Материал: Физика конденсированного состояния в примерах и задачах. Белко В.Н., Тутов Е.А
Дано: m = 20 г = 10·10−3 кг, μ = 108·10−3 моль,
T1 = 10 K
T2 = 20 K
∆Q = 0,7 Дж.
Найти: θD.
Решение
По закону сохранения энергии подведенное количество теплоты равно
изменению энергии кристалла |
|
|
∆m = ∆–. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Изменение энергии кристалла |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3 : |
k(Zl+)ƒ |
|
3 : kZƒ |
|
|
|||||||||
3 : |
· |
k(Zl )ƒ |
|
|
ƒ |
ƒ |
||||||||
∆m = 5 · |
‡ |
− 5 |
· · |
‡ |
|
= 5 · · |
‡ |
(l |
− l+ ), |
|||||
Таким образом, |
|
r |
|
|
|
|
r |
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
' 3 : kZƒ |
ƒ |
ƒ |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
r‡ = &5 |
· |
· ∆– (l |
− l+ ). |
|
|
|
|
|||||
' |
3 |
20 ∙ 10) |
∙ |
8,31 ∙ 3,14ƒ |
(20ƒ − 10ƒ) |
= 268 —. |
||||||||
r‡ = &5 |
· 108 ∙ 10) |
|
0,7 |
|
|
|||||||||
Ответ: θD = 268 K.
Пример 2.3.5. Определите относительную ошибку, которая будет допущена при расчете теплоемкости кристалла, если вместо значения, даваемого теорией Дебая (при T = θD), воспользоваться значением, полученным по закону Дюлонга-Пти.
Дано: T = θD
Найти: C/Cкл.
Решение
По классической теории молярная теплоемкость определяется как jкл = 3k,
По теории Дебая теплоемкость будет вычисляться по формуле
31
j = 3k ∙ |
š12 ` l a |
|
•• |
|
8ˆ |
|
-8 |
− |
3•A• l E |
•. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
‰ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
r‡ |
|
q |
Y |
|
|
|
|
r‡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
˜ |
|
|
|
− 1 |
Y q − 1 |
› |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
Ÿ = 2,86k. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
j = 3k ž12 ∙ 0,225 − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Относительная ошибка: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,71 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
j |
|
− j |
|
3k − 2,86k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
∆j |
= |
j |
= |
= 0,05 = 5 % . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
j |
|
|
|
|
3k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
кл |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кл |
|
|
кл |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: C/Cкл=5%. |
|||||||||||
Задачи для самостоятельного решения по теме № 2.3 |
|
¤¥• ˆŒ'¢ˆ |
|
||||||||||||||||||||||||||
1. Зная формулу энергии трехмерного кристалла |
|
|
|
|
q |
|
|
, |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
теплоемкости. |
|
|
|
• |
E |
|
|
£ )+ |
|
||||||||||
получите выражение для килоатомной |
|
|
|
|
|
|
m = 3kl ∙ 3 A• |
¡ |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
(Ответ: |
|
|
|
|
|
q |
|
¤¥• ˆ'¢ˆ |
− |
A |
¤¥• |
E |
¨ |
). |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с = 3k §12 A••E |
£Œ)+ |
£ |
¤• |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
¥ )+ |
|
|
|||
2.Какова максимальная энергия фотонов (эВ) в кристалле свинца, если характеристическая температура его составляет 94 K?
(Ответ: 13,12·10−21 Дж; 8,2·10−2 эВ).
3. По теореме Дебая определите нулевую энергию одного кмоля кристалла |
|
меди. Характеристическая температура r‡ меди равна |
(Ответ: 2,99 МДж). |
|
320 К. |
4.Определите максимальную частоту собственных колебаний (Гц) в кристалле золота по теории Дебая, если характеристическая температура золота 180K.
(Ответ: 3,76·1012 Гц).
5. По теории Дебая определите изменение внутренней энергии одного киломоля кристалла при нагревании от нуля до T=0,1θD. Считать θD=300 K и T θD.
(Ответ: 14,6 кДж).
6.Найдите отношение характеристических температур Эйнштейна θ и Дебая θD, используя выражения для нулевых энергий, вычисленных по обеим теориям.
(Ответ: 0,75).
32
7.Используя квантовую теорию теплоемкости Дебая, рассчитайте изменение
внутренней энергии одного+ киломоля кристалла при нагревании его на ∆T=2 K от температуры T= θD.
(Ответ: 41,4 кДж).
8.На нагревание металлического предмета массой 100 г от 20 до 50 °C затрачено 8,3 кДж теплоты. Определить, из какого металла изготовлен предмет, если указанный интервал температур выше характеристической температуры.
