Материал: Геометричні побудови за допомогою подвійної лінійки

Геометричні побудови за допомогою подвійної лінійки

Геометричні побудови за допомогою подвійної лінійки

ВСТУП

геометрія лінійка аксіоматика

Геометричні побудови є істотним чинником математичної освіти, вони являють собою потужне знаряддя геометричних досліджень.

Геометричні задачі на побудову зародилися ще в стародавній Греції в часи Евкліда і Платона.

Багато уваги приділяли конструктивним задачам творці сучасної математики : Декарт , Ферма , Ньютон , Паскаль , Ейлер , Гаус та ін..

У ХVII- XIX сс. розробляється теорія геометричних побудов за допомогою різних інструментів, відмінних від прийнятих древніми. Вже Леонардо да Вінчі розглядав побудови за допомогою лінійки та циркуля постійного розмаху. Данець Мор (1672), італієць Маськероні (1797), зробили великий внесок в розвиток теорії геометричних побудов .

Давно досліджувалося питання про можливість побудов за допомогою самої лише лінійки. Значних результатів у цьому досягли геометри Й.Г. Ламберт, Ш.Ж. Бріаншон, Ж.В. Понселе, Я.Штейнер.

Після робіт цих авторів з'являється ряд досліджень про побудови за допомогою двосторонньої лінійки (з паралельними кінцями ).

У 1890 р. Август Адлер довів можливість вирішення всіх завдань на побудову, розв'язаних циркулем і лінійкою, за допомогою так званої двосторонньої лінійки (тобто лінійки з двома паралельними краями.

В даний час теорія геометричних побудов представляє велику і глибоку область математики пов’язану з вирішенням різноманітних питань, що йдуть в інші гілки математики .

Актуальність дослідження. Геометричні побудови можуть зіграти серйозну роль у математичній підготовці школяра, тому дана тема є важливою та актуальною для вчителя математики. Жоден вид задач не дає стільки матеріалу для розвитку математичної ініціативи й логічних навичок учня, як геометричні задачі на побудову. Задачі на побудову зручні для закріплення теоретичних знань учнів за будь-яким розділом шкільного курсу геометрії. Вирішуючи геометричні задачі на побудову, учень здобуває багато корисних креслярських навичок .

Теорія геометричних побудов становить теоретичну основу практичної графіки: багато креслярських методів опираються на розв'язки геометричних задач на побудову. Геометричні побудови допомагають при розв’язуванні задач з геодезії, тому мають важливе практичне значення.

Таким чином, актуальність , об'єктивні соціально-педагогічні потреби та вимоги підготовки школяра зумовили доцільність цього дослідження і дали підстави для визначення його теми: «Геометричні побудови за допомогою двосторонньої лінійки».

Мета : розглянути геометричні побудови за допомогою двосторонньої лінійки та узагальнити теоретичний і практичний матеріал.

Для досягнення поставленої мети було визначено наступні завдання:

-   на основі вивчення і аналізу геометричних побудов різними засобами, вивчити теоретичні положення геометричних побудов за допомогою двосторонньої лінійки;

- привести приклади рішення деяких задач.

Об'єктом є геометричні побудови різними засобами.

Предметом дослідження є геометричні побудови за допомогою двосторонньої лінійки.

Методами дослідження є навчальної та наукової літератури її систематизація та узагальнення.

Курсова робота складається із вступу, двох розділів, висновків, списку використаних джерел.

РОЗДІЛ І. ТЕОРЕТИЧНІ ОСНОВИ ГЕОМЕТРИЧНИХ ПОБУДОВ ЗА ДОПОМОГОЮ ДВОСТОРОННЬОЇ ЛІНІЙКИ

.1 Історична довідка

Теорія геометричних побудов займає значне місце в курсі елементарної геометрії і є одним з найбільш цікавих його розділом.

Геометричні побудови зародилися ще в стародавній Греції в часи Евкліда і Платона. Ще в ті часи, математики вміли будувати за допомогою циркуля і лінійки правильні трикутники, п'ятикутник і квадрати. Більше того, вони вміли за допомогою циркуля і лінійки ділити кут навпіл, тому вони вміли будувати і правильні шестикутники , десятикутники , п’ятнадцятикутники і всі правильні n-кутники [2,c.5].

