Выражение «неверно, что ...» (или просто «не»), не будучи именем или высказыванием, позволяет получить из одного высказывания другое высказывание (позволяет, к примеру, из высказывания «Все ученые рассеянны» получить высказывание «Неверно, что все ученые рассеянны», или «Не все ученые являются рассеянными»).
Перечисленные функторы называются логическими союзами.
Логический союз - функтор, служащий для образования новых имен или высказываний из уже имеющихся.
Среди функторов особое место принадлежит функторам логики предикатов: именным функциям, пропозициональным функциям и операторам.
Именная функция - выражение, содержащее переменные и превращающееся в имя при подстановке вместо переменных соответствующих аргументов.
Пропозициональная функция - выражение, содержащее переменные и превращающееся в высказывание при подстановке вместо переменных соответствующих аргументов. Пропозициональная функция, аргументами которой являются имена, называется предикатом. Примером пропозициональной функции служит выражение «Если p то q», которое превращается в высказывание, если вместо p подставить высказывание «идет дождь», а вместо q - «улицы мокрые».
Пропозициональная функция, аргументами которой являются имена, называется предикатом. Предикат превращается в высказывание не только подстановкой имен вместо переменных. Например, предикат «х открыл Америку» превратится в высказывание, если ему предпослать выражение «для некоторого х верно, что» или «для всякого х верно, что». В первом случае мы получим истинное, во втором - ложное высказывание.
1.3 Понятие логической формы. Образование логической формы языковых выражений
Логическая форма - характеристика мысли, не зависящая от ее конкретного содержания, служащая для связи и упорядочения ее элементов.
В языке логическая форма фиксируется при помощи переменных и логических союзов. Каждая из форм мышления - понятие, высказывание, умозаключение - имеет свои многочисленные специфические логические формы.
Понятие - форма мышления, в которой выделяются и обобщаются предметы того или иного класса по существенным отличительным признакам. Выделяя характерные в определенном отношении признаки одного предмета или общие, повторяющиеся признаки группы предметов, мы образуем понятие предмета как некоторую совокупность его существенных признаков, определенным образом связанных друг с другом.
Таким образом, различные предметы отражаются в мышлении человека одинаково как определенная связь их существенных признаков, т.е. в форме понятия. В разговорной речи понятие может выражаться как одним, так и несколькими словами.
Высказывание - форма мышления, в которой утверждается или отрицается связь между предметом и его признаком, отношения между предметом и его признаком, отношения между предметами или факт существования предметов. Высказывание может быть либо истинным, либо ложным. Логическую форму высказываний рассматривают отдельно для простых и сложных.
Так для образования логической формы простых высказываний используются логические союзы:
1) логические связки («есть», «является», «не есть» и т.п.);
2) кванторы - слова, выражающие количественные характеристики атрибутивных суждений:
- квантор всеобщности () выражает тот факт, что в высказывании идёт речь обо всём объёме некоторого класса предметов, соответствует словам «все», «ни один», и т.д. ;
- квантор существования () выражает тот факт, что в высказывании идёт речь лишь о некоторых элементах некоторого класса предметов, соответствует словам «некоторые», «не всякий» и т.д.
Например, два простых высказывания «Все футболисты есть спортсмены» и «Все адвокаты есть юристы» имеют различное содержание, но одинаковую форму: «Все S есть P», в которой буквой S обозначен субъект суждения, буквой P - его предикат, «есть» является связкой, «все» - квантором.
Для образования логических форм сложных высказываний используются простые высказывания и логические связки:
- инверсия () унарная логическая связка, с помощью которой из данного высказывания получается новое, причем, если исходное высказывание истинно, его отрицание будет ложным, и наоборот; в естественном языке выражается словами «не …», «неверно, что …» и т.п.
- конъюнкция (&) - бинарная логическая связка, с помощью которой из двух данных высказываний получается новое, которое истинно только в случае, когда оба исходных высказывания являются истинными; в естественном языке выражается словами «… и …», «…, а …», «… , но …» и т.п.
- дизъюнкция () - бинарная логическая связка, с помощью которой из двух данных высказываний получается новое, которое ложно только в случае, когда оба исходных высказывания являются ложными; в естественном языке выражается словами «… или …», «… либо …» и т.п.
- строгая дизъюнкция () - бинарная логическая связка, с помощью которой из двух данных высказываний получается новое, которое ложно только в случае, когда либо оба исходных высказывания являются ложными, либо оба исходных высказывания являются истинными; в естественном языке выражается словами «либо …, либо …», «то ли…, то ли ….» и т.п.
- импликация () - бинарная логическая связка, с помощью которой из двух данных высказываний получается новое, которое ложно только в случае, когда истинно её основание (высказывание предшествующее импликативной связке) и ложно следствие (высказывание идущее после связки); в естественном языке выражается словами «если …, то …», «когда…, тогда ….» и т.п.;
- эквиваленция () - бинарная логическая связка, с помощью которой из двух данных высказываний получается новое, которое истинно только в случае, когда либо оба исходных высказывания являются ложными, либо оба исходных высказывания являются истинными; в естественном языке выражается словами «…, если и только если …», «для… необходимо и достаточно ….» и т.п.
Например, логическая форма основных логических законов будет иметь вид:
- закон тождества: рр (если р, то р), где р любое высказывание, «» знак импликации.
- закон непротиворечия: (р&р) (неверно, что р и не-р одновременно истинны); под р понимается любое высказывание, под р отрицание высказывания р, знак «» перед всей формулой отрицание двух высказываний, соединенных знаком конъюнкции «»;
- закон исключённого третьего: р p, где р любое высказывание, р отрицание высказывания р, соединённые знаком дизъюнкции «»;
Умозаключение форма мышления, посредством которой из одного или нескольких суждений выводится новое суждение. Для умозаключений также характерна своя специфическая логическая форма: дедуктивные, индуктивные и умозаключения по аналогии.
