Материал: Физика конденсированного состояния в примерах и задачах. Белко В.Н., Тутов Е.А
7.Определите плотность кристалла KBr, имеющего примитивную кубическую структуру с постоянной a = 0, 659 нм.
(Ответ: 2,74·103 кг/м3).
8.α-железо (α-Fe) имеет структуру ОЦК (а = 2,86 Å), γ-железо (γ-Fe) – структуру ГЦК (а = 3,56 Å). Как изменится плотность железа при переходе α→γ ?
(Ответ: увеличится на 4%).
9.Докажите, что направление [mnp] в кубической решетке нормально к плоскостям (hkl).
10.Найдите угол между плоскостями (100) и (010) кубической примитивной решетки.
(Ответ: φ = 900)
ТЕМА № 2. ТИПЫ СВЯЗЕЙ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ
2.1. Энергия взаимодействия атомов кристаллической решетки ионного типа
Законы и формулы к решению задачпо теме № 2.1
1. Полная энергия решетки, содержащей N пар ионов: |
|
||||||||
|
|
V = |
− |
" W |
XY |
+ |
F |
|
|
|
|
|
|
\ ]. |
|
||||
|
|
|
|
|
4Z[ R |
|
R |
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
2. |
|
|
− |
|
Y |
|
1 |
|
|
Внутренняя энергия кристалла: |
· X 4Z[ R · `1 − a, |
|
|||||||
|
V^_\ |
= |
|
|
· "# |
|
|||
|
Здесь e – заряд |
электрона, |
n – |
постоянная сил |
отталкивания, |
||||
α – |
постоянная Маделунга, NA − число Авогадро, r0 – равновесное расстояние |
||||||||
между частицами, m – масса кристалла, μ − молярная масса, ε0 – |
электрическая |
||||||||
постоянная, b − эмпирическая константа. |
|
|
|
||||||
Примеры решения задач по теме № 2.1
Пример 2.1.1. Рассчитать внутреннюю энергию 200 г каменной соли, постоянная кристаллической решетки которой равна 5,64 Å . Постоянная сил отталкивания 9,4.
16
Дано: m = 200 г = 0,2 кг.
µ = 58,5·10 −3 кг/моль, а = 5,64 Å = 5,64·10 −10 м, n = 9,4,
α = 1,75.
Найти: Umin.
|
|
|
V^_\ = |
− |
|
: |
РешениеY |
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
· "# · X 4Z[ R · `1 − |
a, |
|
|
|||||||||||||
Для решетки |
каменной |
|
|
соли (NaCl) |
равновесное расстояние между |
|||||||||||||||||||
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
частицами r0 = . |
|
2Y |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
− : |
|
Y |
|
1 |
|||||||||
V^_\ = |
− |
: |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
||||||||||||
|
· "# · X 4Z[ · `1 − |
a |
|
|
· "# |
· X 2Z[ · `1 − |
a. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
V^_\ = |
|
− |
|
|
0,2 |
|
− |
|
· 6,02 · 10 |
|
· 1,75 · |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
58,5 · 10 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
−+4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кДж |
|
||
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
) |
|
|
− |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
(1,6 · 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= −2618 |
. |
|
|||||
· 2 · 3,14 · 8,85 · 10 |
|
+ · 5,64 · 10 + · `1 − 9,4a |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: Umin.= − 2618 кДж. |
||||
Пример 2.1.2. Как изменится равновесное расстояние r0 между ионами и |
||||||||||||||||||||||||
энергия решетки NaCl, если заряд иона возрастет вдвое? |
|
|
||||||||||||||||||||||
Дано: e, |
2e. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Найти: r02 / r01, |
U02 / U01. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Полная энергия решетки, содержащей N пар ионов, |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
V = |
|
− |
" W |
XY |
|
+ |
F |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4Z[ R |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Из равенства нулю первой производной от энергии кристалла имеем:
17
а) для иона с зарядом е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
" W |
XY |
|
|
− |
|
F |
] = 0 |
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
XY |
|
= |
|
|
F |
|||||||
|
|
|
|
\b+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\b+ . |
|||||||||
4Z[ R + |
|
R + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4Z[ R + |
|
R + |
|||||||||
Умножим уравнение на R\b++ : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
XY R\)++ |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
XY |
R\b++ |
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
= F, |
|
||||||||||
|
4Z[ R + = F |
|
|
|
|
4Z[ F |
|
|
+ |
|
4Z[ |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R + = |
|
a |
\)+ |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
б) для иона с зарядом 2е |
|
|
