Материал: Физика конденсированного состояния в примерах и задачах. Белко В.Н., Тутов Е.А
σ = 10 МСм/м=10 ·106 См/м, υ = 1 Мм/с = 106 м/с.
Найти: < λ >.
Решение
Выразим среднюю длину свободного пробега из формулы удельной
проводимости: |
Y · ·< © > |
|
|
 · 2 · : · ª |
|
|
|
||
 = |
=> |
< © >= |
. |
|
|
||||
2 · : · ª |
|
Y · |
|
|
|||||
< © >= |
10 · 10y · 2 · 9,1 · 10) + · 10y |
= 7,1 · 10 |
) м |
= 71 |
нм |
. |
|||
(1,6 · 10)+4) · 10 |
|
|
|||||||
Ответ: < λ > = 71 нм.
Пример 4.4. Пользуясь моделью свободных электронов, определите число соударений, которое испытывает электрон в единицу времени, находясь в металле, если концентрация электронов проводимости 10 29 м −3. Удельная электропроводность 10 МСм/м.
Дано: n = 10 29 м −3,
σ = 10 МСм/м =10 ·106 См/м.
Найти: Z.
Решение
Число соударений найдем как отношение средней скорости хаотического
движения к средней длине свободного пробега:
= < ª© >.
Соответствующее отношение выразим из формулы удельной
проводимости: |
Y · ·< © > , |
=> |
ª |
= |
е · |
. |
|
 = |
|
||||||
Таким образом |
2 · : · ª |
|
< © > |
|
2 · : · Â |
|
|
(1,6 · 10)+4) · 10 4 |
|
+{сек)+ |
|
+ƒсек)+ |
. |
||
= 2 · 9,1 · 10) + · 10 · 10y = 0,14 · 10 |
= 1,4 · 10 |
|
|||||
Ответ: Z = 1,4·10 14 сек −1.
46
Пример 4.5. На основе классической теории электропроводности металлов, определите среднюю кинетическую энергию электронов в металле, если отношение коэффициента теплопроводности к удельной проводимости составляет 6,7 ·10æ −6 В2/м.
Дано: /σ = 6,7 ·10 −6 В2/м.
Найти: < ω >.
Решение
Средняя кинетическая энергия электронов в металле:
< n > = : ·<2Ð > .
Средняя квадратичная скорость: |
|
3 · N · l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
< Ð > = & |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Из закона Видемана-Франца выразим произведение (k·T) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
æ |
|
N |
· l |
|
|
|
=> |
|
|
|
|
|
æ |
Y |
|
|
|
||||||
|
 |
= 3 · Y |
|
|
|
|
N · l = Â |
· 3l. |
|
|
|
|||||||||||||
Таким образом, |
|
: · W |
|
3 · N · l |
] |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 · |
æ |
· |
Y |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
: |
|
|
|
3 · N · l |
|
|
|
æ Y |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Â2 |
3l = |
|
|||||||||||||
< n > = |
|
|
|
2 |
|
|
|
= |
|
|
2 |
|
= |
|
|
 |
· 2l. |
|||||||
|
|
|
< n > = 6,7 · 10 |
)y |
· |
(1,6 · 10)+4) |
|
= |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
2 · 1,38 · 10) |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
= 6,21 · 10) +Дж = 3,9 · 10)эВ = 39 мэВ. |
|
|
|
||||||||||||||||||||
Ответ: < ω > = 39 мэВ.
Пример 4.6. Определите объемную плотность тепловой мощности в металлическом проводнике при плотности тока 10 А/мм2 и напряженности электрического поля 1 мВ/м.
Дано: j = 10 А/мм2=10·106 А/м2, Е = 1 мВ/м = 10−3 В/м.
Найти: ω.
47
Решение
Согласно закону Джоуля-Ленца в дифференциальной форме n = Ä · m.
ω = 10 · 10y · 10) = 10ƒ · Дж/м · С = 10 кВт/м .
Ответ: ω = 10 кВт/м3.
Пример 4.7. Найдите вероятность того, что электрон в металле займет энергетическое состояние, находящееся в интервале ∆E = 0,05 эВ ниже уровня Ферми и выше уровня Ферми в случаях: 1) Т = 290 К; 2) Т = 58 К.
Дано: ∆E = 0,05 эВ = 0,08·10−19 Дж,
1)Т = 290К,
2)Т = 58К. Найти: f(E).
