Материал: Геометричні побудови за допомогою подвійної лінійки

.3)  ( прямокутні за катетом і гіпотенузою ) .

.4) У паралелограмі відповідні сторони рівні Þ ромб за визначенням.  і ОЕ = ОМ Þ ОС = ON , що й потрібно було довести [22,c.14].

Твердження 2 : всі побудови , здійснимі за допомогою двосторонньої лінійки, здійснимі за допомогою циркуля і лінійки.

Для цього виконаємо побудови , стандартні для двосторонньої лінійки за допомогою циркуля і лінійки.

) Пряма по двох точках легко будується за допомогою лінійки.

) Побудова прямої , паралельно даної і віддаленій від неї на дану відстань :

.1) Нехай дана пряма  і відрізок довжини a .

.2) Будуємо довільну пряму  (побудова відома , описувати сенсу не має), нехай .

.3) По обидві сторони від точки B на прямій b відкладаємо відрізок довжини a , нехай точки і  - кінці відрізка.

.4) Через точку  будуємо пряму  (побудова відома, описувати сенсу не має).

.5) Через точку  будуємо пряму  (побудова відома , описувати сенсу не має).

.6) Прямі  - шукані , так як  рівні, a з побудови дорівнюють відстані між прямою і прямими.

) Побудова прямих , паралельних між собою , що проходять через дві дані точки , причому відстань між якими дорівнює даному відрізку :

.1) Нехай дано точки  і відрізок довжини  .

.2 ) Будуємо коло з центром в точці і радіусом.

.3) Будуємо дотичну до даного кола через точку  ; таких дотичних дві , якщо B лежить поза колом ( якщо  ) , одна , якщо  лежить на колі (якщо  ) , жодної, якщо  лежить всередині кола (  ) . Ця дотична є однією з шуканих прямих ; залишилося провести через точку A пряму , паралельну їй .

.4) Так як одна з прямих перпендикулярна радіусу кола як дотична , то друга також перпендикулярна йому (так як вони паралельні ) , отже , відстань між ними дорівнює радіусу, який з побудови дорівнює - a, що й потрібно було отримати [22,c15].

Таким чином, ми довели взаємозамінність двосторонньої лінійки з циркулем і лінійкою.

.4 Задачі на побудову

Задача на побудову полягає в тому, що потрібно побудувати наперед вказаними інструментами деяку фігуру, якщо дана деяка інша фігура і зазначені деякі співвідношення між елементами шуканої фігури і елементами даної фігури .

Кожна фігура, яка задовольнить умовам завдання називається розв’язком цієї задачі. Аксіоми інструментів, якими виконуються побудови, називаються елементарними побудовами.

Знайти рішення задачі на побудову - значить звести до кінцевого числа основних побудов , тобто вказати кінцеву послідовність основних побудов , після виконання яких шукана фігура буде вже вважатися побудованою в силу прийнятих аксіом конструктивної геометрії. Перелік допустимих основних побудов, а отже, і хід розв'язання задачі істотно залежить від того, які саме інструменти використовують для побудов.

Швидкість розв’язування задачі залежить від кількості елементарних побудов, до яких вона зводиться. А це в свою чергу залежить від креслярських інструментів, які застосовуються. Точність розв’язування не залежить від вибору інструментів. Важливо, щоб задачу правильно було зведено до елементарних побудов [19,c.7].

Як приклад розглянемо таку задачу:

побудувати середину відрізка, заданого своїми кінцями .

Знайдемо розв’язок цієї задачі за допомогою різних інструментів .

. Циркулем і лінійкою (Мал.1).

Будуємо послідовно:

)        пряму (друга аксіома лінійки );

) коло  (перша аксіома циркуля );

) коло ;

) спільні точки і кіл і ( аксіома VII );

) загальну точку прямих;

Легко переконатись , що, тобто точка шукана.

Мал.1

Справді, трикутники і рівні за трьома сторонам, тому (мал. 1а)

Мал.1а

Отже, відрізок - бісектриса рівнобедреного трикутника, а значить, і медіана, тобто точка  - середина відрізка  [2,c.22-23].

