Автореферат: Фрактальный метод анализа ценных бумаг и формирования портфелей активов

Таким образом, в работе использован прямой метод вычисления фрактальной размерности временного ряда доходности портфеля.

4. Из данного множества портфелей с рассчитанными статистическими оценками фрактальной размерности временных рядов их доходностей выбирается портфель с наименьшим значением этого показателя.

Фрактальная размерность есть показатель того, насколько часто и как сильно изменяется доходность портфеля. Предпочтительным для инвестора окажется портфель ценных бумаг с неубывающей доходностью, фрактальная размерность временного ряда которой будет наименьшей. Такой портфель интерпретируем как наиболее предсказуемый.

Инвестор, который стремится получить от портфеля определенный уровень доходности, может рассматривать множество портфелей с уровнем доходности, не ниже заданного, и выбирать в этом множестве наиболее предсказуемый портфель с помощью данного метода.

На рис. 1 приведена схема последовательности действий при разработке краткосрочной инвестиционной стратегии по выбору структуры портфеля ценных бумаг (ПЦБ) согласно разработанному фрактальному методу формирования портфелей ценных бумаг.

Анализ применимости метода формирования портфеля ценных бумаг на основе вычисления статистических оценок фрактальной размерности временных рядов его доходности к акциям компаний нефтегазовой отрасли.

Объектами исследования стали портфели наиболее ликвидных акций крупнейших эмитентов по капитализации нефтегазовой отрасли: ОАО «Газпром», ОАО «ЛУКОЙЛ», ОАО «Сургутнефтегаз», ОАО «Газпромнефть» (ОАО «Сибнефть»), ОАО «Татнефть», «Exxon Mobil Corporation», «Chevron Corporation», «Marathon Oil Corporation». Периоды исследования для каждой компании приведены в таблице 1.

Рис. 1. Разработка краткосрочной инвестиционной стратегии по выбору структуры ПЦБ согласно фрактальному методу формирования ПЦБ

Таблица 1 Периоды исследования

Для проверки применимости разработанного метода формирования портфеля ценных бумаг на основе вычисления статистических оценок фрактальной размерности временных рядов его доходности к акциям компаний нефтегазовой отрасли мы провели следующий анализ временных рядов курсов исследуемых акций:

1) выявление автокорреляции уровней ряда;

2) проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности значений курсов акций.

Нами были построены автокорреляционные функции временных рядов курсов акций исследуемых компаний для выявления наличия корреляционной зависимости между последовательными уровнями временного ряда, т.е. автокорреляции уровней ряда.

Коэффициент автокорреляции есть мера внутренней связи между членами одного и того же временного ряда.

,(3.1)

где среднее значение , дисперсия , - сдвиг во времени (лаг).

Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и т.д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда. График зависимости ее значений от величины лага (порядка коэффициента корреляции) называется коррелограммой. Автокорреляционная функция безразмерна, т.е. не зависит от масштаба измерения анализируемого временного ряда. Ее значения могут колебаться от -1 до +1. Анализ автокорреляционной функции и коррелограммы позволяет определить лаг, при котором автокорреляция наиболее высокая, а, следовательно, и лаг, при котором связь между текущим и предыдущими уровнями ряда наиболее тесная.

Анализ показал, что исследуемые временные ряды обладают памятью. Высокие значения коэффициентов автокорреляции (=0,8) для большинства временных рядов курсов акций исследуемых компаний наблюдаются при лаге равном 10 дням (рис. 2), для некоторых компаний (ОАО «Татнефть», «Chevron Corporation») - при лаге равном 20 дням (рис. 3).

По критерию согласия Пирсона была проверена гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности значений курсов акций анализируемых компаний.

Рис. 2. Автокорреляционная функция для временного ряда курсов акций компании ОАО «Газпромнефть» (2006 г.)

Рис. 3. Автокорреляционная функция для временного ряда курсов акций компании «Chevron Corporation» (1997 г.)

В результате проведенных исследований для акций каждой компании гипотеза отклоняется на уровне значимости = 0,01, т.к. критические значения критерия оказались меньше наблюдаемых значений критерия . Например, для курсов акций ОАО «Газпром» за 2006 г. = 167,135, = 24,7 при = 0,01 и числе степеней свободы = 11 (рис. 4). Для курсов акций «Exxon Mobil Corporation» за 2006 г. = 106,01, = 21,7 при уровне значимости = 0,01 и числе степеней свободы = 9 (рис. 5).

Рис. 4. Гистограмма частот распределения курсов акций ОАО «Газпром» (2006 г.)

Рис. 5. Гистограмма частот распре-деления курсов акций «Exxon Mobil Corporation» (2006 г.)

Таким образом, в результате анализа установлено, что распределения случайных величин курсов исследуемых акций далеки от нормального, а соответствующие временные ряды обладают памятью. Это подтверждает целесообразность применения фрактального анализа при принятии решения о выборе структуры портфеля акций компаний нефтегазовой отрасли.