` XY |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4Z[ F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\)+ |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Искомое отношение: |
|
|
|
|
|
R = `X(2Y) a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4Z[ F |
|
+ |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
R = |
|
|
|
\)+ |
|
`1a |
|
= 4+)\ . |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
` |
X(2Y) |
a |
+ = |
\)+ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
R + |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
` |
4Z[ F |
a |
\)+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Отношение энергий: |
|
|
|
XY |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
(2Y) |
· A1 |
− 1E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
"# · X |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
\ |
|||||||||||||
V+ |
= |
|
|
|
|
|
4Z[ R |
|
|
|
|
= 4 · R = 4 · 4 |
\)+ |
= 4 |
\)+ |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Y |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
V |
"# |
|
· X |
|
|
· A1 − E |
|
|
|
|
R + |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
4Z[ R + |
|
|
|
|
|
|
|
ccdfde |
= 4fgh |
|
iife = 4hgf |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
, |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
h . |
|||||
Пример 2.1.3.CВ выражении полной энергии кристаллической решетки ионного типа член ch , соответствующий силам отталкивания, часто заменяют
C·e− r/ρ , вид которого легче объяснить теоретически. Чему равно расстояние r0 = r0(n, ρ), при котором эти две энергии отталкивания дают одинаковые значения энергии решетки?
18
Дано: n, ρ. Найти: r0.
РешениеXY
V(R) = −" · W4Z[ R j · Y−cd].
− ρ
Определим первую производную при r = r0: |
1 j · Y |
c ] = 0. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
`-Va |
|
|
|
= " · W |
XY |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
-R cd |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
−ρd |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
4Z[ R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
XY |
|
1 |
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
XY |
|
|
|
c |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
4Z[ R |
= j · Y |
− |
|
|
|
|
=> |
|
|
|
|
|
j = |
4Z[ R |
· Y |
ρ |
. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставим этот коэффициент в U(r0): |
|
|
|
· Y |
|
c] = −" · XY |
|
`1 − a. |
|||||||||||||||||||||
V(R ) = −" · W XY |
|
|
|
|
|
XY |
|
· Yc |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|||||
|
|
|
4Z[ R |
|
|
4Z[ R |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
4Z[ R |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρ |
|
|
|
ρ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Сравним последнее выражение для энергии с |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
XY |
|
|
`1 − |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Из сравнения видно, что |
V(R ) = −" · 4Z[ R |
a. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=> |
|
|
|
|
|
R = |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
R = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: r0 = ρ n. |
||||||||||||
Задачи для самостоятельного решения по теме № 2.1
1.Считая, что основная часть энергии кристалла ионного типа обусловлена кулоновским, т.е. электростатическим, взаимодействием, определите энергию 200 г каменной соли, постоянная решетки которой а = 5,64 Å. Воспользовавшись решением задачи № 2.1.1, оцените в процентах долю энергии отталкивания в общей энергии данного кристалла каменной соли.
19
2.С какой силой взаимодействуют между собой соседние ионы цезия и хлора в кристалле хлористого цезия?
(Ответ: 1,8·10-9 Н).
2.2Теория теплоемкости твердых тел
(классическая и квантовая по Эйнштейну)
Законы и формулы к решению задачпо теме № 2.2
1. Внутренняя энергия твердого тела по классической теории:
V = 3ν kl.
Здесь ν − количество вещества.
2. Средняя энергия одномерного квантового осциллятора при T ¹ m = "2ħn + Y "oħ−n1 .
ħpq
3. Средняя энергия трехмерного квантового осциллятора при T ¹ m = 3"2ħn + 3"ħn
Y o − 1
ħpq
0:
0
Здесь N – количество осцилляторов, ω − круговая частота колебаний осциллятора.
4. Характеристическая температура Эйнштейна: r = n.
ħN
Здесь ħ − постоянная Дирака, k − постоянная Больцмана.
Примеры решения задач по теме №2.2
Пример 2.2.1. Найдите удельные теплоемкости кристаллов алюминия и меди по классической теории.
Дано: µ Al = 26,98·10 −3 кг/моль. µ Cu = 63,55·10 −3 кг/моль.
Найти: cAl, cCu.
20