. Двосторонньою лінійкою (Мал.2).

Будуємо послідовно :

) пряму (друга аксіома лінійки );

) пряму а паралельну  (четверта аксіома двосторонньої лінійки );

і проходить на відстані  від неї (  - ширина лінійки );

) пряму, паралельну а , віддалену від неї на відстані  і відмінну від прямої  ;

) точку  на прямій в ( аксіома VIII ) ;

) прямі  ;

) точки  ( аксіома VII ) ;

) прямі  ;

) точку  ;

) пряму ;

) точку  .

Так як  - середня лінія трикутника  , то  - його медіани, а отже , і  - медіана , так що точка  шукана [2,c.24].

Може виявитися так, що будь - яка задача на побудову має декілька різних рішень, тобто існує кілька різних фігур, що задовольняють всім умовам задачі. Так, наприклад, до двох даних зовні розташованих кіл можна провести, як відомо, різні загальні дотичні [2,c.25].

Розв’язати задачу на побудову - значить знайти всі її розв’язки .

.5 Задачі на побудову в шкільних підручниках

Рішення задач на побудову за допомогою строго обмеженого набору креслярських інструментів (у школі це циркуль і лінійка) - традиційна математична гра.

Як і всяка гра , вона має свої суворі правила, що включають в себе наступні етапи:

. аналіз умов завдання , в ході якого намічається план побудови;

. перерахування всіх кроків побудови;

. доказ того, що побудована фігура - шукана, тобто має всі властивості , про які йдеться в умові завдання;

. виконання досліджень, тобто з'ясування того скільки рішень має задача , різними рішеннями прийнято вважати лише нерівні фігури, що задовольняють умові завдання [19,c.9].

У сформованій практиці навчання існують різні думки щодо необхідності виконання кожного з чотирьох етапів (аналіз, побудова, доказ, дослідження) рішення задачі на побудову, а також форм реалізації цих етапів.

На даний момент в переважній більшості шкіл курс планіметрії викладається або за підручником Л.С. Атанасян «Геометрія7 -9», або за підручником А.В. Погорєлова «Геометріі7 - 9».

Як у підручнику Л.С. Атанасян, так і в підручнику А.В. Погорєлова учням спочатку пропонується елементарні геометричні задачі на побудову. До числа таких завдань різні автори відносять різні завдання. Найбільш вдалим, на мій погляд, є список елементарних задач на побудову, представлений в підручнику Л.С. Атанасян « Геометрія7 -9».

Однак у шкільних підручниках, як правило, немає повного опису реальних властивостей креслярських інструментів, які використовуються для геометричних побудов. Немає і чіткого формулювання завдань на побудову .

Як вже зазначалося, для побудов в шкільному курсі геометрії використовується циркуль і лінійка, і тому учнів, корисно ознайомити з аксіомами циркуля і лінійки. Крім того, школярам цікаво буде дізнатися про можливість виконання побудови іншими інструментами : однією лінійкою , одним циркулем , двосторонньої лінійкою. Для цього вчителеві доцільно ознайомитись та використовувати посібник Б.І. Аргунова та М.Б.Балка і журнал У світі математики стаття В.С. Барбуляка, в яких досить вдало підібрано, як теоретичні основи, так і їх практичне застосування тобто задачі.

РОЗДІЛ ІІ. ПРАКТИЧНЕ ЗАСТОСУВАННЯ ГЕОМЕТРИЧНИХ ПОБУДОВ ЗА ДОПОМОГОЮ ДВОСТОРОННЬОЇ ЛІНІЙКИ

.1 Задачі на побудову за допомогою двосторонньої лінійки

1. Побудувати бісектрису даного кута [2,c.166] .

Аналіз . Нехай дано кут  (Мал.1 )

Якщо побудову виконано, то видно, що прямі, які паралельні сторонам кута й лежать на відстані R від них, і самі, сторони цього кута утворюють смуги перерізом яких є ромб. Його діагональ і є бісектрисою даного кута .