Материал: Физика конденсированного состояния в примерах и задачах. Белко В.Н., Тутов Е.А
Задачи для самостоятельного решения по теме №2.2
1. Удельная теплоемкость алюминия при 20 0С равна 840 МДж· . Выполняется
кг К
ли при этой температуре для него закон Дюлонга-Пти?
(Ответ: не выполняется).
2.Для нагревания металлического шарика массой 25 г от 10 0С до 30 0С затрачено 117 Дж теплоты. Определить теплоемкость шарика согласно закону Дюлонга-Пти и материал шарика.
(Ответ: 108·10-3 кмолькг , серебро).
3.Используя квантовую теорию Эйнштейна, вычислить изменение внутренней энергии одного +килоатома кристалла при нагревании его на ∆Т=2К от температуры Т= θ.
(Ответ: 36 кДж).
4.С учетом нулевой энергии определить, во сколько раз изменится средняя энергия квантового осциллятора, приходящаяся+ на одну степень свободы при повышении температуры от Т1 = θ до Т2 = θ.
(Ответ: в 3,74 раза).
5.Определить отношение средней энергии квантового осциллятора к средней энергии теплового движения молекул идеального газа при температуре Т=θ, где θ – характеристическая температура Эйнштейна.
(Ответ: 1,16).
6.Определить относительную ошибку (%), которая будет допущена, если при вычислении теплоемкости вместо значения, даваемого теорией Эйнштейна при Т=θ, воспользоваться значением, полученным по закону Дюлонга-Пти.
(Ответ: в 8,8 %).
7.На нагревание металлического предмета массой 100 г от 20 до 50° С затрачено 8,3 кДж теплоты. Определить, из какого металла изготовлен предмет, если указанный интервал температур выше характеристической температуры.
(Ответ: 9·10-3 кг
моль
; бериллий).
2.3. Теория теплоемкости твердого тела по Дебаю
Законы и формулы к решению задачпо теме №2.3
1. Характеристическая температура Дебая: |
. |
||
r‡ = |
26 N |
||
|
|
ħn^ ˆ |
|
Здесь ωmax − максимальная частота, ограничивающая спектр нормальных колебаний сверху, ħ − постоянная Дирака, k − постоянная Больцмана.
2. Энергия кристалла: |
oŠ‹Œ |
|
|
|
m = ‰ < [кв > ∙ •(n)-n. |
|
|
Здесь <εкв > − средняя энергия одномерного квантового осциллятора, g(ω) – функция распределения частот для кристаллической решетки.
Примеры решения задач по теме №2.3 |
|
4x |
|
|
для |
|
Пример 2.3.1. Зная функцию распределения частот |
|
|
|
|||
трехмерной кристаллической решетки, вывести формулу•(n)энергии |
'для 1 |
моля |
||||
|
= oŠ‹Œ ∙ n |
|
|
|||
кристалла и получить выражение молярной теплоемкости для |
l r‡ |
по |
||||
Дебаю. |
|
|
||||
Дано: ν = 1 моль. Найти: E, Cμ.
Решение
Энергия кристалла:
oŠ‹Œ ( )
m = ‰ < [кв > ∙ • n -n.
Здесь <εкв > − средняя энергия одномерного квантового осциллятора, g(ω) – функция распределения частот для кристаллической решетки. Тогда
|
|
|
oŠ‹Œ |
|
ħn |
|
∙ |
9 · ν · "# ∙ n |
-n = |
||||||||
|
m = ‰ |
|
ħo |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
9 · |
|
|
Ypq − 1 |
|
|
|
n^ ˆ |
(Nl) |
|||||||
|
|
|
· "# |
oŠ‹Œ |
ħn -n |
|
ħ |
||||||||||
|
|
|
ν |
|
|
ħ |
|
|
|
|
|
ħ |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
‰ |
|
o |
− 1 |
∙ |
|
|
∙ |
|
-n. |
||
|
|
ħ n^ ˆ |
|
|
Ypq |
|
|
|
|
(Nl) |
|||||||
Обозначим: |
8 = pqo |
=> |
n = pq 8 |
, |
|
|
|
-n = pq -8. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ħ |
|
|
|
|
|
|
|
|
ħ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
9 · |
|
· " |
|
|
8 |
|
|
|
(Nl) |
|
9 · |
|
· " |
|
|
(Nl) |
|
|
|
8 |
|
|
||||||||||||||
m = |
|
|
ν |
|
|
# oŠ‹Œ |
|
ˆ |
|
|
∙ |
|
|
|
|
|
-n = |
|
|
ν |
|
# |
∙ |
|
|
oŠ‹Œ |
|
ˆ |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
‰ |
Y |
− 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
‰ |
Y |
− 1 |
|||||||||||||||
|
|
|
n^ ˆ |
|
|
|
|
|
|
ħ |
|
|
|
|
n^ ˆ |
|
|
|
ħ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
9 · |
ν |
· " |
|
(Nl) |
ƒ oŠ‹Œ |
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Nl |
|
|
|
|
oŠ‹Œ |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
# |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ν |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
∙ |
|
ˆ |
|
|
-8 = 9 · |
· "# |
∙ ` |
|
|
|
ħ |
Nl ‰ |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
‰ |
Y |
− 1 |
|
n^ ˆ |
|
a |
|
|
Y |
|||||||||||||||||||||||
|
|
n^ ˆ |
|
|
ħ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∙ Nlħ -8 =
ˆ8− 1 -8.
