Материал: Физика конденсированного состояния в примерах и задачах. Белко В.Н., Тутов Е.А

Раздел

Тематика

дисциплины

практических занятий

Атомная структура и строение

Элементы кристаллографии. Типы связей в твердых

твердых тел. Методы исследования

телах.

Энергия

взаимодействия

атомов

и описания атомной структуры

кристаллической решетки

конденсированных сред

Тепловые колебания решетки

Теория теплоемкости твердых тел

Фононы.

Фазовая

и

групповая

скорость.

Теплопроводность. Тепловое расширение

Электронное строение твердых тел.

Электрические свойства металлов

Основы зонной теории

Диэлектрические свойства твердых

Физические свойства диэлектриков

тел

Магнитные свойства твердых тел

Магнитные свойства твердых тел. Магнитная

восприимчивость, намагниченность

1. Объем элементарной ячейки:

V= ,

− для кубической сингонии

− для гексагональной сингонии

V= √ .

Здесь a, с – параметры решетки. Если принять, что c = а, то

V = √2 .

2. Объем V0 одного моля кристалла:

Здесь µ − масса моля, ρ – плотность. =

3. Число элементарных ячеек в одном моле кристалла:

=

.

Здесь V − объем элементарной ячейки.

6

− гранецентрированной (ГЦК)

d=

√

− объемно центрированной (ОЦК)

d=√ а.

одновременно принадлежит 8 элементарным ячейкам.

Следовательно, на данную вершину приходится 1/8 узла.

Так как вершин восемь, то на одну элементарную ячейку

приходится один узел. Узел, находящийся на грани куба,

одновременно принадлежит 2 элементарным ячейкам.

Значит, на одну грань приходится 1/2 узла. Так как граней

шесть, то на одну элементарную ячейку приходится три

узла.

1

1

Рис. 1.

Итого:

= 8

· 8 + 2 · 6 = 4 узла = 4 атома.

Решение

Объем элементарной ячейки:

=>

= ,

=

=

или

"#

=

,

= .

Здесь V0 –

объем моля,

Z0 – число ячеек в моле, μ –

мольная масса,

NА − число Авогадро, n –

число атомов на одну элементарную ячейку.

Итак,

μ ·

' μ ·

= ρ · "#

=> = &

ρ · "#

.

'

)+

40 · 10) · 4

м

= 5,6 Å.

= &1,55 · 10 · 6,02 · 10 = 5,6 · 10

Расстояние между ближайшими соседними атомами

d

для ГЦК-решетки (рис. 2.)

5,6 · 10)+

Å

= 4

.

- = √2 =

1,41

Для ГЦК - решетки расстояние между ближайшими соседними атомами

- =

√2

=>

= √2-.

8

В предыдущем примере было получено, что

·

= · "#.

Выразим отсюда плотность и сделаем математические расчеты:

ρ

μ ·

μ ·

= · "# = .√2-/ · "#.

м

м

87,62 · 10

)

∙ 4

ρ

кг

кг

= (√2 ∙ 0,43 ∙ 10)4) ∙ 6,02 ∙ 10 = 2588,5

= 2,6 · 10

.

Здесь V – объем кристалла, V0 –

объем моля, Z0 –

число ячеек в моле:

=

"#

,

= ,

Пример 1.5. Прямая проходит через узлы [[100]] и [[001]] кубической

примитивной решетки (рис. 3). Каковы индексы этой прямой?

Решение

Перенеся начало координат в узел [[100]], получили, что узел, лежащий

на той же прямой и ближайший к выбранному

z

началу

координат,

будет

иметь

индекс

[[ 01]], а искомое направление

в

данном

[001]

случае определяется индексами [ 01]. Если

7

1

же

начало

координат

перенести

в

узел

7

1

[[

]], то индексы направления будут [

0

].

y

Можно

использовать

аналитический

7

001

1 1

метод решения.

Пусть прямая проходит через

[100]

две

точки

в

пространстве

с

индексами

[[m1,n1,p1]] и

[[m2,n2,p2]]. Уравнение прямой,

x

проходящей через две точки, имеет вид

Рис. 3.

8 − :+

; − +

< − =+

: − :+ =

− + = = − =+.

Но

m1

= 1, n1 = 0, p1 = 0

и m2 = 0, n2 = 0, p2 = 1. Таким образом,

m2 − m1 = −1,

n2 − n1 = 0,

p2 − p = 1. Эти величины и будут являться индексами

искомого направления, т.е. [70

].

Ответ: индексы прямой: [701],

07].

1 1

[

1

1 1

Пример 1.6. Напишите индексы Миллера для плоскостей в примитивной

кубической решетке (рис. 4).

z

z

z

y

y

y

x

x

x

10

1

Рис. 4.

Ответ: (011), (17

), (117).

10