Исследование статистики оценок фрактальной размерности временных рядов доходностей портфелей акций российских и зарубежных компаний нефтегазовой отрасли

В работе проведен анализ динамики вычисленных значений статистической оценки фрактальной размерности временных рядов доходностей портфелей акций российских и зарубежных компаний нефтегазовой отрасли. Проведенные вычисления дали следующие результаты:

- найденные значения статистической оценки фрактальной размерности временных рядов доходностей исследуемых акций не превышают 1,5, следовательно, все исследуемые временные ряды являются персистентными или трендоустойчивыми;

- статистическая оценка фрактальной размерности курсов акций российских нефтегазовых компаний выше аналогичного показателя курсов акций зарубежных нефтегазовых компаний, тем самым мера неопределенности на российском рынке выше, нежели на западных рынках. Это обусловлено намного более поздним становлением рынка ценных бумаг России. На протяжении года курсы акций российских компаний претерпевают очень сильные изменения в отличие от акций зарубежных компаний (рис. 6, 7);

Рис. 6. Графическое отображение доходности портфеля зарубежных акций (Exxon Mobil Corporation - 70%, Chevron Corporation - 20%, Marathon Oil Corporation - 10%) за 2006 г.

Рис. 7. Графическое отображение доходности портфеля российских акций (ОАО «Татнефть» - 60%, ОАО «Сургут-нефтегаз» - 20%, ОАО «ЛУКОЙЛ» - 20%) за 2006 г.

- на протяжении исследуемого интервала времени наблюдается тенденция к снижению статистической оценки фрактальной размерности временных рядов курсов акций российских нефтегазовых компаний (рис. 8) и доходностей портфелей этих акций, тем самым происходит повышение инвестиционной привлекательности российского фондового рынка и его сближение с западными фондовыми рынками;

Рис. 8. Динамика минимальной статистической оценки фрактальной размерности временных рядов курсов акций российских нефтегазовых компаний

- изменение статистической оценки фрактальной размерности временных рядов курсов акций и доходностей портфелей акций зарубежных нефтегазовых компаний ярко выраженной тенденции не имеет, однако после 1997 года значения статистической оценки фрактальной размерности стали несколько выше (рис.9);

Рис. 9. Динамика минимальной статистической оценки фрактальной размерности временных рядов доходностей портфелей акций зарубежных компаний «Exxon Mobil Corporation», «Chevron Corporation», «Marathon Oil Corporation» с 1970 г. по 2006 г.

Значения минимальных и максимальных статистических оценок фрактальной размерности временных рядов курсов акций российских и зарубежных компаний нефтегазовой отрасли отражены в табл. 2.

Таблица 2 Максимальные и минимальные значения статистических оценок фрактальной размерности курсов акций компаний нефтегазовой отрасли

Портфели исследуемых акций с минимальными оценками фрактальной размерности временных рядов их доходностей характеризуются вполне стабильной доходностью.

В ходе исследования нами также было выявлено, что одна и та же структура портфеля с минимальными оценками фрактальной размерности временных рядов его доходности очень часто сохраняется на протяжении нескольких лет. То же верно и для портфелей с наибольшими оценками фрактальной размерности. Данная тенденция нарушается в случае политических и экономических событий, дестабилизирующих экономическое состояние страны в целом, и ситуацию на финансовых рынках - в частности. Таким образом, можно говорить о памяти на финансовых рынках и возможности прогнозирования структуры портфеля.

Например, статистическая оценка фрактальной размерности временных рядов доходностей портфеля акций ОАО «Татнефть», ОАО «Сургутнефтегаз», ОАО «Газпром» была максимальной для недиверсифицированного портфеля акций ОАО «Сургутнефтегаз» с 2001 г. по 2006 г., т.е. поведение этого портфеля было очень сложно предсказать. Кроме того, на протяжении всего времени он сохранял низкую доходность. В табл. 3 представлены статистическая оценка фрактальной размерности (D), доходность и риск данного портфеля.

Таблица 3 Динамика характеристик портфеля акций ОАО «Сургутнефтегаз»

Портфель акций ОАО «ЛУКОЙЛ», ОАО «Газпромнефть», ОАО «Татнефть» с минимальной оценкой фрактальной размерности в 2000 г. имел структуру (0,1; 0,8; 0,1). Т.е. акции ОАО «Газпромнефть» преобладали (табл. 4). С 2001 г. по 2004 г. данный портфель изменил структуру на (0,1; 0,1; 0,8), т.е. наиболее предсказуемыми стали акции ОАО «Татнефть», в 2005 г. структура вновь изменилась на (0,2; 0,2; 0,6), т.е. долю ОАО «Татнефть» в 2006 г. разумно было уменьшить. Действительно, портфель акций с минимальной оценкой фрактальной размерности в 2006 г. имел структуру (0,1; 0,8; 0,1).

Таблица 4 Динамика характеристик портфеля акций ОАО «ЛУКОЙЛ», ОАО «Газпромнефть», ОАО «Татнефть»

Таким образом, через 6 лет структура данного портфеля стала аналогичной 2000 году.

Характер склонности к риску инвестора, ориентированного на портфели акций российских и зарубежных компаний нефтегазовой отрасли с минимальными статистическими оценками фрактальной размерности временных рядов их доходностей

В работе проведен анализ портфелей с минимальными оценками фрактальной размерности временных рядов их доходностей с точки зрения классической теории формирования оптимального портфеля Марковица, чтобы выявить, какая склонность к риску соответствует инвестору, ориентированному на такие портфели.

В частности использовалась функция полезности

,

где - математическое ожидание доходности портфеля , - средняя доходность актива вида, - дисперсия доходности портфеля - величина, характеризующая риск портфеля, - ковариация цен активов и вида, - число, принимающее значения от 1 до 100, отражающее субъективное отношение инвестора к риску. Чем ближе к 1, тем более азартен инвестор, чем ближе к 100, тем более осторожен инвестор: он склонен пожертвовать доходом в пользу безопасности вложений.