Материал: Физика конденсированного состояния в примерах и задачах. Белко В.Н., Тутов Е.А
Решение
Усредненное значение скорости звука υ определяется соотношением:
ª3 = ª2¬ + ª1s .
|
Здесь поперечная υt и продольная υl скорости волн в кристалле |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
определяются как |
|
|
ª¬ |
|
= |
&-, |
|
|
|
|
|
|
ªs |
= |
|
&m. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3 |
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
+ |
|
|
= |
2 W m] + 1 W -] |
= |
W 1] A2.√m/ |
|
|
|
+ 1.√-/ E |
= |
||||||||||||||||||||||||||||
ª = |
|
ρ |
|
ρ |
|
|
|
ρ |
|
ρ ρ |
|
ρ |
|
|
|
ρ |
|
|
|
|
|
|
ρ |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
W -] |
|
W m] |
|
|
|
|
|
W |
- · m |
] |
|
|
|
|
|
|
W 1] W |
-m |
] |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= A.2√m/ + 1.√-/ E W |
|
] . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-ρm |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
' |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
-ρm |
|
|
|
-ρm |
' |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
ª = ¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
°& |
|
± |
= & |
|
· & |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
A2.√m/ |
|
|
|
|
|
|
A2.√m/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
. |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
+ 1.√-/ E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 1.√-/ |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
27 · 104 |
· 74 · 104 |
' |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
ª = & |
|
10,5 · 10 |
|
· &A2.√74 · 104/ + 1.√27 · 104/ E = |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
' |
|
3 · 10 |
)+{ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
= 0,436 · 10 |
|
|
· &A2.√7,4/ + 1.√2,7/ E = 1,8 · 10 |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Ответ: υ = 1,8·10 3 м/с.
Пример 3.4. Покажите, что фазовая скорость есть ª = ωp.
Решение
36
Волновое число:2Z |
= |
2Z |
|
= |
2Z |
= |
|
ω |
|
|
=> |
ª = |
ω |
. |
||||
N = |
|
|
|
|
ω |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
© |
|
ª · l |
|
ª · 2Z |
|
|
ª |
|
|
|
|
|
N |
|
||
Здесь λ – длина волны, |
T – |
|
период колебания. |
|
|
|
Ответ: ª = ωp. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример 3.5. Докажите, что групповая скорость u связана с фазовой υ |
||||||||||||||||||
соотношением « = ª − © |
¢³¢². |
|
|
Решение |
|
|
|
|
|
|||||||||
Фазовая скорость: |
ª = |
ω |
|
|
=> |
|
|
|
ω = Nª. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Групповая скорость (скорость распространения волнового пакета): |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-ω |
|
|
|
|
|
|
|
||
Волновое число: |
|
|
|
|
|
|
« = -N. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2Z |
|
|
|
|
|
|
|
||
Таким образом, |
|
-(Nª) |
|
-N |
N = |
© . |
|
-ª |
|
-ª -© |
|
|||||||
-ω |
= |
ª + N |
-ª |
|
|
|
|
|
||||||||||
« = -N = |
|
-N |
|
-N |
-N = ª + N -N |
= ª + N -© -N = |
||||||||||||
= ª + N -ª |
: -N |
|
|
|
|
2Z |
= ª + 2Z |
· -ª |
: `− 2Za = |
|||||||||
= ª + N -ª : - |
© |
|
||||||||||||||||
= ª − 2Z |
-© |
-© |
|
|
|
-© -© |
|
|
© -© |
© |
|
|
||||||
· -ª |
· W© ] = ª − © -ª |
, |
|
|
что и требовалось доказать. |
|||||||||||||
© |
-© |
|
2Z |
|
|
|
-© |
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
« = ª − © ¢³¢². |
||
Пример 3.6. Покажите, что фазовая скорость есть скорость перемещения фазы волны.
Решение
Уравнение бегущей волны:
º = »Y_(ω¬)pˆ) = »¼cos (ω½ − N8)¾ + P · sin (ω½ − N8).
37
Предположим, что при волновом процессе |
|
|||||
ω½ − N8 = ¿ O½, |
откуда |
|
¿ O½ + N8 = ω½. |
|||
Продифференцируем это выражение по t: |
|
|||||
-( ¿ O½ + N8) |
= -(ω½). |
|||||
-8 |
|
|
-½ |
ω |
-8 |
|
= |
ω |
или |
N |
-8 |
= ª. |
|
N -½ |
|
= -½ |
||||
υ – это и есть скорость перемещения фазы.
Пример 3.7. Определите разность фаз колебаний источника волн, находящегося в упругой среде, и точки этой среды, отстоящей на 2 м. Частота колебания 5 Гц, скорость распространения волны 40 м/с.
Дано: υ = 5 Гц, x1 = 0 м, x2 = 2 м,
ν = 40 м/с.