Решение
Для решения задачи используем распределение Ферми-Дирака:
YÆ)Æ1 + 1.
pqф
1) Т = 290 К; ∆E = E−Eф < 0;1 |
|
|
|
|
= |
|
− |
|
1 |
|
= |
1 |
|
= 0,88; |
|||||
®(m) = |
) , ∙+ gfÓ |
|
|
|
|
Y |
|
|
|
+ 1 |
0,135 + 1 |
||||||||
|
|
Y+, ∙+ ge'∙ 4 + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Т = 290К; ∆E = E−Eф > 0; |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
1 |
|
= |
1 |
= 0,119; |
|||||
®(m) = |
, ∙+ 1gfÓ |
|
|
|
|
Y |
|
|
|||||||||||
|
|
Y+, ∙+ ge'∙ 4 + 1 |
|
|
|
|
|
+ 1 |
|
7,38 + 1 |
|
|
|||||||
2) Т = 58 К; ∆E = E−Eф < 0; |
|
|
− |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||
®(m) = |
|
1 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
= 0,999958; |
||||
) , ∙+ gfÓ |
Y |
|
+ |
+ 1 |
|
0,000045 + 1 |
|||||||||||||
|
Y+, ∙+ ge'∙{ + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Т = 58 К; ∆E = E−Eф > 0;
48
®(m) = |
|
, ∙+1gfÓ |
= |
Y |
+1 |
= |
1 |
= 0,000045. |
|
Y+, ∙+ge'∙ 4 + 1 |
|
+ 1 |
|
22167 + 1 |
|
||
Ответ: 1) при E− Eф <0 |
f(E) = 0,88, |
|
|
при E− Eф >0 |
f(E) = 0,119; |
|||
2) при E− Eф<0 |
f(E) = 0,999958, |
при E− Eф >0 |
f(E) = 0,000045. |
|||||
Пример 4.8. Энергия Ферми равна 1эВ. Определите концентрацию свободных электронов в металле при абсолютном нуле температуры.
Дано: Eф = 1 эВ = 1,6 ·10−19 Дж.
Найти: n.
Решение
Концентрацию свободных электронов выразим из формулы энергии Ферми:
|
ф |
= |
ħ |
|
|
|
ħ |
' |
|
|
|
|
|
Возведем в куб: |
m |
2: (3Z ) |
= 2: · |
H(3Z ) . |
|
|
|||||||
|
|
Еф = W ħ |
] · (3Z ) |
=> |
|
|
|||||||
|
|
|
|
2: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
& |
2:mф |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
= 3Z |
` ħ |
a . |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
|
2 · 9,1 · 10) + · 1,6 · 10)+4 |
|
Ô м ) |
. |
|||||||
= 3 · 3,14 &W |
|
(1,05 |
· 10)ƒ) |
|
|
] = 4,6 · 10 |
|
||||||
Ответ: n = 4,6 ·10 27 м −3.
Пример 4.9. Сколько свободных электронов приходится на 1 атом натрия при абсолютном нуле температуры, если уровень Ферми для натрия 3,12 эВ, а плотность натрия 970 кг/м3.
Дано: Eф = 3,12эВ = 5 ·10−19 Дж, ρ = 970 кг/м3.
Найти: n1.
Решение
49
Выражение для концентрации свободных электронов, приходящихся на
все атомы натрия, получим из формулы энергии Ферми: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
2:m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
= 3Z &` |
|
|
|
|
|
ф |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
ħ |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 · 9,1 · 10) + · 5 · 10)+4 |
= 2,54 · 10 |
|
м |
. |
|||||||||||||||||||||
= 3 · 3,14 &W |
(1,05 · 10) ƒ) |
|
|
|
] |
|
|
|||||||||||||||||||
Число электронов, приходящихся на один атом, найдем как отношение |
||||||||||||||||||||||||||
концентрации электронов к концентрации атомов: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
||||||||||||||
|
но |
|
" |
= "# |
· |
: |
|
1 |
|
|
|
|
= |
|
||||||||||||
+ = а , |
а = |
|
|
|
· ; |
|
|
, |
||||||||||||||||||
|
=> |
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Таким образом, |
а = "# · |
· : = "# · . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
· |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2,54 · 10 |
|
+ = "# |
· |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
+ = |
|
· 22,99 · 10 |
) |
|
= 0,99 |
|
ат |
ат |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
эл |
|
|
≈ |
1 |
эл |
. |
|
|
|
|
||||||||
6,02 · 10 · 970 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: n1.≈1 эл./ат.
Пример 4.10. Какова максимальная скорость электронов в металле при абсолютном нуле, если энергия Ферми составляет 5 эВ.
Дано: Eф = 3,12эВ = 8 ·10−19 Дж.
Найти: υmax.
|
: · Ð^ ˆ |
Решение |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
Еф = |
; |
Ð^ ˆ = & |
2 · mф |
. |
||||
2 |
|
: |
|
|
||||
|
ф = &2 · 8 · 10) + = 1,33 · 10y с. |
|||||||
|
Е |
9,1 · 10 |
)+4 |
|
м |
|
|
|
|
|
Ответ: υmax =1,32·10 6 м/с. |
||||||
|
|
|
50 |
|
|
|
|
|