Материал: Геометричні побудови за допомогою подвійної лінійки

Звідси і випливає потрібна побудова.

Мал.1

2. Подвоїти даний кут [2,c.166] .

Побудова . Дано кут  (Мал.2).

Проведемо пряму а , паралельну  , на відстані  від  . Через точку  перетину прямої з  й точку  проводимо дві паралельна прямі в і  і буде другою стороною подвоєного кута (перша сторона ).

Мал.2

.        Провести серединний перпендикуляр до даного відрізка  [2,c.167].

Побудова:

1)      Через точки  і  (Мал. 3) проводимо дві пари паралельних прямих.  є серединним перпендикуляром .

Доведення . Перерізом двох смуг однакової ширини є ромб . Діагоналі ромба взаємно перпендикулярні й діляться точкою перетину навпіл.

Отже ,  .

Мал.3

4. Через дану поза прямою точку провести пряму , паралельну даній [2,c.167].

Побудова :

1) До даної прямої М1С1 (мал.4) через дану точку А під довільним кутом проведемо пряму АА1 .

2)      До прямої АА1 можна провести безліч паралельних прямих, що лежать на відстані Р одна від одної. Проведемо п’ять прямих

, . Пряма  є шуканою.

Доведення.  . За теоремою Фалеса

. Аналогічно  . Тому  - середня лінія .

Мал.4

5.  Провести перпендикуляр до прямої через дану поза нею точку [2,c.168].

Побудова. Нехай дано пряму a й точку  (Мал.5)

)        Вибираємо на прямій дві довільні точки  й будуємо серединний перпендикуляр  до .

)        Через дану точку М проводимо пряму  ,паралельну . Вона і є шуканою прямою.

N Мал.5

Розглянемо кілька задач , що , як правило розв’язуються за допомогою циркуля і лінійки.

6. На даній прямій в побудувати відрізок, конгруентний з даним [2,c.168].

Аналіз. Розв’язання задачі зводиться до побудови рівнобедреного трикутника, бічною стороною якого є даний відрізок .

Побудова . Нехай дано відрізок  і пряму  (Мал.6).

)        Продовжимо відрізок  до перетину з прямою .

2)      Проводимо бісектрису утвореного кута .

3)      З точки проводимо перпендикуляр до побудованої бісектриси .

4)      Продовжуємо його до перетину з прямою  . Отримаємо рівнобедрений трикутник  . В ньому бісектриса є висотою і медіаною.

5)      З точки  теж проводимо перпендикуляр до бісектриси  до перетину з прямою b . Знову отримуємо рівнобедрений трикутник . Отже , .

Мал.6

7.      Перенести даний відрізок по прямій , на задану відстань , не роблячи поміток на лінійці [2,c.169].

Побудова . Нехай дано відрізок  і точка  (Мал.7).

)        Проведемо пряму  , паралельну .

)        Через точки  проводимо . Ці прямі перетнуть пряму m відповідно в точках  .

)        Точку  сполучаємо з точкою  .

)        Проведемо  . .

)        Відрізок  шуканий.

Мал.7

8. Побудувати квадрат за сумою сторони й діагоналі [2,c.169].

Побудова:

)        Відкладаємо відрізок , який дорівнює сумі сторони й діагоналі квадрата .

)        Будуємо кут     (прямий кут ділимо навпіл , а потім навпіл ділимо кут  )

)        З точки  проводимо перпендикуляр до перетину із стороною  кута  .

)        Проводимо серединний перпендикуляр до .

 ,  й  - вершини шуканого квадрата .

)        З точок  і  проводимо перпендикуляри до прямих  і .

Точка  - четверта вершина квадрата .

Мал.8

Доведення. Оскільки  - серединний перпендикуляр до  ,то  , . Кут  , як зовнішній до  дорівнює  , значить ,  прямокутний і рівнобедрений . Отже ,  - шуканий квадрат.

Дослідження . Оскільки за катетом і гострим кутом можна побудувати лише один прямокутний трикутник , і з точки  до  провести єдиний перпендикуляр , то задача має лише один розв’язок.

9. Побудувати центр кола, якщо він не заданий [16,c.152].

Побудова: (Мал.9)

1)      Проведемо пряму , що перетинає

коло в точках; , де  - точка перетину прямої

з колом.

)        Через точку проведемо паралельно

пряму  перетинає коло в точці .