Материал: Физика конденсированного состояния в примерах и задачах. Белко В.Н., Тутов Е.А
Решение
Согласно классической теории молярная теплоемкость определяется как j = 3k ,
а удельная теплоемкость |
|
= j . |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R – универсальная |
газовая постоянная, n − число частиц в формуле |
|||||||
кристалла, μ − молярная масса. Удельная теплоемкость для алюминия: |
||||||||
#s = |
j |
= |
3k |
3 · 8,31 · 1 |
= 924 |
/( |
∙ К). |
|
#s |
#s |
= 26,98 · 10) |
||||||
|
|
|
|
|
|
Дж |
кг |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Удельная теплоемкость для меди: |
|
|
|
|
||||
vw = |
j |
= |
3k |
3 · 8,31 · 1 |
= 392 |
|
/( |
∙ К). |
vw |
vw |
= 63,55 · 10) |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
Дж |
кг |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: cAl = 924 Дж/(кг·К), cCu = 392 Дж/(кг·К).
Пример 2.2.2. Вычислите удельные теплоемкости кристаллов NaCl и
CaCl2 по классической теории. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Дано: µ NaCl = 58,44 ·10 −3 кг/моль. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
µ CaCl2 = 110,98 ·10 −3 кг/моль. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Найти: cNaCl, cCaCl2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
Удельная теплоемкость для NaCl: |
|
|
|
|
|
|
|
|||
j |
|
3k |
3 · 8,31 · 2 |
= 853 |
|
/( |
|
∙ К). |
||
x vs = x vs = |
|
x vs |
= 58,44 · 10) |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
Дж кг |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Удельная теплоемкость для CaCl2: |
|
|
|
|
|
|
|
|||
j |
3k |
3 · 8,31 · 3 |
|
= 674 |
Дж |
/( |
кг |
|||
v vse = v vse = |
|
v vse |
= 110,98 · 10) |
|
|
∙ К). |
||||
Ответ: cNaCl = 853 Дж/(кг·К), cCaCl2 = 674 Дж/(кг·К).
21
Пример 2.2.3. Чему равна теплоемкость единицы объема кристалла бромида алюминия (AlBr3) по классической теории? Плотность кристалла
3,01·10 3 кг/м3.
Дано: ρ = 3,01·10 3 кг/м3, µ = 266,68·10-3 кг/моль, V = 1 м3.
Найти: C.
|
|
|
|
|
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
j = |
ν |
|
: |
ρ · |
· 3k . |
|
|
|||
|
|
· j = |
· 3k = |
|
|
|
|||||
Здесь ν − количество вещества, m – |
масса кристалла. |
|
|
|
|||||||
j = |
3,01 · 10 · 1 |
|
|
|
|
|
|
y |
Дж |
= 1,13 |
МДж |
266,68 · 10) · 3 · 8,31 · 4 = 1,13 · 10 |
|
|
. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: C = 1,13 МДж. |
||
Пример 2.2.4. Определите изменение внутренней энергии кристалла |
|||||||||||
никеля при нагревании от 0 0C до 200 0C. Масса кристалла 20 г. |
|
||||||||||
Дано: |
m = 20 г = 20·10 −3 |
кг, |
|
|
|
|
|
|
|||
|
µ = 58,7·10 −3 кг/моль, |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
t1 = 0 0C = 273 K, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
t2 = 200 0C = 473 K. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Найти: |
U. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение |
|
|
|
|
|
|
Для твердого тела внутренняя энергия определяется как
V = 3ν kl.
Следовательно, изменение энергии твердого тела: |
|
|
|
|
||||||
|
∆ |
V = 3 |
ν |
k l = 3 |
|
k l. |
|
|
|
|
|
|
∆ |
: |
∆ |
|
|
|
|
||
∆ |
20 · 10) |
|
|
|
|
= 1699 |
Дж |
≈ 1,7 |
кДж |
. |
|
V = 3 · 58,7 · 10) 8,31(473 − 273) |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
U ≈ 1,7 кДж. |
||
|
|
|
|
22 |
|
|
|
|
|
|
Пример 2.2.5. Определите энергию и теплоемкость (по классической теории) системы, состоящей из 1025 классических трехмерных независимых гармонических осцилляторов при температуре 300 К.
Дано: N = 1025, T = 300 K,
Найти: U, C.
Решение
Для твердого тела внутренняя энергия определяется как
V = 3ν kl.
Учитывая, что R = k·NA, а ν = xx , получим
V = 3 kl = 3 "А N · " · l = 3"Nl.
ν "А А
V = 3 · 10{ · 1,38 · 10) · 300 = 0,124 МДж.
