называется уравнением Дарси - Вейсбаха и является основным при расчете трубопроводов:

 (1.16)

Если разделим левую и правую части уравнения (1.16) на ρg, то получим потерянный напор в трубопроводе (в м)

 (1.17)

Коэффициент гидравлического сопротивления λ в этих уравнениях в общем случае зависит от режима движения жидкости н относительной шероховатости трубы.

Вид расчетной формулы для коэффициента гидравлического сопротивления определяют на основании экспериментальных данных [5].

2. Описание и анализ аппаратов гидродинамических процессов

Эже́ктор - (от éjecter - выбрасывать от лат. ejicio) - устройство, в котором происходит передача кинетической энергии от одной среды, движущейся с большей скоростью, к другой. Эжектор, работая по закону Бернулли, создаёт в сужающемся сечении пониженное давление одной среды, что вызывает подсос в поток другой среды, которая затем переносится и удаляется от места всасывания энергией первой среды.

Эжекторы используются в струйных насосах, например водоструйных, жидкостно-ртутных, паро-ртутных, паромасляных.

Рис 2.1 - Схема эжектора,

где l_к - длина камеры смешения (КС); l_с - расстояние от КС до сопла; ????_д - угол раскрытия; n_д - угол уширения диффузора; Р_р - давление, подаваемое насосом; Q_p - расход активной струи; Р_n - давление на входе подсасываемой жидкости, Р_в - на выходе из эжектора; F_k и F_c - соответственно площади сечений в конце КС и среза сопла; W_с - скорость истечения струи; d_c - диаметр среза сопла

К газоструйным эжекторам относятся струйные аппараты со степенью сжатия более 2,5. При такой степени сжатии оптимальной является коническая форма камеры смешения. Наибольшее распространение газоструйные эжекторы получили в конденсационных установках паровых турбин, где пароструйные эжекторы служат для создания и поддержания давления в конденсаторе около 3-10 кПа, а также в пароэжекторных холодильных установках, где для охлаждения воды до 4-6 °С необходимо поддерживать давление в испарителе около 1 кПа.

Для увеличения производительности и сохранения большой степени сжатия в газоструйных эжекторах камера смешения в этих аппаратах выполняется из двух частей: развитой конической сужающейся части (конфузора) и последующей цилиндрической части (горловины).

На рис. 2.2 схематически изображен профиль проточной части эжектора этого типа и указаны основные обозначения. Выходное сечение рабочего сопла условно совмещено с входным сечением камеры смешения, состоящей из конической и цилиндрической частей:

Рис 2.2 - Профиль проточной части и изменение давления по длине эжектора: А - рабочее сопло; В - конический участок камеры смешения; С - цилиндрический участок КС; D - диффузор.

Согласно условиям f_р2=f_р1; w_р2=w_р1 при расчетном режиме р_р2=р_р1=р_н

β = f₂/f₃ - отношение сечений начала и конца конической части камеры смешения;

 (2.1)

П_3Г=р_Г/р₃ - отношение давлений в начале и в конце цилиндрической части камеры смешения. Угол конусности конфузора на основании многочисленных испытаний, проведенных в основном турбостроительными заводами - изготовителями пароструйных эжекторов конденсационных установок, обычно принимается равным 5-7°, значения β=f₂/f₃ лежат в пределах 2-3. Газоструйные эжектора без диффузора используются в случаях, когда необходимо получить после эжектора сжатый поток, движущийся с большой скоростью. В этом случае давление в конце цилиндрической камеры смешения р₃ устанавливается равным давлению р_с в пространстве, куда вытекает поток. Скорость смешанного потока на выходе из камеры равна λ_сз. Достижимые коэффициенты инжекции и степени сжатия струйных эжекторов без диффузоров меньше, чем для аппаратов с диффузорами. Основной геометрический параметр "бездиффузорного" газоструйного эжектора определяется расчетом.

Пароструйные эжекторы,. служащие для отсоса паровоздушной смеси из конденсатора, при нормальной работе турбины должны обеспечить общую степень повышения давления примерно 20-30 (с 3-5 до 100 кПа). Поэтому они выполняются, как правило, двух- или трехступенчатыми (см. рис. 2.3). В первой ступени давление отсасываемой из конденсатора паровоздушной смеси повышается в 4-5 раз, например с 4 до 20 кПа, после чего она поступает в промежуточный холодильник, а затем во вторую ступень эжектора, где давление ее повышается до атмосферного.

Рис. 2.3 - Принципиальная схема трехступенчатой паровоздушной струйной установки:

Э₁-Э₃ - струйные эжекторы соответственно первой, второй и третьей ступеней; X1 - ХЗ - холодильники соответственно первой, второй и третьей ступеней; К - конденсатор, из которого отсасывается паровоздушная смесь; П - коллектор рабочего пара; Д₁-Д₃ - дренажи конденсата из холодильников соответственно первой, второй и третьей ступеней.

В трехступенчатом эжекторе сжатие смеси протекает аналогично, с той только разницей, что оно распределяется между тремя последовательно включенными ступенями, причем и в этом случае за каждой ступенью эжектора имеются холодильники. Характеристики многоступенчатого эжектора определяются основными размерами проточной части ступеней эжектора и эффективностью работы промежуточных холодильников.

В условиях эксплуатации основными причинами, вызывающими изменения давления всасывания эжектора, являются изменения расхода отсасываемого воздуха и температуры паровоздушной смеси. Вследствие этого наиболее удобными для практических целей являются характеристики эжектора, представленные в форме зависимости давления всасывания р_в перед ступенью эжектора от расхода сухого воздуха G_B при различных температурах отсасываемой паровоздушной смеси t_см (рис. 2.4). Аналогичный характер имеет характеристика эжектора при отсасывании сухого воздуха (рис. 2.5).