(Ответ: 9·10-3 кг/моль; бериллий.)
ТЕМА №3. ФОНОНЫ. ФАЗОВАЯ И ГРУППОВАЯ СКОРОСТИ. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ТВЕРДЫХ ТЕЛ.
АНГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ. ТЕПЛОВОЕ РАСШИРЕНИЕ ТЕЛ
Законы и формулы к решению задачпо теме № 3.1
1. |
Энергия фонона: |
|
2Zħ |
||
2. |
Квазиимпульс фонона: |
|
|||
[ = ħn. |
|||||
|
|
= = |
|
© |
. |
|
Здесь λ – длина волны, ħ − постоянная Дирака (ħ = /2Z). |
||||
3. |
Фазовая скорость: |
ª = |
ω |
||
|
|
||||
4. |
Групповая скорость: |
N. |
|||
|
|
« = |
-ω |
||
|
Здесь k = 2π/λ. |
|
-N. |
||
|
|
|
|
|
|
5. |
Усредненное значение скорости фонона и его связь со скоростью |
||||
|
поперечных и продольных волн: |
|
|
|
|
|
|
ª3 = ª2¬ + ª1s . |
|||
|
|
33 |
|
||
6. Скорость поперечных и продольных волн: |
|
= &m. |
|
ª¬ |
= &-, |
ªs |
|
|
ρ |
|
ρ |
Здесь E − модуль продольной упругости, G − модуль поперечной упругости, ρ − плотность среды.
7. Возвращающая сила при ангармонических колебаниях |
||
Здесь |
®(8) = −β8 + γ8 . |
|
|
β = R m, |
γ = 2R . |
|
|
β |
r0 – равновесное расстояние, E – модуль Юнга.
8.Коэффициент линейного теплового расширения:
=N .
αβγ R
Здесь k – постоянная Больцмана.
Примеры решения задач по теме №3
Пример 3.1. Найдите энергию фонона, соответствующую граничной частоте Дебая, если характеристическая температура Дебая составляет 250 K.
Дано: θD = 250 K.
Найти: εmax.
Решение
Энергия, соответствующая граничной частоте,
[^ ˆ = ħn^ ˆ.
Характеристическая температура Дебая
r = n^ ˆ
‡ ħ N
34
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[^ ˆ = Nr‡ = 1,38 · 10) · 250 — = 345 · 10) Дж. |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: εmax = 345 ·10− 23 Дж. |
|
Пример |
3.2. |
Длина |
волны фонона, соответствующая |
частоте |
|||||
ω = 0,01 ωmax, |
равна 52 нм. Пренебрегая дисперсией звуковых волн, найдите |
||||||||
характеристическую температуру Дебая, если |
усредненное значение скорости |
||||||||
звука в кристалле 4,8 км/с. |
|
|
|
|
|||||
Дано: |
ω = 0,01 ωmax, |
|
|
|
|
||||
|
λ = 52 нм = 52 ·10− 9 м, |
|
|
|
|||||
|
υ = 4,8 км/с = 4,8 ·103 м/с. |
|
|
|
|||||
Найти: θD. |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Решение |
|
|
|
Для решения задачи используем следующие соотношения: |
|
||||||||
|
|
|
ħn^Б ˆ |
|
ω |
|
2Z |
|
|
|
r‡ = |
N |
|
, |
ª = N |
, |
N = © . |
|
|
Здесь |
kБ |
– |
постоянная |
Больцмана, |
k – |
волновое число, υ – |
фазовая |
||
скорость (данная в условии задачи скорость звука является фазовой, т.к. можно
пренебречь дисперсией). |
|
|
|
|
|
||||
ω |
Решим совместно приведенные выше уравнения: |
|
ħБ |
ª · 2Z |
|||||
ω© |
= |
0,01n^ ˆ© |
=> |
ª · 2Z |
=> |
||||
ª = N |
= 2Z |
2Z |
· 10) ƒ |
n^ ˆ = 0,01© |
r‡ = N |
· 0,01©. |
|||
|
|
|
1,05 |
4,8 · 10 · 2 · 3,14 |
+ |
|
|
||
|
|
r‡ = 1,38 |
· 10) |
· 0,01 · 52 · 10)4 = 44 · 10 = 441 —. |
|
||||
Ответ: θD = 441 K.
Пример 3.3. Найдите усредненное значение фононов (скорости звука) в серебре. Модуль продольной и поперечной упругости, а также плотность серебра считать известными.
Дано: E = 74 · 109 Па, G = 27 · 109 Па,
ρ = 10,5 · 103 кг/м3.
Найти: υ.
35