Теплоемкость определим как производную от энергии: j = -V = -(3"Nl) = 3"N.
-l -l
j = 3 · 10{ · 1,38 · 10) = 414 Дж/К.
Ответ: U = 0,124 МДж, C = 414 Дж/К.
Пример 2.2.6. Чему равна средняя энергия линейного одномерного осциллятора по квантовой теории Эйнштейна при температуре Т = θ (θ = 200 К)?
Дано: Т = θ = 200 К. Найти: <ε кв.>
Решение
Средняя энергия одномерного квантового осциллятора:
< [ |
>= |
|
+ |
|
o |
. |
2 |
|
|||||
кв |
|
ħn |
|
ħ |
ħn |
|
23
Характеристическая температура Эйнштейна |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
r = |
ħn |
|
=> |
|
ħ |
n = rN. |
|
|
|
|
|
||||
Следовательно, |
N |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||
< [кв >= |
rN |
+ |
|
rN |
|
|
1 |
• |
•. |
|
|
|
||||
2 |
|
•p |
− 1 |
= Nr € + |
− 1 |
|
|
|
||||||||
При Т = θ имеем |
|
|
|
Ypq |
1 |
|
2 |
Yq |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
< [кв >= Nr `2 |
+ Y − 1a. |
|
|
|
|
|
. |
||||||||
< [ >= 1,38 · 10 |
) |
· 200 `2 + |
2,72 − 1a = 2,98 · 10 |
) + |
|
|||||||||||
кв |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
Дж |
|
|||
Ответ: <ε кв > = 2,81·10 −21 Дж.
Пример 2.2.7. Определите частоту колебаний атомов серебра по квантовой теории Эйнштейна, если характеристическая температура серебра равна − 108 0С.
Дано: θ = −108 0С = 165 K.
Найти: ν.
|
n = 2Z‚ |
|
|
|
|
|
|
Решение |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
po |
|
|
= /2Z |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Учитывая, что |
|
|
|
|
r = |
|
ħ |
|
, выражение для характеристической |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
, а |
|
|
||||||||||||
температуры Эйнштейна |
|
|
|
ħ |
|
|
принимает вид: |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
2Z‚ |
|
|
|
ν |
|
|
ν |
|
rN |
|
|
||||||
r = |
2ZN |
|
= |
|
N |
|
|
=> |
|
|
= |
. |
|
|
||||||
|
ν |
= |
165 · 1,38 · 10) |
+ |
Гц. |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
6,62 · 10) ƒ |
= 3,44 · 10 |
|
|
12 |
Гц. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: ν = 3,44 · 10 |
|
|||||
Пример 2.2.8. Определите по квантовой теории Эйнштейна изменение внутренней энергии одного килограмма кристалла при нагревании от нуля до
0,1θ. Принять θ = 300 К. Дано: T1 = 0 K,
T2 = 0,1θ, θ = 300 К.
24
Найти: E.
Решение
Для одного трехмерного осциллятора при Т = 0 m = 3 n.
ħ2
Для NА осцилляторов при Т = 0 |
|
|
|
|
rN |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
ħn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
m = "# · 3 |
2 |
= "# · 3 |
2 |
= |
2 rk. |
|
|
|
|
|
|||||||||||
Для NА осцилляторов при Т3> 0 |
|
|
|
θ |
θ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
m = 2 rk + 3k |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Изменение энергии: |
|
|
e |
,+θ |
− 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3k |
|
|
|||||||
|
m = m − m = |
rk + 3k |
• |
r |
|
|
− |
3 |
rk = |
|
|
. |
||||||||||
∆ |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
θ |
|
|
|
|
|
|
|
,+• |
|
|
|
|
|
|
e |
,+ |
− 1 |
|
|||||||
|
|
|
|
3 · 8,31 ·Y300 |
− 1 |
|
|
|
|
|
|
θ |
|
|||||||||
|
∆ |
m = |
|
|
|
Дж |
. |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
− 1 |
|
|
= 0,34 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
,+· |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: E = 0,34 Дж. |
||||||
Пример 2.2.9. Найдите нулевую энергию, которой обладает один киломоль кристалла цинка, если характеристическая температура для цинка равна 230 К.
Дано: θ = 230 K,
ν = 1 кмоль = 103 моль.
Найти: E0.
Решение
Нулевая энергия для одного моля одномерного квантового осциллятора: |
||||
|
ħn |
rN |
3 |
|
m = "# · 3 |
2 |
= "# · 3 |
2 |
= 2 rk; |
m = 2 · 230 · 8,31 = 2,87 |
. Ответ: E0 = 2,87 кДж. |
|||
3 |
|
|
|
кДж |
|
25 |
|
|
|