Давньогрецькі математики вважали «істинно геометричним» ті побудови , що виконувалися циркулем та лінійкою , не признаючи «закони» використання інших засобів для розв’язання конструктивних задач. При цьому , відповідно Евклідовим постулатам , вони розглядали лінійку як нескінченну і односторонню , а циркулю приписували властивість креслити кола будь - яких розмірів. Але саме греки першими почали залучати для геометричних побудов інші засоби, відмінні від циркуля і лінійки. Так,наприклад Платон розв’язував задачу про подвоєння куба за допомогою двох прямих кутів [2,c.6].

Давньогрецькі геометри успішно справлялися з найважчими задачами на побудову за допомогою циркуля і лінійки. Так, наприклад Аполлоній Пергський вирішив відому задачу, що носить його ім'я: "Побудувати коло, що дотикається до трьох даних кіл". Деякі питання алгебри зв'язувалися в той час вченими з рішенням конструктивних задач. Наприклад, розв’язання рівнянь першого та другого степеня. Корені рівнянь знаходили з допомогою певних геометричних побудов[2,c.6].

Середньовіччя дало небагато в галузі розвитку конструктивної геометрії, хоча нею займалися багато математиків цього часу.

Тільки в новий час теорія геометричних побудов стала розвиватися далі у зв'язку зі створенням нових розділів математики [2,c.6].

Багато уваги приділяли конструктивним задачам творці сучасної математики : Декарт , Ферма , Ньютон , Паскаль , Ейлер , Гаус та ін..

У ХVII- XIX сс. розробляється теорія геометричних побудов за допомогою різних інструментів , відмінних від прийнятих древніми. Вже Леонардо да Вінчі розглядав побудови за допомогою лінійки та циркуля постійного розмаху . Данець Мор ( 1672 ) та італієць Маськероні (1797 ) вивчали побудови , виконувані циркулем , і виявили що циркуль дозволяє вирішити будь-яку конструктивну задачу , розв'язану циркулем і лінійкою. До не менш цікавим висновкам приходять основоположники проективної геометрії Штейнер (1833 ) і Понселе (1822 ) , які досліджували побудови , що виконуються лінійкою за наявності накресленого кола з зазначеним центром .

Після робіт цих авторів з'являється ряд досліджень про побудови за допомогою двосторонньої лінійки (з паралельними кінцями ) , за допомогою косинця і інших інструментів [2,c.7].

У 1890 р. Август Адлер довів можливість вирішення всіх завдань на побудову , розв'язаних циркулем і лінійкою , за допомогою так званої двосторонньої лінійки (тобто лінійки з двома паралельними краями ) , або за допомогою прямого або гострого кута ( а отже , і кутника ) [1,c.5].

Таким чином , для вирішення будь-якої задачі на побудову, вирішуваною циркулем і лінійкою , достатньо одного з наступних інструментів: циркуль , двостороння лінійка , прямий або гострий кут . Зрозуміло , комбінуючи ті чи інші з цих інструментів , можна отримати рішення , більш просте по техніці виконання .

Cеред задач на побудову особливе місце займають задачі на побудову обмеженими засобами. Складність їх у тому, що побудова виконується тільки циркулем , тільки односторонньою лінійкою або тільки двосторонньою лінійкою. В подальшому , будуть розглянуті задачі на побудову за допомогою самої лише двосторонньої лінійки.

Давно досліджувалося питання про можливість побудов за допомогою самої лише лінійки. Значних результатів у цьому досягли геометри Й.Г. Ламберт, Ш.Ж. Бріаншон, Ж.В. Понселе, Я.Штейнер.

У XVIII столітті швейцарець Ламберт розглядав і деякі завдання на побудову на обмеженому шматку площини. Питання про побудовах « з недоступними елементами » неодноразово вивчалося , оскільки воно представляє великий інтерес для практики кресляра і геодезиста [2,c.7].

Можливість розв’язування задач на побудову за допомогою лише самої лінійки має велике практичне значення. Наприклад, при розв’язуванні багатьох задач з геодезії , особливо зручно виконувати побудови, користуючись тільки лінійкою.

.2 Аксіоматика геометричних побудов за допомогою двосторонньої лінійки

Відомо, що Евклід для побудови геометрії застосував аксіоматичний метод . Суть методу полягає в слідуючому :

.        Вводяться первісні, не означувані поняття , які називаються основними поняттями і складаються з основних об’эктів і основних співвідношень між ними ;

.        Формулюються властивості основних понять у вигляді очевидних тверджень , які приймаються без доведення і називаються аксіомами ;

.        За допомогою аксіом доводяться інші твердження - теореми, розв’язуються задачі в певній послідовності - від простіших до складніших. Так будується теорія.