Так как |
|
ħn^ ˆ |
|
|
то |
|
|
|
r‡ |
|
|
|
ħn^ ˆ |
|
|
|
|
или |
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
Nl |
|
|
|
|||||||||||
r‡ = |
|
, |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
= |
ħ |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
Nl |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r‡ |
|
n^ ˆ , |
|
|
||||||||||||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
oŠ‹Œ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•• |
|
|
|
|
|
|||||
m = 9 · |
ν |
· "# ∙ ` |
|
l |
|
|
|
|
8 |
|
|
-8 = 9 · |
|
ν |
· kl |
` |
l |
|
|
q |
|
|
8 |
-8. |
|
|||||||||||||||||
|
|
‡a |
|
Nl ‰ |
|
Y |
ˆ |
− 1 |
|
|
|
|
‡a |
‰ |
|
Y |
ˆ |
− 1 |
|
|||||||||||||||||||||||
Если l r‡, |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
Zƒ |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
r‡ |
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-8 = |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
l ≈ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
‰ Yˆ |
− 1 |
15. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
Zƒ |
|
|
3 |
|
ν · k(Zl)ƒ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ν |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
m = 9 · |
|
· kl |
`r‡a |
|
|
∙ |
15 |
= |
5 · |
|
|
|
|
‡ |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
В случае одного моля |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
m = |
3 |
· k(Zl)ƒ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
‡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Молярная теплоемкость в случае одного моля |
12 |
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
j‘ = |
-m |
= |
3 |
· |
kZƒ |
· 4l |
|
= |
Z |
ƒ |
k ` |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
-l |
5 |
|
‡ |
|
|
5 |
|
r‡ |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· |
’(Uq)“, |
j‘ = |
|
+ |
|
q |
. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: E = |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28 |
|
|
|
{ |
|
|
••' |
|
|
|
{ |
Zƒk A••E |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пример 2.3.2. Найти граничную частоту Дебая, если известно, что молярная теплоемкость серебра при 20 K равна 1,7 кДж/(кмоль·K).
Дано: T = 20 K,
ν = 1 моль,
Сμ = 1,7 кДж/(кмоль·K).
Найти: νmax.
Решение
Граничную частоту Дебая найдем как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
‚^ ˆ = |
n^ ˆ |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ωmax выразим из формулы, определяющей характеристическую |
||||||||||||||||||||||||
температуру Дебая: |
|
|
nN |
|
|
|
|
|
=> |
|
|
|
n^ ˆ = Nr . |
|
||||||||||
r‡ = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
ħ |
|
|
^ ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ħ |
‡ |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
θD, в свою очередь, выразим из выражения для теплоемкости, |
||||||||||||||||||||||||
полученного в предыдущем примере. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12Zƒkl |
|
||||||||||||
12 |
|
ƒ |
|
|
l |
|
|
|
|
|
=> |
|
|
|
|
' |
. |
|||||||
j‘ = 5 Z |
|
|
k ∙ `r‡a |
|
|
|
|
|
|
|
|
r‡ = & |
5j‘ |
|||||||||||
Таким образом, |
|
|
|
|
|
Nr‡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
^ ˆ |
|
N |
ħ |
' |
12Z |
ƒ |
kl |
|
Nl |
' |
12Zk |
|||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
‚^ ˆ = 2Z |
|
|
= 2Z = 2Z |
|
· & |
|
5j‘ |
|
= 2 |
|
· & 5j‘ . |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ħ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Nl |
|
12Zk |
|
|
ħ |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
‚^ ˆ |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
· & 5j‘ . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ħ |
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.38 ∙ 10) · 20 |
' |
12 ∙ 3,14 ∙ 8,31 |
|
|
|
+ |
Гц |
|||||||||||||||||
‚^ ˆ = 2 · 1,054 ∙ 10) ƒ |
· & |
|
5 ∙ 1,7 ∙ 10 |
|
= 4,38 ∙ 10 |
. |
||||||||||||||||||
Ответ: νmax = 4,38·1012 Гц.
29
Пример 2.3.3. Найдите отношение изменения энергии ∆Е кристалла при
нагревании его от нуля до 0,1θ к величине нулевой энергии. Считать T |
|
θ . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Дано: |
T1 = 0 K, |
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|||||
|
T2 = 0,1θ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Найти: |
E/E0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Энергия кристалла определяется соотношением |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mкр |
= m |
|
+ m. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Здесь E0 − энергия кристалла при Т = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
ν |
kr‡, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m = 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
а E − энергия кристалла при Т > 0. Как показано в примере 2.1.1, при l r‡ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m = 3 |
· νk(Zl)ƒ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
‡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Запишем искомое отношение:3 |
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
· |
νk(Zl )ƒ |
|
− |
3 |
· |
νk(Zl+)ƒ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
∆m |
m |
|
|
|
− m |
|
= |
5 |
|
|
r |
|
|
9 |
|
|
5 |
|
r |
|
= |
|
|
|
|
|||||||||
|
= |
|
кр |
|
кр+ |
|
|
|
|
|
ν |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
m |
3 |
|
|
|
m |
|
|
ƒ |
|
|
|
ƒ |
|
|
|
|
8 |
|
|
|
kr‡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
νkZƒ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
= |
5 |
· |
|
r‡9 ν(l |
− l+ ) |
= |
8 |
|
· |
|
Z‡ƒƒ (lƒ |
− l+ƒ). |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
∆m |
8 |
|
Zƒ |
|
8 |
|
kr‡ |
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
ƒ |
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ƒ |
|
|
|
) |
|
|
|
|||||
m |
= 15 · |
|
|
‡ƒ |
|
((0,1r‡) |
|
− |
0) |
= |
15 |
· |
(0,1Z) |
= 5,18 · 10 |
|
. |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
E/E0 = 5,18·10−3. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Пример 2.3.4. При нагревании 20 г серебра от 10 до 20 K было подведено 0,7 Дж теплоты. Определите характеристическую температуру Дебая серебра, считая T << θD.
30