Материал: Физика конденсированного состояния в примерах и задачах. Белко В.Н., Тутов Е.А
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω |
|
|
YÊ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆ |
|
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
2:. |
|
|
|
|
|
|
y |
с−+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
∆ |
ω |
|
|
|
1,6 · 10)+4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2 · 9,1 · 10) + = 8,8 · 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
−1 |
. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: Δω = 8,8·10 |
c |
|
|||||||||||||||||
Пример 6.6. Вычислите магнитный момент, обусловленный прецессией |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
электронной орбиты |
атома |
|
водорода, |
находящейся в |
магнитном |
поле |
с |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
B |
|
< R |
|
>= |
R |
|
|
|
R − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
индукцией |
1 Тл. |
|
Считать среднее значение квадрата расстояния электрона от |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
+ |
|
радиус первой боровской орбиты. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
ядра по формуле |
|
|
|
|
|
|
, где |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Дано: |
|
|
= 1 Тл. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Найти: Pm. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ø^ |
= ëº. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Сила тока, обусловленная вращением электрона: |
|
|
|
ë = |
£q |
. |
∆U |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Период T обратно пропорционален ларморовой частоте: |
l = |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆ω = £^ì . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Ларморова частота: |
|
º = Z ·< R |
|
>. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Площадь орбиты электрона: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y · |
YÊ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
Y · ∆ |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
· R+ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· R |
|
|
|
|
|
|
|
2: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Ø^ = |
|
|
|
· Z ·< R |
|
> = |
2Z |
|
· Z · |
|
R+ |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
l |
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ƒ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ø^ = |
Y · Ê · R+ |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
(1,6 · 10)+4) |
|
|
6: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Ø^ = |
|
· 1 · (0,53 · 10)+ ) |
= 1,31 · 10 |
) 4 |
» · |
м |
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
6 · 9,1 · 10) + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−29 |
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: Pm = 1,31·10 |
А·м . |
|||||||||||||||||||||
Пример 6.7. Киломольная магнитная восприимчивость окисла хрома (Cr2O3) равна 5,8·10−5 м3/кмоль. Определите магнитный момент молекулы Cr2O3 (в магнетонах Бора), если температура 300 К.
66
Дано: χкм = 5,8·10−5 м3/кмоль,
T = 300 K.
Найти: Pm.
Решение
По теории Ланжевена для парамагнетиков
æ = Ø^3Nl
Концентрация молекул n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
" |
= |
"А · ν |
"# |
· : |
"# |
ρ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Тогда |
|
|
= |
|
= |
|
· |
|
= |
· . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
æ = |
|
· |
|
|
· Ø^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
"# |
|
|
ρ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
полученной в примере 5.3, связывающей χ |
|
и χ: |
||||||||||||||||||
Воспользуемся формулой, |
|
|
|
3Nl |
|
|
· |
|
· Ø^ |
|
|
|
км |
|
|||||||||||
|
µ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
· æ |
|
|
|
|
|
|
µ |
· |
|
"# |
|
ρ |
|
|
# |
^ |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3Nl |
|
" |
· Ø |
|
|
|
||||
æка= |
|
|
=> |
|
æка= |
|
|
|
|
|
|
|
|
= 3Nl . |
|
|
|||||||||
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
æка |
· 3Nl |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
Ø^ = & · "# . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Ø= &5,8 · 10){ · 3 · 1,38 · 10) · 300 = 9,76 · 10) » · м .
^4Z · 10)Ô · 6,02 · 10
или в магнетонах Бора |
|
|
|
|
|
|
|
||
Y |
= |
1,6 · 10)+4 · 6,63 · 10) ƒ |
= 0,928 · 10 |
) |
» · м |
|
|
||
Б = 4Z: |
4Z · 9,1 · 10) + |
|
|
|
|||||
|
|
9,76 · 10) |
|
μБ |
. |
|
|
|
|
|
|
Ø^ = 0,928 · 10) = 105 |
|
|
|
−22 |
2 |
||
|
|
|
|
Ответ: Pm = 9,76·10 |
А·м . |
||||
|
|
67 |
|
|
|
|
|
|
|
Пример 6.8. Определите температуру, при которой вероятность того, что данная молекула имеет отрицательную проекцию магнитного момента на направление внешнего магнитного поля, будет равна 0,001. Магнитный момент молекулы считать равным одном магнетону Бора, а индукцию магнитного поля равной 8 Тл.
Дано: |
Pm = µБ, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B = 8 Тл, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Wвер = 0,001. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Найти: T. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pq |
|
|
|
|
\ |
|
Решение |
|
ñ |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
ÃÁ^ |
ÃÁ |
|
|
|
|
|
||||
|
вер |
)Æh |
, |
|
где |
E |
= −.Ø |
· Ê/ = −P |
|
|
|
α |
|
|||||
Тогда |
î = Y |
|
|
|
|
|
· B · cos . |
|||||||||||
|
|
|
|
|
îвер = Y |
)()àŠìDóôõ) |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Ø |
|
|
pq |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
Ê |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По условию задачи: ÃÁ^↓↑ÃÁ, => α=π => cosα = −1. |
)àŠì |
|
||||||||||||||||
|
0,001 = Y |
àŠì()+) |
или |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
^ pq |
|
|
10) = YY pqÊ. |
|
|||||||||||||
|
3G 10 = |
Ø Ê |
|
или |
|
3G 10 = |
4Z: |
|
||||||||||
|
|
Nl |
|
|
|
|
|
Nl |
|
|
||||||||
|
Y · Ê |
|
|
|
|
1,6 · 10)+4 |
· 6,62 · 10) ƒ |
|
· 8 |
|
= 0,78 —. |
|||||||
T = 4Z:N · 3G 10 |
= 4 · 3,14 · 9,1 · 10) + |
· 1,38 · 10) |
· 3 · 2,3 |
|||||||||||||||
Ответ: T = 0,78 K.