Аксіоматичний підхід досить зручний і в теорії геометричних побудов. Він забезпечує засвоєння геометричних тверджень в певній послідовності, від простіших до складніших . І, цим самим, систематизує знання [19,c.5].

При побудові фігур користуються різними інструментами ,при чому всі вони ідеалізовані. Наприклад, лінійка вважається двосторонньою, якщо вона використовується двома своїми сторонами для проведення прямих ліній. Ідеалізація лінійки полягає в тому , що за її допомогою можна провести як завгодно довгі відрізки , промені та прямі на площині.

Про олівець у аксіомах не говориться проте його присутність при побудові фігур обов’язкова. Він використовується для позначення точок та проведення ліній і їх частин. Він також має ідеальні властивості. Вважають ,що точка, відмічена олівцем, не має розмірів, лінія, проведена за допомогою олівця , має лише один лінійний розмір, - довжину.

Як було вже сказано, для виконання геометричних побудов можна користуватися різними інструментами . Кожен із інструментів , призначених для побудови геометричних фігур на площині , має свої властивості, які формулюються у вигляді аксіом [19,c.6].

Сформулюємо аксіоми двосторонньої лінійки.

До них входять три аксіоми лінійки:

.        Якщо дано дві точки , то можна побудувати відрізок , що їх сполучає.

.        Через дві дані точки можна провести пряму.

.        Через дві дані точки можна провести промінь з вершиною в одній із них.

Та безпосередньо аксіоми двосторонньої лінійки :

.        В кожній із двох півплощин , на які розбивається площина даною прямою , можна побудувати прямі ,паралельні даній прямій, на відстані від неї , що дорівнює ширині лінійки.

.        Через дві данні точки , відстань між якими більша від ширини лінійки, можна провести дві паралельні прямі , на відстані , що дорівнює ширині лінійки [19,c.6].

До найелементарніших задач, які виконуються за допомогою лише лінійки , належать:

.        Побудова паралельних прямих , відстань між якими дорівнює R (R- ширина лінійки).

.        Побудова двох паралельних прямих через дві задані точки(лінійку умовно вважаємо по довжині безмежною) [5,c.165].

Теоретичною основою для побудови є властивості паралелограмів. На них я й спиратимусь ,обґрунтовуючи побудови [5,c.166].

В шкільному курсі геометрії аксіомами конструктивної геометрії не користуються, але їх мають на увазі в процесі всього розв’язування задач. При обґрунтуванні вірності роз’язків користуються твердженнями елементарної геометрії [19,c.7].

.3 Взаємозамінність двосторонньої лінійки з циркулем і лінійкою

Доведемо, що двостороння лінійка взаємозамінна з циркулем і лінійкою. Для цього доведемо наступні твердження:

Твердження 1: всі побудови, що здійснюються циркулем і лінійкою, здійснюються за допомогою двосторонньої лінійки:

Так як при побудові циркулем і лінійкою лінійка проводить пряму між двома точками, а циркуль будує коло (знаходить безліч точок, рівновіддалених від даної), то всі побудови циркулем і лінійкою зводяться до побудови перетину двох прямих, двох кіл та кола з прямою.

Перетин двох прямих.

Так як дві непаралельні прямі перетинаються в одній точці (інакше за аксіомою про розташування точок і прямих вони співпадуть), то продовжуючи прямі нескінченно , ми , рано чи пізно , знайдемо цю точку .

Перетин кола і прямої ( мал.1) :

Побудова: Нехай дано відрізок  - радіус кола , пряма , центр кола О, тоді:

) Проводимо  .

) Проводимо

) Проводимо .

) Застосовуючи третю властивість , прикладаємо лінійку між  і  , отримуємо перетин з  і . Вони є шуканими точками.

Мал.1

Доведення:

) Розглянемо  (відповідно) означає  ( з наслідку теореми про суміжні кути ) .

) , (, див. п. 1,  - спільний) .

)З наслідку теореми Фалеса :

) За законом транзитивності рівностей :

) Розглянемо  .  - паралелограм , оскільки  (сторони лінійки паралельні ) . Доведемо , що це ромб.

.1) Проводимо  и , тоді

.2)  ( навхрест лежачі ) ;  (відповідно) .