Материал: Физика конденсированного состояния в примерах и задачах. Белко В.Н., Тутов Е.А

точки, дается определителем 3-го порядка:

8 − 1 ; <

8 − 1

; − 0

< − 0

или

>

>0 − 1

2 − 0

0 − 0> = 0

−1 2 0> = 0.

0 − 1

0 − 0

4 − 0

−1 0 4

Разложим определитель по элементам первой строки:

(8 − 1) @2

0@ − ; @−1

0@ + < @−1

2@ = 0.

0

4

−1

4

−1

0

Раскрывая определители 2-го порядка, получим

88 − 8 + 4; + 2< = 0

или

48 + 2; + < = 4.

известны

отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координат

(кристаллографические направления).

Ответ: (421).

Пример 1.8. Напишите индексы направления прямой, проходящей через

узлы [[77

]] и [[707]].

121

2 1

Запишем уравнение прямой, проходящей через две точки:

8 − :+

; − +

< − =+

: − :+ = − + = = − =+.

Подставим заданные индексы узлов:

< − 1

8 − (−1)

; −

(−2)

−2 − (−1) = 0 −

(−2)

= −1 − 1

11

или

8 + 1

=

; + 2

=

< − 1

−1

2

−2 .

Величины, стоящие в знаменателе, являются индексами направления.

Таким образом, индексы прямой [72

7].

Ответ: [

7

2

7

].

1

2

Пример 1.9. Нормаль к некоторой плоскости в

z

1 2

кубической решетке задана индексами [110].

Определите индексы Миллера этой плоскости и

наименьшие отрезки, отсекаемые плоскостью на

кристаллографических осях.

y

Решение

Индексы для плоскости совпадают с индексами

x

направления нормали к

этой

плоскости

[110].

[100]

Плоскость с такими индексами показана на рис. 5

Рис. 5.

(заштрихованная область).

Положение

плоскости

следующим образом. Выражают отрезки a, b, c

в осевых единицах и

записывают величины, обратные этим отрезкам: A+ ; C+ ;

+DE. По условию задачи

1

= 1;

1

1

= 0.

F = 1;

=> = 1, F = 1,

= ∞.

sin L = 0

0 · 1 + 1 · 1 + 1 · 1

0 + 1 + 1

2

+ 1 + 1

∙

1 + 1 + 1 = √0 + 1 + 1 ∙ √1 + 1 + 1 = √6 .

OP Q = 0,82

=>

Q = R OP 0,82 = 55 .

0

.

Ответ: ϑ = 55

Пример 1.13. Докажите, что в кубической решетке направление оси oy

параллельно плоскости с индексами (100).

Решение

Плоскость с указанными в условии индексами

z

показана на рис. 7 (заштрихованная область).

Косинус угла между осью oy и нормалью к

плоскости определяется формулой

:+: + + + =+=

+ = .

y

cos Q = H:+ + + + =+ ∙ H:

+

Здесь m,

n, p – индексы прямой. Индексы оси

x

oy [010], индексы нормали к плоскости совпадают с

Рис. 7.

индексами плоскости − [100].

Тогда

1 · 0 + 0 · 0 + 0 · 0

0

cos Q = 1 + 0 + 0

∙ 0

+ 1 + 0

=

√1 ∙ √1

= 0.

(100) и

Q =

= 90

.

Следовательно,

U

[010]

Так как угол между нормалью к плоскости

направлением oy

равен

900, следовательно, плоскость

(100)

параллельна оси oy [010].

cos Q =

1 · 1 + 1 · 0 + 0 · 0

1 + 0 + 0

1

1 + 1 + 0 ∙ 1 + 0 + 0

= √1 + 1 + 0 ∙ √1

= √2 .

Второй способ. Индексы нормалей к заданным плоскостям [110] и [100]. Тогда

:+: + + + =+=

искомый угол можно определить как угол между двумя направлениями в кристалле.

cos Q =

H:+ + + + =+ ∙ H: + + =

.

Здесь m, n, p – индексы направления.

1 + 0 + 0

1

cos Q =

1 · 1 + 1 · 0 + 0 · 0

1 + 1 + 0 ∙ 1 + 0 + 0

= √1 + 1 + 0 ∙ √1

= √2 .