Пример 6.9. При температуре 300 К и магнитной индукции 0,5 Тл была достигнута определенная намагниченность парамагнетика. Определите магнитную индукцию, при которой сохранится та же намагниченность, если температуру повысить до 450 К.
Дано: T1=300 K, B1=0,5 Тл, T2=450 K.
j1 = j2.
Найти: B2.
РешениеÄ = æç.
68
Магнитная восприимчивость для парамагнетиков: |
|
|
e |
||||||||||||||
Напряженность магнитного поля: |
|
|
|
Н |
= |
ì |
æ = \àpqŠ. |
||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
‘d. |
|
|
|
|
|
|
|
^ |
|
|
|
|
|
^ |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Ø |
|
· |
|
Ê |
Ø Ê |
|
|
|
|||||
|
Ä = 3Nl |
|
= 3Nl . |
|
|
|
|||||||||||
Запишем для двух случаев: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ä+ = |
Ø^Ê+ |
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
Ä = |
Ø^Ê |
. |
||
3Nl+ |
|
Ø^ |
Ê |
|
|
Ê+ |
3Nl |
||||||||||
|
Ø^Ê+ |
, |
|
|
Ê |
|
|
|
|||||||||
|
3Nl+ |
|
= |
3Nl |
|
|
|
l+ |
= l . |
|
|
||||||
|
Ê = |
Ê+ · l |
= |
0,5 · 450 |
= 0,75 Тл. |
|
|
||||||||||
|
|
l+ |
|
|
300 |
|
|
|
|||||||||
Ответ: B2. = 0,75 Тл.
Пример 6.10. Определите магнитный момент в магнетонах Бора молекулы V2O3, если удельная парамагнитная восприимчивость при 290 K
равна +1,8·10−7 м3/кг. Дано: T = 290 K,
|
χуд = 1,8·10−7м3/кг. |
|
|
|
Найти: Pm. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение |
В примере 5.3 получена связь: |
|
|
||
æ |
|
æ= · æуд. |
||
|
æ = pq |
|||
Но для парамагнетика |
|
\øŠ |
||
=^ |
e , следовательно, |
|||
|
|
= æуд · . |
||
Отсюда |
3Nl |
|||
|
|
Р^ = & |
æуд · · 3Nl |
|
|
|
|
· . |
|
|
|
|
|
69 |
Концентрация молекул n: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
" |
= |
"А · ν |
"# |
· : |
"# |
|
ρ |
|
|
|
|
|
||
|
= |
|
= · |
= |
|
· . |
|
|
|
|
|
||||
|
æуд |
· · 3Nl · |
= & |
æуд |
· 3Nl · |
. |
|
|
|
|
|||||
|
Р^ = & |
· "# · |
|
· "# |
|
|
|
|
|||||||
Р^ = & |
1,8 ∙ 10)Ô ∙ 3 ∙ 1,38 ∙ 10) ∙ 290 ∙ 150 ∙ 10) |
= 2,07 ∙ 10 |
) |
|
|
). |
|||||||||
4Z ∙ 10)Ô |
∙ 6,02 ∙ 10 |
|
|
|
|
|
(А ∙ м |
||||||||
Учитывая, что магнетон Бора Б = 0,93 ∙ 10) (А ∙ м ), получим |
|
|
|||||||||||||
|
Р^ = |
|
2,07 ∙ 10) |
= 2,23 Б. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
0,93 ∙ 10) |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Ответ: Pm = 2,23 µБ.
Пример 6.11. Молекула NO имеет магнитный момент, равный 1,8 µБ. Определите удельную парамагнитную восприимчивость газообразной окиси азота при нормальных условиях.
|
|
|
|
-23 |
А/м, |
|
|
|
|
|
Дано: Pm = 1,8 µБ= 1,8·0,93·10 |
|
|
|
|
|
|||||
T=273 K. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Найти: χуд. |
|
|
|
|
|
|
=^ |
|
|
|
|
|
|
|
Решение |
|
|
|
|
||
=^ |
æ= · æуд, |
|
æ = |
3Nl. |
|
|
||||
|
|
|
|
"# · =^ |
|
|
||||
3Nl |
= æуд · |
или |
|
|
3Nl |
= æуд · . |
||||
Отсюда |
|
|
|
· "# · =^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æуд = |
|
3Nl . |
|
|
|
)Ô м |
|
|
4Z · 10)Ô · 6,02 · 10 · (1,67 · 10) ) |
|
|
|||||||
æуд = |
|
30 · 10) · 3 · 1,38 · 10) · 273 |
|
= 6,2 · 10 |
кг. |
|||||
Ответ: χуд = 6,2·10−7м3/кг
70