Умозаключение состоит из посылок, заключения и вывода. Посылками умозаключения называют исходные суждения, из которых выводится новое суждение. Заключением называется новое суждение, полученное логическим путем из посылок. Логический переход от посылок к заключению называется выводом. Например, из посылок «Преступление наказуемо» и «Мошенничество преступление» следует заключение «Мошенничество наказуемо». Заключение получено благодаря связи посылок общим понятием «преступление».
Умозаключения также имеют свою специфическую форму в зависимости от направленности логического следования: дедуктивные (рассуждение от общего знания к частному), индуктивные (рассуждение от частного знания к общему), по аналогии (рассуждение от частного знания к частному).
2. Практическое задание
Задание 1. Какие из основных законов логики нарушены в следующих примерах:
1.1) -- «Маяковский, почему Вы носите на пальце кольцо? Оно Вам не к лицу.»
«Вот именно потому, что не к лицу, я и ношу его на пальце, а не в носу».
В данном примере нарушен принцип тождества, т.к. понятие «не к лицу» в данном случае имеет разные смысловые ударения. В первом случае имеется в виду иносказательный смысл, т.е. «вещь, не подходящая к общему внешнему виду», а во втором случае понятие трактуется в буквальном смысле, т.е. «вещь, которую носят на лице».
1.2) Истица: «Соседка взяла у меня кувшин на подержание, да до сих пор так и не отдала».
Ответчица: «Да я и в глаза-то этого кувшина никогда не видела. Да и дала она мне его уже треснутым. А я давно уже ей целехоньким вернула».
Рассмотрим указанные суждения. В суждении «Да я и в глаза-то этого кувшина никогда не видела» отрицается принадлежность признака «видеть» к единственному предмету класса «этот кувшин». В суждении «Да и дала она мне его уже треснутым» утверждается принадлежность признака «быть треснутым к единственному предмету класса «этот кувшин», что противоречит первому суждению, утверждающему, что истица кувшин не видела. Следовательно, в данном примере нарушен закон непротиворечия.
Задание 2. Запишите в символическом виде и проверьте с помощью таблицы истинности наличие логического следования.
2.1) Если курок ружья сломан, то ружьё даст осечку. Курок ружья не сломан. Значит, ружьё не даст осечки.
p «курок ружья сломан»;
g «ружьё даст осечку»;
p «курок ружья не сломан»;
g «ружьё не даст осечки».
Схема:
|
((p |
g) |
& |
p) |
g |
|||
|
и |
И |
и |
Л |
л |
И |
л |
|
|
и |
Л |
л |
Л |
л |
И |
и |
|
|
л |
И |
и |
И |
и |
Л |
л |
|
|
л |
И |
л |
Л |
и |
И |
и |
|
|
1 |
2 |
3 |
В итоговой, третьей, колонке в третьей строке получено ложное значение. Значит, данная формула не является тождественно-истинной и логическое следование не имеет место.
2.2) Если бы дверь была закрыта, то Маша опоздала бы в школу. Маша не опоздала в школу. Значит, дверь не была закрыта.
p «дверь была закрыта»;
g «Маша опоздала в школу»;
g «Маша опоздала в школу»;
p «дверь не была закрыта».
Схема:
|
((p |
g) |
& |
g) |
p |
|||
|
и |
И |
и |
Л |
л |
И |
л |
|
|
и |
Л |
л |
Л |
и |
И |
л |
|
|
л |
И |
и |
И |
л |
И |
и |
|
|
л |
И |
л |
Л |
и |
И |
и |
|
|
1 |
2 |
3 |
В итоговой, третьей, колонке все значения формулы истинные. Значит, данная формула является тождественно-истинной и логическое следование имеет место.
Задание 3. С помощью круговых схем изобразите отношения между понятиями:
3.1) Адвокат, прокурор, брюнет.
Понятия «адвокат» и «прокурор» находятся друг с другом в отношении соподчинения (т.е. несовместимости). Это означает, что они не имеют общих элементов на схеме.
Понятия «адвокат» и «брюнет» находятся в отношении пересечения, т.к. некоторые адвокаты являются брюнетами, а некоторые нет.
Аналогично в отношении пересечения находятся понятия «прокурор» и «брюнет».
«адвокат» (А), «прокурор» (В), «брюнет» (С).
3.2) Спортсмен, негр, чемпион мира, китаец.
Понятия «спортсмен» и «негр» находятся в отношении пересечения, т.к. некоторые спортсмены являются неграми, а некоторые нет.
По той же причине в отношении пересечения находятся понятия «спортсмен» и «китаец», «негр» и чемпион мира, «китаец» и «чемпион мира». Понятия «спортсмен» и «чемпион мира» находятся в отношении подчинения, т.к. все чемпионы мира спортсмены, но не все спортсмены чемпионы мира.
Понятия «негр» и «китаец» находятся в отношении несовместимости, т.к. негр не может быть китайцем, и наоборот.
Таким образом, итоговая схема будет выглядеть так:
«спортсмен» (А), «негр» (В), «чемпион мира» (С), «китаец» (D).
Задание 4. Определите, соблюдены ли правила деления и, если нет, какие ошибки допущены в следующих примерах:
4.1) Правильные четырехугольники делятся: на ромбы, квадраты и прямоугольники.
В данном примере допущена ошибка: «деление с лишними членами», т.к. понятие «прямоугольник» не является видом рода «правильный четырёхугольник». Таким образом, объём членов деления не равен в своей сумме делимому понятию.