Найти: Δϕ.
|
|
|
|
|
|
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение бегущей волны: |
º = »Y_(ω¬)pˆ), |
|
|
|
|
|
|
||||||
где (ω½ − N8) − разность фаз ϕ. |
|
|
2Z |
|
2Z |
|
2Zν |
|
|||||
∆ϕ |
ϕ |
ϕ |
ω |
|
|
ω |
|
|
|
|
|||
Разность фаз: |
= ( ½ − N8+) − ( ½ − N8 ) = N8 = |
|
8 = |
|
8 = |
|
8 . |
||||||
= |
+ − |
|
|
ν |
|
||||||||
|
|
|
|
= |
2 · 3,14 · 5 |
|
© |
|
ª |
|
ª |
|
|
|
|
|
∆ϕ |
рад |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
40 |
· 2 = 1,57 . |
Ответ: Δϕ = 1,57 рад. |
||||||
Пример 3.8. Волны в упругой среде распространяются со скоростью 100 м/с. Наименьшее расстояние между точками среды, фазы которых противоположны, равно 1 м. Определите частоту колебаний.
Дано: υ= 100 м/с, x = 1 м.
Найти: ν.
38
Решение
Разность фаз:
∆ϕ = ϕ+ − ϕ = (ω½ − N8+) − (ω½ − N8 ) = N(8 − 8+) = N∆8.
Волновое число: |
N = |
2Z |
= |
2Z |
= |
|
2Zν |
. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
© |
ν |
ª |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
ª |
|
|
|
|
|
|
||||
По условию задачи точки колеблются в противофазе, следовательно Δϕ = π. |
||||||||||||||||
Таким образом, |
2Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ª |
|
|
N 8 = Z, |
|
|
|
8 = Z |
|
|
|
=> |
|
= 2 |
8. |
|||||
ª |
ν |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
∆ |
|
|
|
|
∆ |
100 |
|
|
|
|
|
ν |
|
∆ |
|
|
|
|
|
= |
= 50 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
ν |
Гц |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
2 · 1 |
. |
|
|
Ответ: ν = 50 Гц. |
|||||||||
Примерª = 3.9. Фазовая скорость в зависимости от частоты изменяется по
закону √ bC, где a = 48 мс −3/2, b = 500 Гц. Определите групповую скорость
ν
для частоты 400 Гц.
Дано: a = 48 мс −3/2, b = 500 Гц, ν = 400 Гц.
Найти: εmax.
|
|
|
|
|
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Групповая скорость: |
-ω |
|
-(2Zν) |
|
|
|
|
-ν |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
= 2Z |
|
|
|
|
||||||||
|
2Z |
|
|
« = -N = |
-N |
-N. |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
ν |
|
|
|||
N = |
|
, |
-N = 2Z · - ` |
a |
= 2Z · - ° |
|
|
± = 2Z · - ° |
|
|
|
± = |
|||||
|
ν |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
ν |
|||||||||||||||
|
© |
|
|
© |
|
|
|
|
ª |
|
|
√ |
|
|
|||
|
|
|
|
|
ν√ |
ν + F |
|
|
|
+ F |
|
|
|||||
|
|
|
|
= 2Z · - W |
]. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
39 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
« = 2Z |
- |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
√ |
|
+ F |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
)+/ |
|
|
|
1,5 |
|
+ F |
||||
|
|
|
√ |
|
+ F] |
|
|
|
ν |
( |
ν |
+ F) |
|
|
ν |
|
||||||||||||
|
2Z · - W |
|
|
|
1 A· √ |
+ F + |
|
· 2 |
|
|
E |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
ν |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ν |
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
ν |
|
|
||
|
|
ν |
|
ν |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ν |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
« = |
48√400 + 500 |
= 1,31 |
с |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1,5 · 400 + 500 |
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: u = 1,31 м/с.
Пример 3.10. Вычислите коэффициент ангармоничности для железа, если термический коэффициент линейного расширения 1,2 · 10 −5 K −1, межатомное равновесное расстояние 2,5 Å , а модуль Юнга 200 ГН/м2.
Дано: α = 1,2 · 10−5 K −1,
r0 = 2,5 Å = 2,5 · 10 −10 м,
E = 200 ГН/м2 = 200 · 109 Н/м2.
Найти: γ.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение |
|
|
|
|
||
Коэффициент линейного теплового расширения: |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
β = R m, |
|
|
|
|
α = |
βγNR |
. |
|
|
|
|
||||
Здесь |
|
следовательно: |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
α = |
|
γN |
|
R |
|
= |
γN |
=> |
γ = |
αm R |
. |
||||
|
|
|
(R m |
) |
|
|
|
m R |
|
|
|
|
|
N |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
γ |
= |
1,2 · 10){ |
· |
(200 · 104) (2,5 · 10)+) |
= 543 · 10 |
4 |
|
ГПа |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1,38 · 10) |
|
|
|
= 543 . |
||||||
|
|
[^ ˆ = Nr‡ = 1,38 · 10) · 250 — = 345 · 10) Дж. |
|||||||||||||||
Ответ: γ = 543 ГПа.
Пример 3.11. Вычислите максимальную силу, возвращающую атом в положение равновесия, если коэффициент гармоничности 50 Н/м, а коэффициент ангармоничности 500 ГН/м2.
40